Лекция № Тема 3: Определители. Формулы Крамера
Вид материала | Лекция |
- Тематическийпла н, 46.68kb.
- Вопросы к экзамену по курсу «Высшая математика часть, 14.58kb.
- Определители 2-го и 3-го порядков: определения и применение к решению систем линейных, 42kb.
- Лекции по предмету "аналитическая геометрия и линейная алгебра", 82.08kb.
- Тема «Формулы тригонометрии» Лекция, 104.28kb.
- Лекция по векторной алгебре. Лекция по векторной алгебре. Тема, 30.38kb.
- Календарно-тематическое планирование Календарно-тематическое планирование (математика), 232.23kb.
- Лекция №1. Определители, 109kb.
- Стивена Крамера "Creativity Under The Gun", 92.94kb.
- Домашнее задание для 10А на 14-19 февраля, 20.2kb.
Стр. из 6
Лекция № 4.
Тема 3: Определители. Формулы Крамера.
Нахождение обратной матрицы - метод Гаусса-Жордана.
Задача 4.1а. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы:
ax + by = ,
cx + dy = .
Сначала решите самостоятельно!
Решение:
Запишем систему в виде матричного уравнения:
AX = B, где
В
этом случае решение записывается в виде: X = A-1B, где A-1 - матрица, обратная к матрице A-1, значит
откуда получаем
Ответ: Решением системы является упорядоченная пара чисел:
Заметим, что у обеих полученных дробей в знаменателе находится одно и то же выражение ad - bc, очевидно, являющееся некоторой числовой характеристикой основной матрицы исходной системы:
Определение: Выражение ad - bc называется определителем матрицы
и
обозначается так:
Значит, знаменатели у обеих полученных дробей равны det A.
А что можно сказать об их числителях ?
Напишите здесь: ………….
……………..
В самом деле, числители обеих дробей также можно записать в виде определителей:
Запишем полученное нами решение, обозначая определители буквами , 1, 2:
(1)
Как видим, определители 1 и 2 получаются из определителя 1 заменой, соответственно, 1-го и 2- го столбцов на столбец свободных членов.
Формулы (1), представляющие собой запись решения через определители , 1, 2, называются формулами Крамера.
Задача 4.2. Решить систему уравнений, используя формулы Крамера:
x + 2y = -3,
x + 3y = -5.
Решение:
Найдем три определителя - , 1, 2:
Пользуясь формулами Крамера, запишем решение системы:
Ответ: x = 1, y = -2.
Обязательно сделайте проверку!
Может возникнуть закономерный вопрос:
"Возможно ли с помощью формул Крамера решать системы бόльших размеров, например, 3х3"?
Оказывается, в случае системы из 3-х уравнений с 3-мя неизвестными x, y и z решение выглядит так:
Здесь - определитель основной матрицы системы, а определители 1, 2 и 3 получаются из заменой соответственно, 1-го, 2- го и 3-го столбцов на столбец свободных членов.
Остается выяснить, как найти определитель квадратной матрицы 3-го порядка.
Для этого еще раз посмотрим на формулу для определителя матрицы 2-го порядка:
Попробуем прочитать ее следующим образом:
"Будем двигаться по первой строке определителя слева направо. На первом шаге возьмем (со знаком "+") первый элемент этой строки a и умножим его на то, что останется, если вычеркнуть из определителя строку и столбец, содержащие a:
На втором шаге возьмем (со знаком "-") следующий элемент первой строки b и умножим его на то, что останется, если вычеркнуть из определителя строку и столбец, содержащие b:
Сложив (два) полученные произведения (одно - со знаком "+" и одно - со знаком "-"): ad - bc, получим исходный определитель ad - bc".
Попробуем теперь применить подобный алгоритм к вычислению определителя квадратной матрицы A, но теперь уже 3-го порядка:
"Будем двигаться по первой строке определителя слева направо. На первом шаге возьмем (со знаком "+") первый элемент этой строки a11 и умножим его на то, что останется, если вычеркнуть из определителя строку и столбец, содержащие a11:
На втором шаге возьмем (со знаком "-") следующий элемент первой строки a12 и умножим его на то, что останется, если вычеркнуть из определителя строку и столбец, содержащие a12:
На третьем шаге возьмем (уже опять со знаком "+") следующий элемент первой строки a13 и умножим его на то, что останется, если вычеркнуть из определителя строку и столбец, содержащие a13: