Горячева Татьяна Геннадьевна учитель математики 2005 г содержание программы: 1 пояснительная записка

Вид материала

Пояснительная записка

Содержание Цель - Сформировать понятие решение комбинаторных задач, развитие навыков решения задач, проверка знаний учащихся об истории мат Ход урока Математический диктант. Урок № 3 «комбинаторные задачи. правило умножения». Ход урока Правило умножения. Урок № 4 « дерево вариантов». Урок № 5 тема: “факториалы .”

Подобный материал:

• Никитина Наталья Ивановна г. Всеволожск. 2010 г. Содержание программы. № п/п. Содержание, 275.33kb.
• Киселева Мария Геннадьевна учитель информатики моу сош №2 им. И. А. Сухана г. Кстово, 346.34kb.
• Киселева Мария Геннадьевна учитель информатики моу сош №2 им. И. А. Сухана г. Кстово, 428.62kb.
• Киселева Мария Геннадьевна учитель информатики моу сош №2 им. И. А. Сухана г. Кстово, 328.22kb.
• Киселева Мария Геннадьевна учитель информатики моу сош №2 им. И. А. Сухана kis-marya@rambler, 346.32kb.
• Пояснительная записка 4 Содержание программы 7 Требования к уровню подготовки выпускников, 97.02kb.
• Сайфуллин Халил Хамзаевич учитель биологии, гимназии №9 г. Караганды Караганда 2011, 181.68kb.
• Рябцева Татьяна Ивановна учитель физики 2011 пояснительная записка, 172.45kb.
• Колупаева Галина Геннадьевна с. Чоя 2005 год пояснительная записка, 256.5kb.
• Субботина Татьяна Борисовна, учитель русского языка и литературы, учитель 1ой категории, 736.23kb.

Цель - Сформировать понятие решение комбинаторных задач, развитие навыков решения задач, проверка знаний учащихся об истории математике (математический диктант).

ХОД УРОКА:

В математике существует немало задач, в которых требуется из имеющихся элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, образованных по определенному правилу. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся решением этих задач, называется комбинаторикой.

Некоторые комбинаторные задачи решали ещё в Древнем Китае, а позднее – в Римской Империи. Однако как самостоятельный раздел математики комбинаторика оформилась в Европе лишь в 18 в. в связи с развитием теории вероятностей.

Фигурные числа:

В древности для облегчения вычислений часто использовали камешки. При этом особое внимание уделялось числу камешков, которые можно было разложить в виде правильной фигуры. Так появились квадратные числа (1, 4, 16, 25, …).На рис.1 показано правило их образования.

0. 0 0 0 0
   

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1, 2*2=2 ² =4, 3*3=3 ² =9, 4*4=4 ² =16, 5*5=5 ² =25,…

рис. 1.

Любое n –е по порядку квадратное число вычисляется по формуле N=n ² .

Были сконструированы треугольные (1, 3, 6, 10,15, . . .) и пятиугольные (1, 5, 12,

22, . . .) числа. На рис. 2 и 3 показан способ образования этих чисел.

Любое n-e по порядку треугольное число можно найти по формуле

N= n (n+1)/2,

а любое n-e по порядку пятиугольное – по формуле

n (n-1)

N=n+3*------------------

2

0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10, 1+2+3+4+5=15, . . .

рис. 2.


0

0 0 рис.3.

0 0 0

1, 2+3*(2*(2-1)/2)=5, . . .

Задача № .1Найдите седьмое по порядку: 1) квадратное число; 2) треугольное число; 3) пятиугольное число.

Решение:

1. По формуле N=n² при n=7 находим N=7²=49.
   
2. По формуле N =n*(n+1)/2 при n=7 находим N =7*(7+1)/28.
   
3. По формуле N =n+3*n*(n-1)/2 при n=7 находим N =7+3*7*(7-1)/2=70.
   

Задача № 2. Запишите n-e по порядку квадратное число: 1) n=20;2) n=25;3) n=31;

4. n=50.
   

Задача № 3. Каким по порядку квадратным числом является число:

1. 169; 2) 225; 3) 324; 4)3600?
   

Задача № 4. Запишите n-e по порядку треугольное число, если: 1) n=20; 2) n=33.

Задача № 5. Запишите n-e по порядку пятиугольное число, если: 1) n=5; 2) n=6.


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ.

1. Как переводится с латинского термин «комбинаторика»? [сочетать, соединять]
   
2. Кто первый изложил учение о биномиальных коэффициентах? [Б. Паскаль]
   
3. В каком году стали употреблять термин 'комбинаторика'? [1666 г.]
   
4. Кем в первые был введён знак (!) и в каком году ? [1808 г., Крампа]
   
5. Чему равен 0! ? [1]
   
6. Чему равно С_m⁰ ? [1]
   
7. С каким учёным наука теория вероятности шагнула вперёд ?[Бернулли]
   
8. Кто из русских математиков большое влияние в теории вероятности ?[Марков, Чебышев, Колмогоров]
   
9. В каких приделах лежит вероятность Р(А) ?[ от 0 до 1 ]
   

УРОК № 3 «КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ. ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ».

Цель - Сформировать понятие - комбинаторных задач и правило умножения,

применение к решению задач, развитие навыков решения комбинаторных задач.

ХОД УРОКА:

В повседневной жизни нередко перед нами возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, очень важно не упустить ни один из них. Для этого надо осуществить перебор всех возможных вариантов. Такого рода задачи называют комбинаторными.

Задача № 1. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7?

Решение: Для того чтобы не пропустить и не повторять , будем в порядке возрастания. 11, 14, 17, 41, 44, 47, 71, 74, 77. Таким образом, будет 9 чисел.

Задача № 2. На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник, кекс, а запить он может кофе, соком или кефиром. Из каких вариантов завтрака Вова может выбирать ?

Решение: Соберём все варианты: кофе –плюшка, сок-плюшка, кефир-плюшка

кофе-бутерброд, сок-бутерброд, кефир-бутерброд,

кофе-пряник, сок-пряник, кефир-пряник,

кофе-кекс, сок-кекс, кефир-кекс.

Всего 3 столбика и 4 строчки, значит всего вариантов будет 3*4=12.

Как мы видим, эти задачи на общем правиле умножения.

ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ.

Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В следует перемножить число всех исходов испытания А на число всех исходов испытания В.

Задача № 3.Сколько трёхзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1,2,3,4,5,6, если цифры могут повторяться?

Решение: Например число АВС А взять любую цифру(кроме 0),то есть 6, вместо В взять-7 цифр, вместо С только 2,4,6,0,то есть 4.

Получаем 6*7*4=168.

Ответ:168.

Задача № 4. 1) Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,3,5,7,9?[25]

2. Сколько из них чисел кратных пяти?[5]
   

Задача № 5.Несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде четырёх вертикальных полос одинаковой ширины разных цветов - белого, синего, красного, зелёного. У каждой страны свой флаг.

1. Сколько стран могут использовать такую символику?[24]
   
2. Сколько стран могут использовать такую символику с первой белой полосой?[6]
   

домашнее задание:

Задачи:1) У Ирины пять подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Светлана. Она решила двух из них пригласить в кино. Укажите все возможные варианты, сколько таких вариантов?[10]

3. Сколько существует двузначных чисел, имеющих обе четные цифры
   

(0,2,4,6,8)?[20]


УРОК № 4 « ДЕРЕВО ВАРИАНТОВ».

Цель - Сформировать понятие дерево вариантов, применение к решению задач, развитие логического мышления.

ХОД УРОКА:

1. Проверка домашнего задания (ученик у доски объясняет решение).
   
2. Объяснение нового материала.
   

Оказывается, правило умножения для трёх, четырёх и т. д. испытаний можно

объяснить, не выводя за рамки плоскости, с помощью геометрической картинки (модели), которую называют деревом возможных вариантов. Она, во-первых, как всякая картинка, наглядна и, во-вторых, позволяет все учесть, ничего не пропустив.

Задача № 1. Несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде трёх горизонтальных полос одинаковой ширины разных цветов - белого, синего, красного. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны – свой флаг?

флаг

?____

?____

цвет верхней полосы ?____

белый синий красный

-------- -------- -----------

-------- -------- -----------

/ / / / / /

белый белый синий синий красный красный

синий красный белый красный белый синий

-------- --------- -------- --------- -------- ---------

/ / / / / /

белый белый синий синий красный красный

синий красный белый красный белый синий

красный синий красный белый синий белый

Таким, образом, получилось 6 комбинаций.

Построенная схема напоминает перевёрнутое дерево.

Для следующего примера мы приведём три различных способа решения: прямым перебором, с помощью дерева вариантов и по правилу умножения.

Задача № 2. В коридоре – три лампочки. Сколько имеется различных способов освещения коридора?

Решение: 1) Пронумеруем лампочки и будем писать + или – в зависимости от того, горит или не горит очередная лампочка. Тогда все способы освещения можно просто перечислить:

+ + +, + + -, + - +, + - - , - + +, - + -, - - + ,- - -. Всего 8 способов.

2)Дерево возможных вариантов:

(+ горит) первая лампочка (- не горит)

/ /

(+)вторая лампочка(-) (+)вторая лампочка (-)

/ / / /

(+) третья (-) (+)третья(-) (+)третья(-) (+)третья(-)

/ / / / / / / /

+ + + + + - + - + + - - - + + - + - - - + - - -

Всего 8 способов.

3. Первая лампочка может или гореть, или не гореть, т. е. имеется два возможных исхода. Но то же самое относится и ко второй, и к третьей лампочке. По правилу умножения получаем 2*2*2=8.
   

Ответ: 8.

Задача № 3. В семье – 6 человек, а за столом в кухне – 6 стульев. В семье решили каждый вечер, ужиная, рассаживаться на эти 6 стульев по-новому. Сколько дней члены семьи смогут делать это без повторений?

Решение: Для удобства пронумеруем стулья №1-6 и будем считать, что будут рассаживаться поочерёдно. С начало 6 вариантов, потом 5, далее 4, 3,2,1. По правилу умножения :6*5*4*3*2*1=720

Таким образом, семья может играть почти 2 года.

Ответ:720.

Задача № 4.Десять различных писем раскладываются по одному в десять конвертов. Сколько существует способов раскладывания?[3628800]

Задача № 5.Одновременно происходит выборы мэра города и префекта округа. Кандидатура на должность мэра – Алкин, Балкин, Валкин, а на должность префекта – Эшкин, Юшкин, Яшкин. Нарисуйте дерево возможных вариантов голосования и определите с его помощью число различных исходов голосования?[9]

Задача № 6. Учащиеся 9 класса решили обменяться фотографиями. Сколько фотографий для этого потребуется, если в классе 24 учащихся?[552]


Домашнее задание:

Задача № 1.Данила, Андрей и Наташа собрались потренироваться в бросании мяча в баскетбольную корзину. У них только один мяч, и им надо договориться, кто за кем будет бросать. Сколькими способами они могут занять очередь?[6](построить дерево)

Задача №2.Пётр решил пойти на новогодний карнавал в костюме мушкетёра. В ателье проката ему предложили на выбор: 5 пар брюк, 6 камзолов, 3 шляпы, 2 пары сапог. Сколько различных карнавальных костюмов можно составить из этих предметов?[180]

УРОК № 5 ТЕМА: “ФАКТОРИАЛЫ .”