Горячева Татьяна Геннадьевна учитель математики 2005 г содержание программы: 1 пояснительная записка

Вид материала

Пояснительная записка

Содержание Цель – Сформировать понятие факториала, развитие вычислительных навыков, применение к решению уравнений и упрощению выражений. Домашнее задание Урок № 6”решение задач.” Урок № 7.”перестановки без повторений’. Ход урока Домашнее задание Урок№ 8“перестановки с повторениями”. Урок №9 'размещение без повторений'. Ход урока Задача №1. Урок №10'размещение с повторениями'. Ход урока

Подобный материал:

• Никитина Наталья Ивановна г. Всеволожск. 2010 г. Содержание программы. № п/п. Содержание, 275.33kb.
• Киселева Мария Геннадьевна учитель информатики моу сош №2 им. И. А. Сухана г. Кстово, 346.34kb.
• Киселева Мария Геннадьевна учитель информатики моу сош №2 им. И. А. Сухана г. Кстово, 428.62kb.
• Киселева Мария Геннадьевна учитель информатики моу сош №2 им. И. А. Сухана г. Кстово, 328.22kb.
• Киселева Мария Геннадьевна учитель информатики моу сош №2 им. И. А. Сухана kis-marya@rambler, 346.32kb.
• Пояснительная записка 4 Содержание программы 7 Требования к уровню подготовки выпускников, 97.02kb.
• Сайфуллин Халил Хамзаевич учитель биологии, гимназии №9 г. Караганды Караганда 2011, 181.68kb.
• Рябцева Татьяна Ивановна учитель физики 2011 пояснительная записка, 172.45kb.
• Колупаева Галина Геннадьевна с. Чоя 2005 год пояснительная записка, 256.5kb.
• Субботина Татьяна Борисовна, учитель русского языка и литературы, учитель 1ой категории, 736.23kb.

Цель – Сформировать понятие факториала, развитие вычислительных навыков, применение к решению уравнений и упрощению выражений.

ХОД УРОКА:

1. Проверка д/з(само проверка с доски при чём проверяют друг у друга)
   

2) новый материал и решение задач

Как мы видим, условия задач - разные, а решения, и полученные ответы, по сути дела, одинаковы (по крайней мере по форме). Удобно поэтому ввести и одинаковое обозначения для таких ответов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Произведение подряд идущих первых натуральных чисел обозначают n! и называют « ЭН ФАКТОРИАЛ»:

n!=1*2*3*. . .(n-2)(n-1)n.

(по-английски, одно из значений слова «factor» перевод «множитель»).

Считается, что 0!=1

Приведём несколько первых значений для n!: 1!=1, 2!=1*2=2, 3!=1*2*3=6, 4!=1*2*3*4=24, 5!=1*2*3*4*5=24*5=4!*5=120 и т. д.

Как же сформулировать общее утверждение, частных случаями которого являются решения из возможных вариантов.

ТЕОРЕМА: Множество из n различных элементов можно перенумеровать номерами от 1 до n ровно различными способами.

Каждый способ нумерации от 1 до n, о котором идёт речь в теореме, часто называют перестановкой данного n – элементного множества. Действительно, можно считать, что каждая такая нумерация просто расставляет, или переставляет, все элементы множества в некотором порядке.

Число перестановок множества из n элементов обозначают P_n . Значит, приведённую теорему можно записать в виде формулы

P_n =n!

Задача № 1.Вычислите: а) 7! б) 8! в) 6!-5! г) 5!/5 [5040,40320,600,24]

Задача № 2. Делится ли 11! на: а) 64; б) 25; в) 81; г) 49?[да, да, да, нет]

Задача № 3. На сколько нулей оканчивается число: а)10!; б) 12!; в) 15!; г) 26!?[2, 2, 3, 6]

Задача № 4. Сократите дробь:

а) __n!__ б) __n!___ в) _(2k+1)!_ [n, n(n-1)/2, 2k(2k+1)]

(n-1)! 2!(n-2)! (2k-1)!

Задача № 5. Упростите выражение:

а) _(n+2)!(n²-9)_ б) _25m⁵-m³__ * (5*(5m-2)!)

(n+4)! (5m+1)!

Задача № 6.Решите в натуральных числах уравнение:

а) n!=7(n-1)! б) (k-10)!=77(k-11)! [7, 87]

Задание по группам:

1)Вычислите: а)(7!-5!)/6!; 1) Вычислите: а) (6!-4!)/3!

б) 5! б) 5!*3!

3!+4! 6!

2) Упростите выражение: 2) Упростите выражение:

а)(n+1)! n! a) (n-1)! n!

n! n(n-1) (n+2)! (n-2)!

1 1 1 1

n! (n+1)! (k-1)! k!

Задание проверяется на уроке с объяснением ошибок сильными учениками.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:

1) Вычислите: а) 10!/5!; б) 11!/5!*6!; в)51!/49!.[30240, 462, 2550]

2. Сократите дробь: _(4m-1)!_
   

(4m-3)! [(4m-1)(4m-2)]

3) Решите в натуральных числах уравнение: (m+17)!=420(m+15)! [4]


УРОК № 6”РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ.”

Цель – Закрепление изученного материала. Проверка знаний по темам: факториал, правило умножения, дерево вариантов.

Ход урока:

1. проверка д/з, устный опрос понятия факториала,
   

рассуждения: «Зачем нужен факториал?»

устный счёт: Вычислить: 3!; 4!-2!; 5!; 0!; 2!*3

2. решение задач
   

Задача № 1.Современные пятиборцы в течение двух дней участвуют в соревновании по 5 видам спорта: конкур (кросс на лошадях), фехтование, плавание, стрельба, бег.

1. Сколько существует вариантов порядка прохождения видов соревнования?[5*4*3*2=120]
   
2. Сколько вариантов, если последним должен быть бег? [4*3*2=24]
   

Задача № 2. Группа туристов планируют осуществить поход по маршруту Антоново – Борисово – Власово – Грибово в Борисово можно сплавляться по реке или идти пешком. Из Борисово во Власово можно пройти пешком или доехать на велосипедах. Из Власово в Грибово можно доплыть по реке, доехать на велосипедах или пройти пешком.

1. Нарисуйте дерево возможных вариантов?
   
2. Сколько вариантов похода?[12]
   
3. Сколько вариантов не пешком?[2]
   
4. Сколько вариантов хоть раз на велосипеде?[8]
   

Задача № 3.Вычислите: а) 14!/(7!3!4!)

б) 7!4!/10! в)8!/(3!5!)-9!/(2!7!)

Задача № 4.Решите уравнение:_m!-(m-1)!_= _1_

(m+1)! 6 [2,3]

Тест по изученному:

Вариант № 1. Вариант №2.

1)Из села Дятлова в село Матвеевское ведут 1)В кафе имеются три первых

три дороги, а из села Матвеевское в село блюда, пять вторых и два третьих.

Першино – четыре дороги. Сколькими Сколькими способами посетитель

способами можно попасть из Дятлова в кафе может выбрать обед,

Першино через Матвеевское? состоящий из первого, второго

а)10 б) 15 в) [12 ] и третьего.

а) 25 б) [30 ] в) 20

2)Сколько всех четырёхзначных чисел 2) Сколько трёхзначных четных

можно составить из цифр 1, 5,6,7? чисел из цифр 0,1,2,3,4,5,6, если

цифры могут повторяться?

а)250 б)[256] в) 300 а) [168] б) 178 в)200

3)У Аси есть любимый костюм, 3)Руководство некоторой страны

в котором она ходит в школу. Она решило сделать свой флаг таким,

одевает к костюму белую, голубую, что на одноцветном прямоугольном

розовую или красную блузку, на ноги фоне в одном из углов помещается

босоножки или туфли. Нарисуйте круг другого цвета. Цвет решено

дерево возможных вариантов?[24] выбрать: красный, желтый,

зелёный. Нарисуйте дерево

вариантов?[24]

4) Вычислите: 17!/(5!*9!) 4) Вычислите: 14!/(6!*8!)

5) Решите уравнение: 7(n-1)!=n! 5) Решите уравнение: (k-9)!=(k-10)!


УРОК № 7.”ПЕРЕСТАНОВКИ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ’.

Цель - Сформировать понятие перестановок без повторений.

Применение к решению задач, развитие математического мышления.

Воспитание интереса к предмету.

ХОД УРОКА:

1) изучение нового материала

Задача № 1.Семиклассники Анна, Борис, Виктор и Галина побежали на перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими способами подбежавшие к столу семиклассники могут занять очередь для игры в настольный теннис?

Решение: по правилу произведения 4*3*2*1=24 способа.

В задаче были подсчитаны всевозможные комбинации из четырёх элементов,

отличающиеся друг от друга только порядком расположение в них элементов. Такие

комбинации называются перестановками из нескольких элементов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов, называются перестановками из n элементов.

Число всевозможных перестановок из n элементов обозначают Р_n (Р- первая буква французского слова permutation – перестановка). Читается: «Число перестановок из эн элементов» или «Пэ из эн».

С помощью правила произведения можно обосновать, что Р_n= n*(n-1)*… *3*2*1.

После применение переместительного закона умножения формулу в виде:

P_n=1*2*3*…*(n-1)*n.

Для сокращённой записи произведения первых n натуральных чисел n!

Р_n= n!

Задача № 1.Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу: 1) 3 человека, 2) 5 человек?

Решение: 1) P_n= 3!=6 2) P_n=5!=120

Задача №2. Сколько различных пятизначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 4, 5, 6, 7, и 8?

Решение: P_n=5!=120

Задача № 3.Сколькими способами можно расставить на полке 8 книг, если среди них 2 книги одного автора, которые при любых перестановках должны стоять рядом?

Решение: 2 книги одного автора одной книгой, тогда число перестановок из 7 элементов. P_n= 7!=5040 но в каждой этой перестановке книги одного автора будут меняться местами то 5040*2=10080 способов.

Задача № 4.Разложить на простые множители числа 30 и 210.Сколькими способами можно записать в виде произведения простых множителей числа?

Решение: 30=1*2*3*5 P_n=4!=24

210=1*2*3*5*7 P_n=5!=120

Задача № 5.Сколькими способами можно обить 6 стульев тканью, если имеются ткани шести цветов и все стулья должны быть разного цвета?[6!=720]

Задача № 6.Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается цифрами 5, 7, 8, но забыла в каком порядке. Укажите наибольшее число вариантов, чтобы позвонить подруге?[3!=6]

Задача № 7.Сколькими способами можно закрасить 6 клеток так, чтобы 2 клетки были красные, а другие - белым, чёрным, зелёным, синим?[5!=120]

Задача № 8.Вычислите: 1) Р₆ – Р₅ 2) Р ₂₀ 3) Р_х

5! Р₄Р₁₆ Р_х-2Р₂

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:

1. Сколькими способами можно записать в виде произведение простых множителей: а)12 б) 24 в)120 [3!=6, 3!=6, 4!=24]
   
2. Сколькими способами можно разложить 8 писем по разным конвертам?[8!=40320]
   
3. В расписании на понедельник 6 уроков: алгебра, геометрия, биология, история, физкультура, химия. Сколькими способами составить расписание, чтобы 2 урока математики стояли рядом? [5!*2=240]
   

УРОК№ 8“ПЕРЕСТАНОВКИ С ПОВТОРЕНИЯМИ”.

Цель – Сформировать понятие перестановок с повторениями, применение к решению задач, развитие вычислительных навыков и интереса к предмету.

Ход урока:

1) проверка дом. задания

2)объяснение нового материала

Рассмотрим перестановки с повторениями.

Пусть имеем k₁ - элементы 1 типа

k₂ – элементы 2 типа и т. д.

k_m – элементы m типа.

Причём k₁+k₂+…+k_m= n, тогда перестановкой с повторением из n элементов, называется упорядоченный набор или соединения содержащий элементы всех типов.

МАМА

1 тип – 2б. м 2 тип – 2б. а

k₁=2 k₂=2 2+2=4 буквы n=4

мама маам амма амам ммаа аамм - 6 перестановок с повторениями

P_n(k₁, k₂, …,k_m)- число всех перестановок.

Зафиксируем любую произвольную перестановку и будем временно считать одинаковые элементы временно различные, тогда переставляя всевозможным образом, элементы 1 типа, мы получим k₁! данных перестановок, переставляя элементы 2 типа, мы получим k₂! перестановок ….. m – типа, мы получим k_m! перестановок, со всеми элементами любого типа, то по правилу произведения мы получим все возможных перестановок P_n(k₁ ,k_{2 ,.. .}k_m) k₁!*k₂!*…k_m!

С другой стороны мы получим все перестановки из n элементов, а число все возможных перестановок n!

P_n(k₁, . . . ,k_m)= n!______

k₁!*…*k_m!


P₄(2,2)=__4!__

2!*2!

Задача №1.Сколько различных слов можно составить из букв слова ИНИЦИАТИВА

и- 4 н- 1 ц- 1 а- 2 т- 1 ь- 1

P₁₀(4,1,1,2,1,1)=___10!__=5*6*7*8*9*5=75600

4!*2!

Задача № 2. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове «математика»?

Решение: В слове «математика» 10 букв (м – 2, а – 3, т – 2, е, и, к – 1), значит перестановка букв получится Р(2, 3, 2, 1, 1, 1)= 10!__________ = 151200 слов

2!*3!*2!*1!*1!*1!

Задача № 3.Сколькими способами можно разложить 28 различных предметов по 4 различным ящикам, так, чтобы в каждом оказалось по 7 предметов?

Решение: Р(7, 7, 7, 7)= 28!____

7!*7!*7!*7!

Задача № 4.Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 коня, 2 слона, 2 ладьи, ферзя и короля) на первой линии шахматной доски?

Решение: Всего 8 элементов, имеющий состав (2, 2, 2, 1, 1).

Р(2, 2, 2, 1, 1)= 8!________ = 5040

2!*2!*2!*1!*1!

Задача № 5. Сколькими способами можно в строчку записать 6 + и 4 - ?

Решение: Всего элементов 10, имеющий состав (6, 4).

Р(6, 4)= 10! =210

6!*4!

Задача № 6. Сколько слов можно получить, переставляя буквы слова «парабола»?[6720]


ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: формула и задачи

Задача №1. Сколько слов можно получить, переставляя буквы слова «метаморфоза»?[4989600]

Задача № 2. У мамы было 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Каждый день она давала ребенку по одному фрукту. Сколькими способами она могла это сделать?[1260]

УРОК №9 'РАЗМЕЩЕНИЕ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ'.

Цель - Сформировать понятие размещений без повторений,

применение к решению задач, развитие навыков по комбинаторики.

ХОД УРОКА:

1)проверка дом. зад.

2)новый материал

Пусть имеется 4 шара и 3 пустых ячейки. Обозначим шары буквами a, b, c, d. В пустые ячейки можно разместить 3 шара из этого набора. Например, a, b, c;

a, c, b; b, a, c; d, c, b. Каждую упорядоченную тройку, которую можно составить из 4 элементов, называется РАЗМЕЩЕНИЕМ из 4 элементов по три.

ОПРЕДЕНЕНИЕ: Размещением из n элементов по k (k<=n) называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определённым порядке из данных n элементов.

Число размещений из n элементов по k обозначают A_n^k (читают А из n по k).

А_n¹=n, A_n²=n(n-1), A_n³=n(n-1)(n-2),….,

A_n^k=n(n-1)(n-2)…(n-(k-2))(n-(k-1)).

Получаем формулу: A_n^k= n!__

(n-k)!

Задача № 1. Сколько чисел можно составить из чисел 1, 2, 3, 4. Если числа двузначные?

Решение: Всего элементов 4, а нужно брать по 2. А₄²= 4! =12 чисел

2!

Задача № 2. Сколько всего 7 значных телефонных номеров в каждом из которых цифры не повторяются?

Решение: Всего цифр 10, а нам нужно брать 7. А₁₀⁷= 10! =604800 номеров.

3!

Задача № 3. Из группы в 15 человек выбирают четырёх участников эстафеты 800+400+200+100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам эстафеты?


Решение: Так как порядок следования выбранных спортсменов существенен, то перед нами размещения – из 15 элементов по 4.

А₁₅⁴= 15! = 15! =15*14*13*12=32760 способов.

(15-4)! 11!

Задача № 4. Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нём было 4 различных предмета?

Решение: Значит, имеем размещение из 8 элементов по 4. А₈⁴= 8! =8*7*6*5=1680

(8-4)!

Задача № 5. Сколько трёхзначных чисел (без повторений)можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?

Решение: Число размещений из 7 элементов по 3, но нужно исключить те размещения, у которых первым элементом является цифра 0. Их число будет из 6 по 2. А₇³-А₆²=7*6*5-6*5=180.

Задача № 6.Сколькими способами может разместиться семья из трёх человек в четырёхместном купе, если других пассажиров нет?[24]

Задача № 7. Сколькими способами могут занять 1, 2, 3 места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м.?[336]

Задача № 8.Вычислите: 1) А³₁₅ +А₁₅⁴ 2) А₈⁵ –А₈⁴

А⁵₁₅ А₈³

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: формула, определение и задачи.

Задача №1. Из 30 участников собрания надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами можно это сделать?[870]

Задача № 2. В цехе работают 8 токарей. Сколькими способами можно поручить 3 из них изготовление 3 различных видов деталей?[336]


УРОК №10'РАЗМЕЩЕНИЕ С ПОВТОРЕНИЯМИ'.

Цель– Сформировать понятие размещения с повторениями,

применение к решению задач, развитие навыков в комбинаторики.

ХОД УРОКА:

1. проверка домашнего задания
   
2. новый материал
   

Рассмотрим задачу: Найдём число слов состоящих из 4 букв, составленных из 33 букв русского алфавита, и таких, что любые две соседние буквы этих слов различны. Первую букву 33, вторую 32, третью 32, четвёртую 32. Поэтому общее число способов 33*32*32*32=1081344.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Кортежи длины k, составленные из элементов n- элементного множества, называется размещениями с повторениями из n элементов по k.

Это число обозначают

A_n^k=n^k

Задача № 1.Сколько пятизначных номеров можно составить из девяти цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

Решение: Такие номера длиной 5, составленные из элементов множества из 9 элементов. A₉⁵=9⁵=6561

Задача № 2. Сколькими способами можно разделить 6 различных конфет между тремя детьми?

Решение: Такая длина 6, элементов 3. A₃⁶=3⁶=729

Задача № 3.На плоскости отметили 5 точек. Их надо обозначить латинскими буквами. Сколькими способами это можно сделать(26 букв)?

Решение: Точек 5, всех элементов 26. A₂₆⁵=1188137.

Задача № 4.Сколько существует пятизначных номеров,

не содержащих цифр 0 и 8? [A₈⁵=8⁵=32768]

составленных из цифр 2, 3, 5, 7? [A₄⁵=4⁵=1024]

Задача № 5.Сколькими способами можно разложить 12 различных деталей по 3 ящикам? [3¹²]

Задача № 6.Имеется набор из 16 карточек. На четырёх из них написана буква «а», на четырёх- буква «б», на четырёх – буква «в», и на четырёх – буква «г». Сколько различных комбинаций букв можно получить, выбирая из набора 4 карточки и располагая их в некотором порядке? [16⁴=65536]

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: определение, формула, задача.