Рабочая учебная программа по курсу по выбору «Линейные операторы в евклидовых пространствах» Для Проп по направлению «050100 Педагогическое образование»

Вид материала

Рабочая учебная программа

Содержание Очная форма обучения Пояснительная записка Цели и задачи дисциплины 1.3. Требования к результатам освоения дисциплины Уровни сформированности компетенции Повышенный уровень Уровни сформированности компетенции Повышенный уровень 1.4. Объем дисциплины и виды учебной работы Учебно-тематическое планирование Содержание дисциплины 3. 2. Перечень тем лекционных занятий 3. 3. Перечень тем практических занятий 3.4. Перечень тем лабораторных работ Самостоятельная работа и организация контрольно-оценочной деятельности 4.2. Темы контрольных работ для студентов очной и заочной форм обучения 4. 4. Вопросы для подготовки к зачету 4. 5. Типы задач для подготовки к практической части зачета 5. Учебно-методическое и инфомационное обеспечение дисциплины 5.2. Информационное обеспечение дисциплины ... Полное содержание

Подобный материал:

• Рабочая учебная программа по курсу по выбору «Планарные графы» Для Проп по направлению, 162.81kb.
• Рабочая учебная программа по курсу по выбору «Многочлены от нескольких переменных», 166.1kb.
• Рабочая учебная программа по курсу по выбору «Алгебры с делением над полем действительных, 179.95kb.
• Рабочая учебная программа по дисциплине «Методика обобщающего повторения» для Проп, 154.14kb.
• Рабочая программа учебная дисциплина Историография истории России Направление подготовки, 227.18kb.
• Рабочая программа учебно-педагогической практики (летние лагерные сборы) на 2010-2011, 438.34kb.
• Рабочая программа учебно-исследовательской практики на 2011-2012 учебный год Направление, 225.84kb.
• Рабочая учебная программа по дисциплине по выбору студентов «Математическое моделирование, 228.62kb.
• Рабочая программа учебно-полевой практики по зоологии 2010-2011 учебный год, 254.69kb.
• Программа вступительного экзамена в магистратуру по направлению подготовки: 050100., 85.55kb.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Уральский государственный педагогический университет»
Математический факультет

Кафедра алгебры и теории чисел


РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

по курсу по выбору «Линейные операторы в евклидовых пространствах»

Для ПрОП по направлению «050100 – Педагогическое образование»,

профиль «Математика»

по циклу Б3 – профессиональный цикл

Очная форма обучения Курс – 3 Семестр – 5 Объём в часах всего – 115 в т. ч.: лекции – 14 практические занятия – 26 лабораторные занятия – 0 самостоятельная работа – 75 Зачет – 5 семестр

Екатеринбург 2011

Рабочая учебная программа по дисциплине ««Линейные операторы в евклидовых пространствах» ГОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет» Екатеринбург, 2011. – 11 с.


Составитель:

Ершова Т.И., к.ф.-м.н., доцент кафедры алгебры и теории чисел УрГПУ, математический факультет


Рабочая учебная программа обсуждена на заседании кафедры алгебры и теории чисел УрГПУ (Протокол № 9 от 05.05.2011).


Зав. кафедрой С.С. Коробков


Председатель методической комиссии И.Н. Семенова


Декан математического факультета В.П. Толстопятов

1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
   

Теория линейных векторных пространств, рассматривается в курсе «Алгебра» во 2 и 4 семестрах. Являясь в какой – то мере обобщением понятия двухмерного или трехмерного евклидового пространства, изучаемых в дисциплине «Геометрия», векторные пространства (n>3) более бедны по своим свойствам, поскольку в них не определены такие важные понятия, как вектор, угол, между векторами скалярное произведение векторов. Понятие n – мерного евклидова пространства с аксиоматически введенным понятием скалярного произведения позволяет построить достаточно богатую теорию. Особый интерес представляют линейные операторы в евклидовых пространствах. В данном курсе по выбору внимание уделяется рассмотрению свойств самосопряженных и ортогональных операторов.

Рабочая учебная программа дисциплины «Курс по выбору: «Линейные операторы в евклидовых пространствах» соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта третьего поколения (ФГОС-3) подготовки бакалавров по направлению «050100 – Педагогическое образование», профиль «Математика».

1. Цели и задачи дисциплины
   

Цели изучения дисциплины:

• познакомить студентов с возможными обобщениями теорий двухмерного и трехмерного евклидова пространства, рассматриваемых в дисциплине «Геометрия»;
  
• познакомить студентов с аксиоматическим подходом к построению n – мерного евклидова пространства;
  
• продемонстрировать студентам сходство и различия алгебраического и геометрического подхода к построению евклидовых пространств;
  
• сформировать у студентов представление о возможности описания различных линейных операторов на языке теории матриц;
  

Задачи изучения дисциплины:

• научить студентов проявлять самостоятельность и творческий подход в овладении математическими знаниями ;
  
• рассмотреть некоторые важные типы линейных операторов евклидовых пространств (самосопряженные, ортогональные и др.) и выявить их свойства;
  

1.2. Место дисциплины в структуре ПрОП

Курс по выбору «Линейные операторы в евклидовых пространствах»изучается в рамках вариативной части профессионального цикла. Его изучение базируется на понятиях линейного векторного пространства, базиса линейного оператора, которые рассматриваются в дисциплине «Алгебра» в 4 семестре. Данный курс тесно связан также с геометрическими пространствами размерности 2 и 3 изучаемыми, как в школьной математике, так и в дисциплине «Геометрия» и существенно дополняет раздел «Линейные векторные пространства».


1.3. Требования к результатам освоения дисциплины:

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующей профессиональной компетенции:

способен демонстрировать, применять, критически оценивать и пополнять математические знания,

а также части профессиональной компетенции:

готов организовывать различные виды учебно-исследовательской и проектной деятельности обучающихся.

Основные требования к результатам освоения дисциплины представлены в следующей таблице в виде признаков сформированности компетенции. Требования формулируются по двум уровням: пороговый и повышенный и в соответствии со структурой, принятой в ФГОС ВПО: знать, уметь, владеть.

Уровни сформированности компетенции	Структура компетенции	Основные признаки уровня
Пороговый уровень	Знает основы аксиоматической теории евклидовых пространств.	Формирует определения скалярного произведения и определения евклидова пространства.
		Воспроизводит алгоритм ортогонализации базиса в евклидовом пространстве.
		Формирует определения линейного оператора, ортогонального оператора, самосопряженного оператора.
		Знает основные свойства ортогональных и самосопряженных операторов.
		Имеет представление о значении аксиоматического подхода к построению теории евклидовых пространств.
	Умеет доказывать утверждения теории евклидовых пространств	Знает идеи доказательства основных теорем курса
		Умеет аргументировано обосновывать основные положения теории евклидовых пространств
		Может иллюстрировать положения теории евклидовых пространств примерами из курса «Геометрия»
	Умеет Решать задачи по теме: «Евклидовы пространства»	Проверяет аксиомы скалярного произведения и аксиомы евклидова пространства
		Применят процесс ортогонализации к линейно независимой системе векторов
		Приводит примеры ортогональных и самсопряженных операторов с полным обоснованием.
		Аргументирует выбор решения задачи
	Владеет языком курса «Линейные операторы в евклидовых пространствах»	Владеет терминологией раздела «Евклидовы пространства»
		Способен проявить свою компетентность в теории евклидовых пространств применительно к дисциплинам «Алгебра» и «Геометрия»
		Способен корректно формулировать знания на алгебраическом и геометрическом языке.
Повышенный уровень	Знает основы теории евклидовых пространств.	Осознает роль Евклидовых пространств в общей теории линейных векторных пространств.
		Устанавливает связи между основными идеями теории евклидовых пространств и другими математическими теориями, дисциплинами и т.д.
		Понимает сущность и значение самосопряженных и ортогональных операторов.
	Умеет доказывать утверждения теории евклидовых пространств.	Выделяет основные смысловые аспекты в доказательстве утверждений теории евклидовых пространств.
		Понимает сущность аксиоматического подхода к построению теорий и, в частности, к теории евклидовых пространств.
		Понимает специфику требований к строгости доказательства.
	Умеет решать задачи по теории евклидовых пространств.	Применяет методы теории евклидовых пространств в незнакомых ситуациях
		Оценивает логическую строгость в рассуждениях при решении задач.
	Владеет профессиональным языком теории евклидовых пространств.	Критически осмысливает полученные знания.
		Способен передавать результат проведенных исследований в виде конкретных рекомендаций в терминах теории евклидовых пространств.
		Способен пользоваться как геометрическим, так и алгебраическим описанием объектов теории евклидовых пространств.

Таблица № 2

Уровни сформированности компетенции	Структура части компетенции	Основные признаки уровня
Пороговый уровень (как обязательный для всех студентов-выпуск­ников вуза по завершению освоения дисциплины)	Знает этапы исследования.	Знает основные задачи исследовательского типа в дисциплине «Линейные операторы в евклидовых пространствах».
		Знает, какие типы задач школьного курса математики имеют связи с теорией евклидовых пространств.
	Может разработать исследовательские задания на материале школьного курса математики.	Может предложить конкретные задачи исследовательского характера, связанные с теорией евклидовых пространств и доступные для учащихся.
		Может поставить вопросы, составить план решения предложенных задач.
	Может организовать локальную исследовательскую деятельность учащихся.	Может сформулировать цель, гипотезу, предложить пути решения задачи.
		Способен оценить полученные результаты и наметить пути дальнейшего исследования.
Повышенный уровень	Знает основные требования, предъявляемые к проектам.	Знает темы, связанные с теорией евклидовых пространств и подходящие для разработки исследовательских проектов со школьниками.
	Умеет выбрать тему исследовательского проекта.	Может сформулировать цель, гипотезу, объект и предмет исследовательского проекта.
	Владеет основами организации работы над проектом.	Способен организовать исследовательскую деятельность группы участников по выбранной теме проекта.

1.4. Объем дисциплины и виды учебной работы


Согласно учебному плану курс «Линейные операторы в евклидовых пространствах» на очном отделении изучается бакалаврами на 3 курсе в 5 семестре, форма контроля – зачет. На изучение курса отводится 80 учебных часов, в т.ч. 40 уч.ч. аудиторных занятий и 40 уч.ч. самостоятельной работы студентов. Аудиторные занятия включают 14 уч.ч. лекций, 26 уч.ч. практических занятий. Контроль и организация самостоятельной работы студентов осуществляются с помощью домашних заданий, охватывающих все наиболее важные разделы курса.

На заочном отделении дисциплина «Линейные операторы в евклидовых пространствах»изучается на 4 курсе в 8 семестре, форма контроля – зачет. На изучение курса отводится 36 учебных часа, в т.ч. 18 уч.ч. аудиторных занятий и 18 уч.ч. самостоятельной работы студентов. Аудиторные занятия включают 6 уч.ч. лекций, 12 уч.ч. практических занятий. Лабораторные занятия не предусмотрены.


Общая трудоемкость дисциплины составляет две зачетные единицы.

2. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

2.1. Учебно-тематический план очной формы обучения

№ п/п	Наименование раздела, темы	Всего тру- доем- кость	Аудиторные занятия				Самостоя- тель- ная работа
			Все- го	Лек- ции	Пра- кти- чес- кие	Ла- бора- тор- ные
1	Евклидовы пространства. Свойства. Длина вектора. Угол между векторами в евклидовом пространстве	19	6	2	4		13
2	Ортонормированные системы векторов. Процесс ортогонализации. Ортогональные дополнения	31	12	4	8		19
3	Изоморфизм евклидовых пространств	11	2		2		9
4	Ортогональные операторы	27	10	4	6		17
5	Самосопряженные операторы	27	10	4	6		17
	ИТОГО:	115	4	14	26		75

3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
   

3. 1. Структурированное содержание дисциплины

№ п/п	Наименование раздела (темы)	Содержание раздела
1	Евклидовы пространства. Свойства. Длина вектора. Угол между векторами в евклидовом пространстве	Скалярное произведение. Свойства. Определение евклидова пространства. Определение длины вектора и угла между векторами.
2	Ортонормированные системы векторов. Процесс ортогонализации. Ортогональные дополнения.	Ортогональные системы векторов. Линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Процесс ортогонализации. Ортонормированный базис. Ортогональная сумма подпространств. Ортогональные дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство.
3	Изоморфизм евклидовых пространств	Критерий изоморфизма евклидовых пространств.
4	Ортогональные операторы	Ортогональные матрицы. Свойства ортогональных матриц. Ортогональный оператор евклидова пространства. Матрица ортогонального оператора. Группа ортогональных операторов.
5	Самосопряженные операторы	Определение самосопряженного оператора. Матрица самосопряженного оператора. Собственные значения и собственные векторы самосопряженного оператора.

3. 2. Перечень тем лекционных занятий

На очном отделении:

Лекция № 1. Скалярное произведение векторов. Евклидово пространство.

Лекция № 2. Процесс ортогонализации. Ортонормированный базис в евклидовом пространстве.

Лекция № 3. Ортогональные дополнения.

Лекция № 4. Ортогональные матрицы.

Лекция № 5. Ортогональные операторы.

Лекция № 6. Самосопряженные операторы.

Лекция № 7. Собственные значения и собственные векторы самосопряженного оператора.

На заочном отделении:

Лекция № 1. Скалярное произведение векторов. Евклидово пространство.

Лекция № 2. Ортогональные операторы.

Лекция № 3. Самосопряженные операторы.


3. 3. Перечень тем практических занятий

На очном отделении:

Занятие № 1. Скалярное произведение. Свойства. Евклидовы пространства.

Занятие № 2. Длина вектора. Угол между векторами в евклидовом пространстве.

Занятие № 3. Процесс ортогонализации.

Занятие № 4. Ортонормированный базис.

Занятие № 5. Ортогональная сумма подпространств.

Занятие № 6. Ортогональная проекция вектора на подпространство.

Занятие № 7. Изоморфизм евклидовых пространств.

Занятие № 8. Свойства ортогональных матриц.

Занятие № 9. Ортогональные операторы.

Занятие № 10. Характеристические корни матрицы ортогонального оператора.

Занятие № 11. Самосопряженные операторы.

Занятие № 12. Матрицы самосопряженных операторов. Свойства.

Занятие № 13. Собственные значения и собственные векторы самосопряженных операторов.

На заочном отделении:

Занятие № 1. Скалярное произведение. Евклидовы пространства.

Занятие № 2. Ортонормированный базис.

Занятие № 3. Изоморфизм евклидовых пространств.

Занятие № 4. Ортогональные матрицы. Свойства.

Занятие № 5. Ортогональные операторы.

Занятие № 6. Самосопряженные операторы.


3.4. Перечень тем лабораторных работ

Учебной программой лабораторные занятия по данной дисциплине не предусмотрены.


3.5. Перечень тем занятий, реализуемых в активной и интерактивной формах


Каждая лекция содержит в себе интерактивные фазы проведения занятия. Все практические занятия проводятся в интерактивной форме, начиная с анализа условия задач до обсуждения вариантов решения.

4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА И ОРГАНИЗАЦИЯ КОНТРОЛЬНО-ОЦЕНОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
   

4.1. Темы, вынесенные на самостоятельное изучение для студентов очной и заочной форм обучения

1. Ортогональное дополнение к сумме подпространств.
   
2. Группа ортогональных операторов.
   
3. Собственные значения матрицы самосопряженного оператора.
   

4.2. Темы контрольных работ для студентов очной и заочной форм обучения


Контрольные работы по данному курсу не предусматриваются.

4.3. Примерные темы курсовых работ

1. Унитарные пространства.
   
2. Нормальные операторы унитарного пространства.
   
3. Проекционные операторы пространства.
   

4. 4. Вопросы для подготовки к зачету

1. Определение скалярного произведения. Свойства.
   
2. Определение евклидова пространства. Примеры.
   
3. Определение длины вектора, угла между векторами.
   
4. Линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов.
   
5. Процесс ортогонализации.
   
6. Существование ортонормированного базиса в евклидовом пространстве.
   
7. Критерий изоморфизма двух конечномерных евклидовых пространств.
   
8. Равносильные определения ортогональной матрицы.
   
9. Ортогональность матрицы перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному базису.
   
10. Невырожденность ортогональной матрицы.
    
11. Ортогональный операторы евклидова. Примеры.
    
12. Матрица ортогонального оператора в ортонормированном базисе.
    
13. Группа ортогональных операторов.
    
14. Определение самосопряженного оператора. Примеры.
    
15. Матрицы самосопряженного оператора в ортонормированном базисе.
    
16. Действительность характеристических корней матрицы самосопряженного оператора.
    
17. Критерий самосопряженности оператора в евклидовом пространстве.
    

4. 5. Типы задач для подготовки к практической части зачета

1. Задачи на проверку аксиом евклидова пространства.
   
2. Задачи на проведение процесса ортогонализации и построение ортонормированного базиса.
   
3. Задачи на ортогональные дополнении и ортогональные проекции.
   
4. Задачи на нахождение матрицы ортогонального или самосопряженного оператора в ортонормированном базисе.
   

5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

5.1. Рекомендуемая литература

Основная

1. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре, –3-е изд. – М.: Наука, 1966 – 280с.
   
2. Кушнов Л.Я, Москаленко А.Н., Фомин А.А.Сборник задач по линейной алгебре и Теории чисел. М.: Просвещение, 1993. –288 с.
   
3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры, 9 – е изд. – М.: Наука, 1968. – 431с.
   
4. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел, ч.2. – М.: Просвещение, 1978.986. – 447 с.
   
5. Мальцев А. Н. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1970. – 400с.
   
6. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. 2-е изд. – М.: Госуд. Изд-во физ.-мат. литературы, 1962. – 332 с.
   
7. Фаддеев. К., Соминский Н.С. Сборник задач по высшей алгебре, 11-е изд. М., Наука, 1977. – 288 с .
   

Дополнительная

1. Воеводин В.В, Линейная алгебра. М.: Наука, 1974. – 336 с.
   
2. Ефимов Н.В, Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: Наука, 1970. – 528 с.
   
3. Сборник задач по алгебре под редакцией Костринина А. И. М.: Наука, 1987. – 352 с.
   
4. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применение. М.: Мир, 1980. – 454 с.
   
5. Хедли Дж. Линейная алгебра. М.: Высшая школа, 1966. – 206 с.
   

5.2. Информационное обеспечение дисциплины

При изучении данной дисциплины рекомендуется использовать:

1. Электронный оптический диск (CD-ROM), подготовленный для студентов математического факультета с учебными и методическими материалами по дисциплинам кафедры алгебры и теории чисел.
   
2. Цифровые образовательные ресурсы сети Интернет
   
   1. ссылка скрыта;
      
   2. ссылка скрыта),
      
   3. ссылка скрыта.
      

6. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ И ДИДАКТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ


При изучении дисциплины «Линейные операторы в евклидовых пространствах» рекомендуется использовать технические средства обучения (персональные компьютеры, медиа проектор).

7. СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ ПРОГРАММЫ


Ершова Тамара Ивановна

к.ф.-м.н.,

доцент каф. алгебры и теории чисел УрГПУ

Рабочий телефон: (343) 371-45-97

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

по курсу по выбору «Линейные операторы в евклидовых пространствах»

Для ПрОП по направлению «050100 – Педагогическое образование»,

профиль «Математика»

по циклу Б3 – профессиональный цикл


Подписано в печать Формат 60х84/16


Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л.


Тираж экз. Заказ


Уральский государственный педагогический университет.

620017 Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26.