Geum.ru

Горячева Татьяна Геннадьевна учитель математики 2005 г содержание программы: 1 пояснительная записка

Вид материалаПояснительная записка
Подобный материал:
1   2   3   4   5   6

Задача: В некотором сказочном королевстве не было двух человек с одинаковым набором зубов. Каково могло быть наибольшее число жителей этого королевства, если у человека 32 зуба?[232]




УРОК № 11'СОЧЕТАНИЯ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ'.

Цель - Сформировать понятие сочетаний без повторений,

применение к решению задач, развитие вычислительных

навыков.

ХОД УРОКА:
  1. проверка дом. зад.
  2. новый материала

Пусть имеются 5 гвоздик разного цвета. Обозначим цифрами 1, 2, 3, 4, 5. Требуется составить букет из 3 гвоздик, букеты: 123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 245, 245, 345.

Мы указали все возможные способы, говорят, что мы составили все возможные сочетания из 5 элементов по 3.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Число всех всех выборов k элементов из n данных без учёта порядка обозначают Cnk и называют числом сочетаний из n элементом по k.

Символ Cnk в русской транскрипции читается так: «цэ из эн по ка».

Для сочетаний из n элементов по k справедлива формула

Cnk= n!___

k!(n-k)!

Задача № 1.Из 15 членов туристической группы надо выбрать 3 дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Решение: Речь идёт о сочетаниях из 15 элементов по 3. C153= 15!___=455.

3!(15-3)!

Задача № 2.Из вазы с фруктами, в которой лежит 9 яблок и 6 груш, надо выбрать 3 яблока и 2 груши. Сколькими способами можно сделать такой выбор?

Решение: Выбрать 3 яблока из 9 можно С93 , а выбрать 2 груши из 6 можно С62. С93*С62= 9!__ * 6!__ =1260

3!(9-3)! 2!(6-2)!

Задача № 3. В классе 7 человек успешно занимается математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в олимпиаде?

Решение: Выбрать 2 из 7. С72= 7!___ =21

2!(7-2)!

Задача № 4. В магазине «Филателия» продаётся 8 различных наборов марок, посвящённых спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

Решение: Выбрать 3 из 8. С83= 8!__ =56

3!(8-3)!

Задача № 5. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Решение: Выбрать 6 из 10. С106= 10! =210.

6!*4!

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:

Задача №1. «Проказница Мартышка, Осёл, Козёл и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Мишке поручили принести со склада 8 каких- нибудь, попавшихся под лапы, музыкальных инструментов из имеющихся 13. Сколько способов выбора есть у Мишки?[1287]

Задача №2. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить 4 мальчиков и 3 девочек. Сколькими способами это можно сделать?[400400]


УРОК №12'СОЧЕТАНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ'.

Цель - Сформировать понятие сочетания с повторениями,

применение к решению задач, развития вычислительных

навыков, воспитания интереса к предмету.

Ход урока:

проверка
  1. дом. зад.
  2. новый материал

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Сочетанием с повторениями из n элементов по k элементов называется любой неупорядоченный набор k элементов в котором каждый из этих k элементов является элементом одного из данных n типов элементов.

Формула для вычисления сочетаний с повторениями: Cnk=Ckn+k-1

Задача № 1.Сколько костей домино можно сделать, используя числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?

Решение: всего 7 по 2. С72=С27+2-1=С82= 8!___= 28

2!(8-2)!

Задача № 2.Сколько наборов из 7 пирожных можно составить, если в продаже имеются 4 сорта пирожных?

Решение: всего 4 по 7. С47=С74+7-1=С107= 10!__=120

7!(10-7)!

Задача № 3.В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить в нём 12 открыток? 8 открыток? Сколькими способами можно купить 8 различных открыток?

Решение: всего 10 по 12. С1012=С1210+12-1=С2112= 21!____=293930

12!(21-12)!

всего 10 по 8. С108=С810+8-1=С178=24310

всего 10 по 8. С108=45

Задача № 4.Сколько можно построить различных прямоугольных параллепипедов

если длина каждого его ребра может выражаться любым целым числом от 1 до 10?

Решение: всего 10 по 3. С103=С310+3-1=С123=220

Задача № 5. В цветочном магазине продаются цветы 6 сортов. Сколько можно составить различных букетов из 10 цветов в каждом букете, отличается лишь расположением цветов, считается одинаковым.

Решение: С610=С106+10-1=С1510=3003

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:

Задача № 1. Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно из следующих значений: 4, 5, 6, 7 см?[20]

Задача № 2. Для премии на математической олимпиаде выделено 3 экземпляра одной книги, 2 экземпляра другой книги и 1 экземпляр третьей книги. Сколькими способами можно будет вручить премии, если участников 20 человек?[177100]


УРОК № 13 «ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ. БИНОМ НЬЮТОНА.»

Цель- Используя историко – генетический подход, познакомить учащихся с числовой таблицей, называемой треугольником Паскаля, продемонстрировать эффективный приём. Сформировать понятие Бинома Ньютона, вывод формулы Бинома Ньютона, применение к решению задач, воспитание интереса.

ХОД УРОКА:
  1. проверка д / з
  2. новый материал

Треугольником Паскаля называют особую числовую таблицу треугольной формы. Она была известна ещё учёным Древней Индии, но её заново открывали и изучали многие математики, жившие в разные времена.(Простейшие случаи этой формулы сейчас изучают в школе: (а+в)2=а2+2ав+в2, (а+в)3=а3+3а2в+3ав2+в3.)

Таблица содержит коэффициенты членов многочленов, получавшихся при возведении двучлена в степень.

Эту таблицу назвали треугольником Паскаля в честь выдающегося французского математика и философа Блеза Паскаля, жившего в 17 в., который посвятил ей своё сочинение «Трактат об арифметическом треугольнике».

Строится треугольник Паскаля:

1 № строки 0

1 1 1

1 2 1 2

1 3 3 1 3

1 4 6 4 1 4

1 5 10 10 5 1 5

Ученики самостоятельно строят ещё 5 строк.

Используя треугольник Паскаля можно вычислять Сmn.

Число, расположенное в 5-й строке на 2-ом месте, обозначается С52=10.

Задача № 1. а) найдите с помощью треугольника Паскаля: С74, С68, С90, С33.

б) запишите в символическом виде первые пять строк треугольника Паскаля.

в) сравните: С52 и С35, С61 и С56, С94 и С59.

Треугольник Паскаля самым непосредственным образом связан с формулой, по которой выражение (а+в)n, где n-натуральное число.

Задача № 2.выведите формулу (а+в)3

Задача № 3.Составьте частное двух чисел, выясните, что больше:

а) С103 или С59 б) С84 или С37

Числа, стоящие в строках арифметического треугольника, встречаются при возведении в степень двучлена (а+в). Например,

(а+в)2=а2+2ав+в2,

(а+в)3=а3+3а2в+3ав2+в3.

Коэффициенты 1, 2, 1- это числа, стоящие в третьей строке треугольника, т. е.

С02, С21, С22, а 1, 3, 3, 1- числа, стоящие в четвёртой строке той же таблице, т.е.

С30, С31, С32, С33.

Это замечание делает гипотезу, что для любого n истинно равенство

(а+в)n=С0nаn +C1nan-1в +…+Сknan-kвk +…+Сnnвn.

Эту формулу называют формулой Бинома Ньютона, хотя она была известна задолго до Ньютона уже упоминавшемуся Гиясэддину Каши.

Задача №4.В разложении (хVх+1/х4)n биномиальный коэффициент третьего члена на 44 больше коэффициента второго члена. Найдите член, не содержащий х.

Решение: из условия задачи следует: Сn2=Сn1+44, или n(n-1) =n+44

2

решаем это уравнение относительно n, найдём n=11. Общий член разложения можно записать в виде С11m х3/2(11-m)-4m . По условию задачи 3/2(11-m)-4m=0, откуда m=3.Следовательно, искомый член равен С311.

Задача №5 Найдите коэффициент при х8 в разложении (1+х2-х3)9

Решение: Имеем: (1+х2-х3)9=1+С19(х2-х3)+С29(х2-х3)2+С39(х2-х3)3+С49(х2-х3)4+С59(х2-х3)5+….+(х2-х3)9

рассматривая слагаемые правой части, легко заметить, что х8 содержится лишь в четвёртом и пятом членах. Используя это, без труда находим коэффициент при х8. Он равен 3С39+С49 .

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:

Задача №1.Используя равенство (а+в)4=(а+в)3(а+в) выведите формулу и проверьте её с треугольником Паскаля.

Задача №2. Составьте частное двух чисел, выясните, что больше?

С510 или С107


УРОК № 14 «РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ.

Цель – Закрепление изученного пройденного материала, развитие навыков, при решение комбинаторных задач, подготовка к проверочной работе.

ХОД УРОКА:
  1. повторение и написание формул комбинаторики
  2. решение задач на использование этих формул

Задача № 1. В меню в столовой предложены на выбор 3 первых, 5 вторых и 4 третьих блюда. Сколько различных вариантов обеда, состоящего из одного первого, одного второго и одного третьего блюда, можно составить из предложенного меню?

Решение: по правилу произведения 3*5*4=60

Задача № 2. Имеется 6 видов овощей. Решено приготовить салат из 3 видов. Сколько различных вариантов салатов можно приготовить?

Решение: по правилу произведения 6*5*4=120

Задача № 3.Семиклассники Анна, Борис, Виктор и Галина побежали на перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими способами подбежавшие к столу семиклассники могут занять очередь для игры?

Решение: по правилу произведения 4*3*2*1=24

Задача № 4. Перечислите все возможные цветовые сочетание брюк, свитера и ботинок, если в гардеробе имеются брюки трёх цветов: серые, бежевые и зелёные; свитера двух расцветок: песочный и малиновый; ботинки двух цветов: чёрные и коричневые. Составьте дерево вариантов?[12]

Задача № 5.Сколько различных трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр: 1 и 2? Составьте дерево вариантов?[27]

Задача № 6. Вычислить: 1) 13!/11! [156] 2) (6!*14)/8! [1/4]

3) 6!-5! [600]

Задача № 7.Решите равнение: (х-10)!=77(х-11)![87]

Задача № 8. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается цифрами 5, 8, 6, но забыла, в каком порядке эти цифры следуют. Укажите, сколько раз ей придётся перебрать, чтобы дозвониться подруге.[3!=6]

Задача №9. 8 участников шахматного турнира играют в комнате, где имеются 4 столика. Сколькими способами можно расположить шахматистов за столиками, если заранее известны участники всех партий?[Р4=4!=24]

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:

Задача №1. Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу?[9!=362880]

Задача №2. Найдите значение выражения: а) 8!/(6!*2!)[28]

б) 12!/(9!*3!) [220]

Задача №3. Антон, Борис и Василий купили 3 билета на 1-е, 2-е и 3-е места первого ряда на футбольный матч. Сколькими способами они могут занять имеющиеся места? Составьте дерево вариантов?[6]

Задача №1.Сколько различных чисел можно получить, переставляя числа 2 233 344 455?

Решение:Р10(2,3,3,2)= 10!_____= 25200

2!*3!*3!*2!

Задача № 2.В слове 'логарифм' буквы переставляют так, чтобы второе, четвёртое и шестое места были заняты согласными буквами. Сколько всего существует таких перестановок?

Решение: Р5(1,2,3)= 5!_

1!2!3!

Задача №3.В цехе работают 8 токарей. Сколькими способами можно поручить трём из них изготовление трёх различных видов деталей (по одному виду на каждого)?

Решение: А83= 8!__ =336

(8-5)!

Задача №4.В профком избрано 9 человек. Из них надо выбрать председателя, его заместителя, секретаря и культорга. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: А94= 9!_=9!/5!=3024

(9-4)!

Задача № 5.Сколькими способами можно разложить 12 различных деталей по 3 ящикам?

Решение: всего элементов 3 длиной 12 :А312=312

Задача № 6.В гастрономе имеются конфеты 3 наименований. Конфеты упакованы в коробки 3 видов – для каждого своя коробка. Сколькими способами можно заказать набор из 5 коробок?

Решение: всего 7, имеют состав (5, 2) Р(5,2)= 7!_=21

5!*2!

Задача № 7. Сколько разных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5, если одна и та же цифра может повторяться несколько раз?

Решение: размещение с повторениями Аnk=nk=53=125

Домашнее задание:
  1. Допустим, в высшей лиге по футболу 18 команд. Борьба идёт за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами медали могут быть распределены между командами?[ А318=18!/(18-3)!=18*17*16=4896]
  2. Мама купила 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. 9 дней подряд она предлагала сыну по одному фрукту. Сколькими способами она выдаст сыну?[всего 9, (2, 3, 4) Р(2, 3, 4)=9!/(2!*3!*4!)=1260



УРОК № 15 «ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА ПОТЕМЕ: 'КОМБИНАТОРИКА.»

Цель – Проверка знаний и умений решать задачи по комбинаторика, умение правильно выбора формул комбинаторики.

ХОД УРОКА:
  1. проверка д/з
  2. тест

1.1. Написать формулу размещения без повторений?[Аkn=n!/(n-k)!]

1.2. Написать формулу перестановки без повторений?[Рn=n!]

2.1. Написать формулу сочетания без повторений?[Cnk= n!__]

k!(n-k)!

2.2. Написать формулу сочетания с повторениями?[Cnk=Ckn+ k-1]

3.1. Написать формулу перестановки с повторениями?[Pn(k1 ,k2, ..,kn)= n!_ ]

k1!*k2!…*kn!

3.2. Написать формулу размещения с повторениями?[Amk=mk]

4.1.В 9а классе в среду 5 уроков: алгебра, геометрия, физ-ра, русский, английский. Сколькими способами можно составить расписание?

а) 50 б)120+ в) 60

4.2. Сколькими способами четыре вора могут по одному разбежаться в разные стороны?

а)12 б)36 в)24+

5.1.Сократите дробь: (4р-1)! а)(4р+1)(4р-2) б)(4р+3) в) (4р-1)(4р-2)+

(4р-3)!

5.2. Сократите дробь: (2к+1)! а) 2к(2к+1)+ б) 2к(2к-1) в) 2к

(2к-1)!

6.1. На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть образовано разных стартовых пятёрок?[С125=792]

6.2. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли взять друг друга?[8 позиций Р8=8!=40320]

7.1. Сколькими способами можно отослать 6 писем разным адресатам, если их будут разносить 3 курьера и заранее известно, какому, какое достанется?[729]

7.2. В продажу поступили открытки 10 разных видов. Сколькими способами можно образовать набор из 12 открыток?[С1012=С1210+12-1=293930]


УРОК № 16.'СОБЫТИЯ ДОСТОВЕРНЫЕ, НЕВОЗМОЖНЫЕ, СЛУЧАЙНЫЕ.'

Цель- Сформировать понятия событий достоверных, невозможных, случайных.

Применение к решению задач, развитие математической логики.

Ход урока:
  1. анализ теста по комбинаторики
  2. новый материал
  3. решение задач

Во многих играх используется игральный кубик. У кубика 6 граней, на каждой грани отмечено различное количество точек – от 1 до 6. Играющий бросает кубик и смотрит, сколько точек имеется на выпавшей грани (на той грани, которая располагается сверху). Довольно часто точки на гранях кубика заменяют, на соответствующие цифры и тогда говорят о выпадении 1, 2, …. , выпадении 6. Бросание кубика можно считать опытом, экспериментом, испытанием (и даже игрой, забавой), а полученный результат – исходом испытания или элементарным событием. Людям интересно угадывать наступление того или иного события, предсказывать его исход. Какие предсказания они могут сделать, когда бросают игральный кубик? Например, такие:
  1. событие А – выпадает цифра 1, 2, 3, 4, 5 или 6;
  2. событие В – выпадает цифра 7, 8 или 9;
  3. событие С – выпадает цифра 1.

События – исход наблюдении или эксперимента.

Событие А, предсказанное в первом случае, обязательно наступит. Событие, которое в данном опыте обязательно наступит, называют достоверным событием.

Например, стакан с водой перевернём дном вверх, то вода выльется.

Событие В, предсказанное во втором случае, никогда не наступит, это просто невозможно. Событие, которое в данном опыте наступить не может, называют невозможным событием.

А как вы думаете, событие С, предсказанное в третьем случае, наступит или не наступит? На этот вопрос мы с полной уверенностью ответить не в состоянии, поскольку цифра 1 может выпасть, а может и не выпасть. Событие, которое в данном опыте может, как наступать, так и не наступить, называют случайным событием.

Например, школьник во время прогулки встретил знакомых.

Задача № 1. Все двузначные числа написаны на карточках. Петя случайным образом выбрал одну карточку. Охарактеризуйте следующие события как достоверные, невозможные или случайные:

а) событие А – на выбранной карточке оказалось простое число;

б) событие В – на карточке оказалось составное число;

в) событие С – на карточке оказалось число, не являющееся ни простым, ни составным;

г) событие Д – на карточке оказалось четное или нечетное.

Решение: А и В случайные, С невозможные, Д достоверное.

Задача № 2. Какие из следующих событий достоверные:

А – два попадания из трёх выстрелов;

В – появление не более 18 очков при бросании трёх игральных костей;

Д – наугад выбранное трёхзначное число не больше 1000;

Е – наугад выбранное число, составленное из цифр 1, 2, 3 без повторений, меньше 400;

Решение: В, Д и Е – достоверные.

Задача № 2. Какие из следующих событий невозможные:

А – опоздание ленинградского экспресса в субботние дни;

В – появление 17 очков при бросании 3 игральных костей;

С – появление слова мама при случайном наборе букв а, а, м, м;

Д – появление составленного из цифр 1, 2, 3, 7, 8 и кратного 9 числа при случайном однократном наборе указанных цифр;

Решение: Д – невозможные.

Задача № 3. Охарактеризуйте событие, о котором идёт речь, как достоверное, невозможное или случайное. Вы открыли книгу на любой странице и выбрали первое попавшееся существительное. Событие состоит в следующем:

а) в написании слова есть гласная буква;

б) в написании есть буква о;

в) в написании нет гласных букв;

г) в написании есть мягкий знак;

Решение: а) – достоверное, б), г) – случайное, в) – невозможное.

Задача № 4. Какие события? Даны два интервала (0;1) и (5;10); из первого выбирают числа а, из второго число с.

а) число, а меньше с;

б) число, а больше с;

в) число, а+с принадлежит интервалу (5;10);

г) число, а+с не принадлежит (5;10);

Задача № 5. В мешке 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Охарактеризуйте события:

а) из мешка вынули 4 шара и все они синие;

б) из мешка вынули 4 шара и все они красные;

в) из мешка 4 шара и все оказались разного цвета;

г) из мешка 4 шара и среди них не оказалось шара чёрного цвета;

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:
  1. определения:
  2. задача № 1. Укажите достоверные и невозможные события:

А – появление не более 12 очков при однократном бросании двух игральных костей;

В – появление сразу 3 лайнеров над аэропортом;

С – попадание в мишень при 3 выстрелах;

Д – появление в окошке счётчика трёхзначного числа, из цифр 1, 2, 3 и кратно 5;[А- д, Д- н]

Задача № 2. В двух урнах по 5 шаров, 5 различных цветов: белого, синего, красного, желтого и зеленого. Из урны вынимают по 1 шару. Какие события:

а) разного цвета[д], б) одного цвета[с], в) 1 черный и 4белого[н].


УРОК №17 «КЛАССИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ

ВЕРОЯТНЫХ СОБЫТИЙ.»

Цель–Сформировать понятия классической вероятности события, вывод формулы вероятность случайных событий, применение к решению задач.

ХОД УРОКА:
  1. проверка д/з
  2. новый материал
  3. решение задач

Бросаем игральную кость. Выпасть могут числа от 1 до 6. Каждое из этих событий элементарное, и вместе они образуют пространство элементарных событий.

Но будут ли эти элементарные события равновозможными?

Равновозможными элементарными событиями считать такие события, любое из которых по отношению к другим событиям не обладает никаким преимуществом появляться чаще другого при многократных испытаниях, проводимых в одинаковых условиях.

Возможность появление некоторого события Н удобно измерять отношением m/n,

где n – число всех равновозможных элементарных событий, вытекающих из условий данного испытания, а m – число равновозможных событий, которые благоприятствуют событию Н.

Эту удобную меру возможности появления события Н принято называть вероятностью этого события и обозначать символом:

Р(Н)= m

n

определение: Вероятностью случайного события Н называется отношение числа равновозможных элементарных событий (или число всех исходов),благоприятствующих этому событию, к числу всех равновозможных элементарных событий пространства Е (к общему числу между собой исходов), определяемого данным испытанием.[классическое определение вероятности случайного события]

Задача № 1. Найти вероятность того, что при одном бросании игрального кубика выпадает: а) 4; б) 5; в) чётное число очков; г) число очков больше 4; д) число очков, не кратное 3.

Решение: всего имеется n=6 возможных исходов, то есть принимаем предположение о равновероятности этих исходов.

а), б) n=6 m=1 Р(А)=1/6

в) n=6 m=3 Р(А)=3/6=1/2

г) n=6 m=2 Р(А)=2/6=1/3

д) n=6 m=4 Р(А)=4/6=2/3

Задача № 2.Найдите вероятность того, что при двукратном бросании игрального кубика произведение выпавших очков будет: а) кратно 5; б) кратно 6.

Решение: при каждом из двух бросаний кубика возможны 6 исходов. По правилу умножения получаем, что данный опыт имеет 6*6=36 исходов, значит n=36.В данном случае все исходы – пары (1;1), (1;2),…(1;6),(2;1),(2;2),….(6;5),(6;6).

а) если на первом месте 5, то 6 вариантов, если 5 на втором месте, то тоже 5, но (5;5) дважды, значит m=11 n=36 Р(А)=11/36

б) если 6 на первом месте, то 6, если на втором тоже 6, но пара (6;6) одна и также, значит 11, но ещё (2;3), (4;3), (3;2), (3;4) – ещё 4 всего 11+4=15=m n=36 Р(А)=15/36=5/12

Задача № 3. Из колоды в 36 карт случайным образом одновременно вытаскивают 3 карты. Какова вероятность того, что среди них нет пиковой дамы?

Решение: всего 36 карт, значит n=С336 исходов. Отложим даму пик в сторону, и из 35 будем выбирать m=С335. Р(А)=С335 = 35!_ *