Лекция №1. Определители

Вид материала

Лекция

Содержание Лекция №2. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Метод Крамера. Лекция №3. Лекция №4. Лекция №5. Теория вероятности Лекция №2. Лекция №3. Лекция №4. Аксиоматика Колмогорова. Первые следствия из аксиом Теорема сложения вероятностей Лекция №5.

Подобный материал:

• Лекция № Тема 3: Определители. Формулы Крамера, 42.16kb.
• Темы для изучения по предмету «Высшая математика» для студентов Iкурса (Заочное обучение,, 144.7kb.
• Программа Курса «Высшая математика» для специальности 033300 Безопасность жизнедеятельности, 53.79kb.
• Семинар «Определители. Способы вычисления», 10.31kb.
• «Социальная стратификация и социальная мобильность», 46.19kb.
• Лекции пр зан, 50.82kb.
• Программа курса математики, 16.23kb.
• Тематика курсовых работ по линейной алгебре Матрицы и определители: реализация основных, 8.06kb.
• Тематическийпла н, 46.68kb.
• Первая лекция. Введение 6 Вторая лекция, 30.95kb.

©Автор курса: Арешкина, Аглая Георгиевна

©Данный вариант конспекта в электронном виде: Тимур Белый.

©Эксклюзивное право на публикацию данного конспекта: www.herzenfsn.narod.ru

Любая публикация данного конспекта в Сети запрещена без письменного разрешения правообладателей.

Лекция №1. Определители.


Минором a_ij называется определитель, который получается из исходного вычеркиванием I- строчки и j столбца.

Алгебраическим дополнением к элементу a_ij называется соответствующий минор, взятый со знаком (-1)^ij.

A_m*n равен произведению суммы элементов первой строки на их алгебраические дополнения.

Матрица А называется транспарированной, если в ней строки заменяются на столбцы и наоборот.

Свойства определителей


1. В транспарированной матрице определитель не изменяется.

2. Если все элементы какой-нибудь строки равны нулю, то определитель А равен нулю.

3. При перестановке любых двух строчек, определитель меняет знак.

3а. Если две строки составлены из одних и тех же элементов, то определитель А = 0.(от перестановки строк определитель не изменяется, меняется лишь его знак, а это возможно, лишь когда определитель = 0).

4. Общий множитель элементов какой – нибудь строки можно вынести за знак определителя.

4а. Для того, чтобы определитель умножить на число, надо умножить элементы строчки на это число (только одну строку можно умножать).

4б. Определитель, у которого две строчки пропорциональны, равен нулю.

5. Определитель не изменится, если к элементам любой строчки прибавить элементы другой строки, умноженную на какое-либо число.

6. Определитель, у которого все элементы ниже (выше) главной диагонали равны нулю, определяются как произведение элементов главной диагонали.

6а. Любой определитель можно привести к треугольному виду.

7. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения.

8. Сумма произведений какой-нибудь строки на А к элементам другой строки равна нулю.

Все перечисленные свойства верны как для строк определителя, так и для его столбцов.


Лекция №2.


Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей.


I. |A_m*n * B_m*n| = |A_m*n| * |B_m*n|

Одинаковый элемент в обеих матрицах можно вынести за знак определителя.


Обратная матрица

Матрицей А, обратной к матрице А, называется матрица А^-1. Основные свойства:

1) Произведение обратной матрицы на матрицу, обратной к которой она является равно единичной матрице.


Теорема. Если существует обратная матрица к А, то она единственна.

Доказательство.

Пускай у нас будут две матрицы, обратные к А: A₁^-1 ; A₂^-1.

A₁^-1 = A₁^-1 * E = A₁^-1 (A₁^-1 * A₂^-1)= (произведение в скобках – это и есть Е - Т.Б.) = (A₁^-1 * А) * A₂^-1 = Е * A₂^-1 = A₂^-1

A₂^-1 = A₁^-1

Квадратная матрица А называется неособенной, если её определитель отличен от нуля.

Правила построения обратной матрицы:

1) Найти, что определитель матрицы не равен нулю.

2) Определить алгебраическое дополнение каждого элемента.

3) Составить новую матрицу из алгебраических дополнений.

4) Полученную матрицу транспанируем.


Теорема о существовании обратной матрицы.

I) Пусть существует обратная матрица. Равен ли её определитель нулю?

Нет, поскольку произведение матрицы и обратной матрицы дает единицу, а определитель единицы равен единице.


Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).


СЛАУ называется система, имеющая вид:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +a₁₃x₃ = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ +a₂₃x₃ = b₂

a₃₁x₁ + a₃₂x₂ +a₃₃x₃ = b₃


Если b₁, b₂, b₃ = 0? система называется однородной, в противном – неоднородной.

Решением системы называется совокупность таких чисел, что все уравнения системы будут верными арифметическими равенствами.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Система называется несовместной, если она не имеет решений.

Система называется невырожденной, если A, составленная из к системы неособенная, т.е. она квадратная и её определитель отличен от нуля.

Решение системы существует только одно.


Метод Крамера.


Метод Крамера – это метод решения СЛАУ через определители матрицы.

В первую очередь мы представляем систему в матричном виде. Для этого коэффициенты, стоящие перед а, мы заносим в матрицу вида 3*3. Определитель этой матрицы ищем как обычный. Затем мы ищем первый определитель. Для этого в исходной матрице вместо первого столбца коэффициентов подставляем значения b. Для определения второго определителя, подставляем значения b вместо второго столбца. X находим деля определители на общий определитель матрицы.


Лекция №3.


Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля определителя, который можно определить из исходной матрицы вычеркиванием некоторых строк и столбцов (не обязательно одинаковые).

Рациональный метод вычисления ранга матрицы – это метод элементарных преобразований. Элементарными преобразованиями называются:

1) транспарирование

2) Умножение элементов какой-нибудь строки на любое отличное от нуля число.

3) Прибавление к элементам какой-нибудь строки элементов любой другой строки.

4) Перестановка строк.

5) Отбрасывание строки, пропорциональной другой строки.

Каждая из этих операций не меняет ранга матрицы.


Решение СЛАУ в общем случае.

Теорема Кронекера – Капелли

Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы А равен рангу расширенной матрицы C.


Лекция №4.

Кривые второго порядка.


I. Эллипс. геометрическое место точки – это множество точек. все точки из этого множества обладают оказанным свойством, и ни одна точка, не обладающая этим свойством, в множество не входит.

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, и которая больше, чем расстояние между фокусами.


x² y²

---- + ---- = 1

a² b²


Каноническое уравнение эллипса. a² - c²=b²


Исследование формы эллипса.

I. кривая симметрична относительно обеих осей координат, так как она относительно x и относительно y.

Окружность – это частный случай эллипсом. Е – это эксцентриситет.

C

E = -----

A a

Две прямые с уравнением х = ±------- называются директрисами эллипса.

E

Отношения расстояний от любой точки эллипса до любого соответствующего фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисой, есть всегда постоянная величина.


II. Гипербола – это геометрическое место точки, разность расстояний которых до точек, называемых фокусами, есть величина постоянна, меньшая чем расстояние между фокусами.


с² –а² = b²


x² y²

---- - ----- = 1

a² b²




Исследование формы гиперболы.

Две прямые, перпендикулярные к действительной оси гиперболы и расположенное симметрично от центра на расстоянии a/E называется директрисами.


III. Парабола – геометрическое место, расстояние от которых до фокуса, равно расстоянию до некоторой прямой (директрисы).

y² = 2px – каноническое уравнение параболы.


Лекция №5.

Дифференциальные уравнения.


Дифференциальным уравнением называется равенство, содержащее производное, или дифференциалы.

F (x, y, y’) = 0 ; y = F (x) - неизвестная нам функция f.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения называется функция, подставив которую в исходное уравнение мы получаем тождество.

Решение (интеграл) дифференциального уравнения называется общим, если оно содержит столько независимых производных постоянных, каков порядок уравнения.

Интегралы, получаемые из общего решения при различных числовых значений произвольных постоянных, называются частными решениями.

Геометрически каждому частному решению (интегралу) соответствует плоская линия – интегральная кривая. Общее решение – это множество интегральных кривых.


Уравнения с разделяющимися переменными.


P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0


Если P и Q можно разложить на множители, каждый из которых зависит от одной переменной.


ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ

Лекция №1.


Соединение, в каждом из которых содержится m элементов из множества А, отличающиеся друг от друга или составом элементов, или их порядком, называются перемещением из n элементов по А.

Обозначается как:

n!

A_n^m= ---------

(n-m)!

n! = 1*2*3*4*5*…..*n

Соединение, в каждом из которых входят все n элементов множества А называются перестановками из n элементов.

P_n= n!


Соединение, каждое из которых содержит M штук различных элементов, взятых из n элементов множества А и отличающихся друг от друга по крайней мере одним элементов называется сочетаниями из m элементов по n.

n!

С_n^m= -----------

m! (n-m)!


Лекция №2.


Испытанием будем называть сочетание определенных наличных условий. Событие называется случайным, если в результате испытания оно может произойти, а может и не произойти. Событием называется достоверным, если оно всегда происходит в результате испытания (Q).

Событие называется невозможным , если в результате испытания оно не происходит.

Два события называются равными (А=В), если оно одновременно происходят, или одновременно не происходят.

Событие. Называется частью события В, если из наступления события А следует наступление события В.

Событие А называется истинной частью события В, если оно часть события В и если А≠В.

Событие А называется элементарным, если оно возможно и при этом не существует такого В, которое связано с A.

Считаем, что в результате каждого испытания происходит некоторое элементарное событие q.

Говорят, что элементарное событие q благоприятствует А, если q - часть А.

Любое событие А равно множеству всех элементарных событий, благоприятствующих А.

Соединение событий. (А+В) – новое событие, которое состоит в том, что происходит либо А, либо В.

Объединение событий (А*В) – происходят одновременно оба события.

Пересечение событий (А-В) - произойдет событие А, но не произойдет событие В.


Лекция №3.


Среди всех событий, которые могут произойти при нашем испытании выделяют те, которые нам интересны, говорят, что они составляют поле событий p.

Испытание называется массовым, если оно повторяется, или может быть повторено неограниченное количество раз. Теория вероятности изучает случайные события, связанные с массовыми испытаниями.

Пусть произошли n испытаний, событие А в них произошло m раз. Тогда частотой события А в n испытаниях будет m/n.

С изменением n частота меняется.

Говорят, что испытание обладает статистической устойчивостью, если частоты каждого из событий А поля p мало меняются при достаточно больших n.

Такая частота называется вероятностью события А.

P(A) = m/n

Полная группа – это несколько таких событий, что в результате испытаний непременно должно произойти хотя бы одно из них. Если несколько событий:

1) образуют полную группу, 2)не совместны, 3) Равновозможные, тогда такие события называются случаями.

Случай называется неблагоприятным событию А, если появление этого случая влечет за собой появление события А. Если результат опыта сводится к схеме случая, то вероятность события А есть отношение М к N, где N –это общее число случаев, а М – это число случаев, благоприятствующих событию А.


Лекция №4. Аксиоматика Колмогорова.


Пускай J – массовое событие, обладающее статистической устойчивостью.

Говорят, что на поле событий p, связанных с испытанием J определена вероятность, если задана вещественная функция, определенная для всех событий А из поля P, которые удовлетворяют следующим аксиомам.

1) 0 ≤ P(A) ≤ 1

2) A=B → P(A) = P (B)

3) P (Q) = 1


Аксиома сложения.


4) A * B = невозможное событие. → А,В – несовместны.

P(A+B) = P(A)+P(B)/

Вероятность В при условии, что произошло событие А – P (B/A) называется условной.


Аксиома умножения

5) P(A*B) = P(A)*P(B/A)


Аксиома непрерывности.

6) Имеется такая последовательность событий, что каждое из этих событий является следующей частью предыдущего, совмещение всех событий есть событие невозможное.


Первые следствия из аксиом


Следствие 1. А₁, A₂, … A_n - несовместны.

P(А₁+ А₂+… +А_n) = P(А₁) + P (А₂) +…+P(А_n)


Cледствие 2. Если А – часть В, то P(A)≤P(B)

B = A+(B/A) ; A+(B/A) = невозможно.

A IV → P(B) = (P(A)+(B/A))= P(A) + P(B/A) → P(B) ≥ P(A)


Следствие 3. A – B → P(B/A)=P(B)-P(A)


Cледствие 4. P(Ā) = 1 – P(A)

P(Ā) = P(Q/A)=P(Q)-P(A) = 1 - P(A)


Следствие 5. P(невозможное событие) = 0

P(невозможное события) = P (не Q) = 1-1=0

Замечание. Если P(A) = 0 → А – событие невозможное.


Следствие 6. (Из аксиомы 4) P(A+B)=P(A)+P(B)- P(A*B)= P(A+B) = P(A)+P(B)-P(A*B)

A+B = A+(B/A) ; A*(B/A)= событие невозможное

A IV → P(A+B) = P(A)+P(B/A) → P(B/A)= P(A+B) – P(A)

B= (A*B)+(B/A)

((A*B)*(B/A)= событие невозможное).

A IV→ P(B)= P(AB)+P(B/A) = P(AB)+P(A+B)-P(A) → P(A+B)= P(A) +P(B)-P(AB)


Теорема сложения вероятностей


P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

A₁, A₂, …, A_n – попарно несовместны.

P(A₁ + A₂+ A₃+…+ A_n)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n)


Доказательство. n=2

P(A₁+ A₂)→ (A IV)→ P(A₁)+P(A₂)

Пусть (1) верна и для “n-1”: P(A₁+ A₂+…+ A_n-₁) = P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n-1)

Если (1) верна для n-1, то она верна и для n: P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n-1)+P(A_n)

B* A_n= событие невозможное = (A₁+ A₂+…+ A_n-1)* A_n = A₁ A_n+ A₂ A_n+…+ A_n-1 A_n

А все эти множители попарно несовместны (см. начало теоремы).

A IV → P(A₁+…+A_n-1+ A_n)=P(B+ A_n)=P(A₁)+…+P(A_n-1)+P(A_n).


Лекция №5.

Теорема сложения вероятностей.


A₁, A₂,…, A_n – поле событий p. Для любых событий, взятых из поля p.

P(A₁* A₂*…* A_n)=P(A₁)*P(A₂/ A₁)*….*P(A_n/ A₁*…*A_n-1) (*)

n=2 →(A V)→ P(A₁* A₂) = P (A₁)*P(A₂/ A₁)

Пусть (*) верна для n-1, т.е.:

P(A₁* A₂*…* A_n-1)=P(A₁)P(A₂/ A₁)*P(A₃/ A₁ A₂)*….*P(A_n-1/ A₁ A₂… A_n-2) → (*) верна для n.

Пусть B = A₁ * A₂ *…* A_n-1

P(A₁ * A₂ *…* A_n-1) = P(B* A_n)=→(A V)→= P(B)*P(A_n/B)=P(A₁)*P(A₂/ A₁)*…*P(A_n-1/ A₁ A₂… A_n-2)*P(A_n/B)


Определение. A₁, A₂ - независимы → P(A₁* A₁)=P(A₁)*P(A₂)


События A₁, A₂,…, A_n, называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не зависит от того, какие из остальных событий имели место.

A₁, A₂,…, A_n - независимы в совокупности, тогда:

P(A₁, A₂,…, A_n) = P(A₁)*P(A₂)*…*P(A_n)


Формула полной вероятности.


Пусть к полю p принадлежат гипотезы H₁, H₂,…, H_k

H₁* H₂*…* H_k = Q

H₁* H_j=событие невозможное


Говорят, что H₁… H_k образуют полную группу гипотез. Из определения следует, что при каждом испытании осуществляется одна и только одна из гипотез H.