Дніпропетровська академія управління, бізнесу та права

Вид материала

Документы

Содержание 6.1. Суть середнiх величин i загальнІ принципи Їхнього використання Середню гармонiйну зважену Середня хронологiчна Середня квадратична Медiану (Ме 7. 1. Варiацiя i система показникiв її вимiру Розмах варiацiї Загальна дисперсiя

Подобный материал:

• Самарський інститут бізнесу та управління центр розвитку освіти, науки та інновацій, 46.93kb.
• Про завершення організаційно–прогнозувального етапу дослідно-експериментальної роботи, 652.96kb.
• Дніпропетровська обласна державна адміністрація Головне управління охорони здоров’я, 2215.64kb.
• Самарський інститут бізнесу та управління вища школа менеджменту центр розвитку освіти,, 48.35kb.
• О. В. Баєва. Міжрегіональна академія управління персоналом, 196.52kb.
• Міжрегіональна академія управління інститут права ім. Володимира великого, 2283.15kb.
• Інформаційний лист Кримський інститут бізнесу та Університет економіки та управління, 33.12kb.
• Міністерство охорони здоров’я україни дніпропетровська державна медична академія, 180.17kb.
• Самарський інститут бізнесу та управління кримський інститут бізнесу центр розвитку, 3314.77kb.
• Перелік запропонованих тем рефератів, 17.55kb.

6. Метод середніх величин

6.1. Суть середнiх величин i загальнІ принципи Їхнього використання

Метод середнiх величин застосовують для узагальнення статис­тичноi iнформацiї. Згідно з цим методом рiвень будь-якого показника формується пiд впливом основних i другорядних ознак, що тiєю чи iншою мiрою впливають на нього.

Середня величина — це узагальнена типова величина, яка характеризує рiвень дослiджуваного показника в якiсно однорiднiй сукупностi. Вiн визначається основною причинною ознакою, узагальнює типове у статистичнiй сукупностi.

Щоб середнi величини не виявилися недостовірними, потрiбно дотримуватись загальних принципiв їхнього використання.

1. При визначеннi середньої величини виходять з якiсного змiсту показника, його сутності, згідно з чим обчислюється середня величина. При розрахунках середніх величин потрібно розуміти економічний зміст чисельника і знаменника. Наприклад, якщо визначається середня ціна реалізації одиниці продукції, в чисельнику має бути грошова виручка від реалізації, а в знаменнику — кількість реалізованого товару.

2. Середню величину визначають згідно з однорiдною сукупністю. Для цього використовують метод групувань за вiдповiдними групами i проводять розрахунки узагальнених показникiв, у тому числi середнiх величин.

3. Для забезпечення системного аналiзу розраховують загальнi та груповi середнi величини, які у порiвнянні бiльш глибоко характеризують соцiально-економiчнi типи дослiджуваних суспiльних явищ.

Груповi середнi величини часто використовують для визначення резервiв виробництва на базi зіставлення їх з iндивiдуальними показниками.

Наприклад, при вивченнi рентабельностi промисловостi за 9 мiсяцiв 1998 р. встановлено, що показник по Українi в середньому становив 6,7% при максимальному 45,7% у Миколаївськiй областi; у шести областях
(у тому числi Днiпропетровськiй) вона була збитковою.

Порiвняння груп пiдприємств з рiзною технiчною оснащенiстю показує рівень ефективності роботи рiзних типiв пiдприємств. Кращі показники служать базою для розрахунку резервiв менш оснащених пiдприємств.

6.2. Основнi види середнiх величин
i методика Їхнього розрахунку

У статистико-економiчнiй роботi використовують багато видiв середнiх величин. Їхній розподіл за видами залежить вiд вихiдноi iнформацiї i завдань аналiзу.

При розрахунках середнiх величин потрiбно спиратись на економiчний змiст показника, складових його розрахунку. Наприклад, щоб розрахувати середню зарплату по пiдприємству, потрiбно фонд зарплати подiлити на чисельнiсть працiвникiв. Якщо колектив з 20 працiвникiв одержав за мiсяць 4000 грн, то середня мiсячна зарплата становить 200 грн (4000 : 20).

Для логiчного й арифметичного контролю середнiх величин слiд використовувати поняття визначальної властивостi середнiх. Суть його в тому, що при замiнi усіх iндивiдуальних значень показника середнiм значенням, помноженим на частоту, зберiгається незмiнним пiдсум­ковий показник (фонд зарплати, обсяг товарообороту, вартiсть продук­цiї i т. iн.).

Відзначимо, що середнiй рiвень показника знаходиться в межах між мiнiмальним та максимальним значенням.

Для розрахунку середнiх рiвнiв використовують такi елементи:

— варiанту, тобто показник за яким визначається середня величина (х);

— частоту, або вагу, показника (f);

— обсяг результативного показника (хf або w).

В економiчнiй роботi використовуть такi види средніх величин: арифметичну, гармонiйну, геометричну, хронологiчну, квадратичну, кубiчну, а також моду i медiану. Залежно вiд вихiдних даних середнi можуть бути простими i зваженими.

Середня арифметична зважена використовується у випадках, коли вихiднi данi поданi варiантами i вагою і принаймні в одному випадку вона є відмінною від інших.

Формула її розрахунку така:




Механiзм формування такого виду середньої величини полягає в тому, що варiанти з великою частотою збiльшують середню, а з меншою, відповідно, зменшують. Співвідношення частот визначає середній рівень показника. Розглянемо цей механiзм на прикладi (табл. 6.1).

Таблиця 6.1

Розрахунок середньої арифметичної зваженої



Визначимо середньомiсячну зарплату у варiанті 1:




При збiльшенні кількостi робiтникiв із зарплатою 300 грн середня зарплата збiльшується до 250 грн. Якщо у варiантi 1 чисельнiсть працiвникiв змiнимо на протилежне значення, то середню величину обчислимо так:



Як бачимо, вона близька до максимального значення, оскiльки 90% робiтникiв одержують зарплату у такому розмiрі. У тих випадках, коли вихiдну iнформацiю подано у формi закритого iнтервального ряду розподiлу, для розрахункiв використовують середнє значення iнтер­валу — як пiвсуму двох його меж. Його величина становить (200+
+ 300) : 2 = 250 грн (табл. 6.2).

Проводячи розрахунки вiдкритих iнтервалів, величину беруть такою, як у сусiдній групі:

(100 + 200) : 2 = 150 грн.

Таблиця 6.2

Розрахунок середнiх в iнтервальному рядi





Отже, середня величина становить:



Середню арифметичну просту використовують лише в тих випадках, коли вага показника у кожному варiанті однакова:



У нашому прикладi (див. табл. 6.1) таку середню можна використовувати тiльки для варiанта 5 (вага 50 i 50):



Зазначимо, що такою вона є i у випадку застосування арифметичної зваженої.

Для арифметичного контролю i спрощення розрахункiв середнiх арифметичних використовують такi їхні математичнi властивостi:

1. Сума вiдхилень iндивiдуальних значень вiд середньої дорiвнює нулю:

а) (для простої арифметичної):

;

б) (для зваженої арифметичної):

.

2. Якщо кожну варiанту подiлити чи помножити на певне число, то середня величина зменшиться або збiльшиться у стiльки ж разiв. Зі зменшенням варiанти у 100 разів середня становитиме не 210 грн, а 2,10 грн.

3. Якщо таку ж процедуру застосувати до частоти, то середня при цьому не змiниться. Це пояснюється її залежністю вiд спiввiдношення частот, а не від величини. Цю властивiсть часто використовують для спрощення розрахункiв, застосовуючи в рядi випадкiв вiдноснi величини структури.

Повертаючись до прикладу, зменшимо частоту в 10 разів. Тодi



4. Якщо кожну варiанту зменшити або збiльшити на будь-яку постiйну величину, то середня змiниться на цю ж величину. Для прикладу, обчислимо середню вагу за умови, що вага однiєї частини — 33 кг (3 шт.), а другої — 53 кг (7 шт.). Знайдемо середню:

а) за арифметичною зваженою:



б) за спрощеним варiантом:



Після коригування результату: 44 + 3 = 47 кг. Цю властивiсть можна ефективно використовувати для оперативних розрахункiв.

Середню гармонiйну зважену використовують за наявностi iнфор­мацiї про значення результативного показника за варiантами
(xf) i значеннi х по окремих частинах сукупностi:




Наприклад, при реалiзацiї першої партії масла вершкового за цiною 12 грн/кг (з виручкою 240 грн) i другої за цiною 10 грн/кг (і виручкою 800 грн) середня цiна становитеме не 11 грн/кг [(12 + 10): 2], а 10,40 грн.




У цьому випадку на перше мiсце виступає економiчний змiст показника:



Середню гармонiйну просту за вихiдною iнформацією (без групування даних) знаходимо таким чином:




де — оберненi значення варiантiв ознаки; n — число варiантiв ознаки.

Середня хронологiчна використовується при розрахунках середнiх рiвнiв моментних хронологiчних рядiв, причому вiдрiзки мiж моментами повиннi бути однаковими:




де х₁— початковий рiвень ряду; х_п— кiнцевий рiвень ряду; п— кiлькiсть рiвнiв.

Наприклад, якщо вихiдна iнформацiя про залишки пального представлена його залишками на початок кожного мiсяця (m): 01.01 — 5; 01.02 — 4; 01.03 — 6; 01.04 — 9, то середньомiсячний запас за перший квартал становитиме:




Якщо у вихiднiй iнформацiї промiжки мiж датами рiзнi, то середнiй рiвень обчислюють за формулою середньої зваженої:


або ,

де х — пiвсума двох сумiжних рiвнiв ряду; (t) f — величина промiжку часу мiж датами.

Наприклад, маємо iнформацiю про залишки товарiв (тис. грн): 01.01— 10; 01.04 — 20; ..... ; 01.01— 40.

Середньомiсячний залишок за рiк:




Середня геометрична має iнший економiчний змiст, нiж ранiше розглянутi. Вона вiдповiдає на запитання: «На скiльки вiдсоткiв змiнюється показник за певний вiдрiзок часу?»


,

де п — число рiвнiв ряду.

У нашому прикладi цей розрахунок буде таким:


.

Це означає, що залишки пального в середньому збiльшувались на 21,6% (121,6 — 100,0).

Середня квадратична, як видно з назви, використовується при специфiчних розрахунках (середнiй дiаметр труб, дерева i т. ін.).

Формули розрахунку:







Наприклад, потрiбно розрахувати середнiй дiаметр труб 30, 40 i 50 см :




Розглядаючи систему середнiх, вiдзначимо, що вибiр середньої ­залежить вiд вихiдних даних i цiльового використання цих показникiв. Так, згідно з даними про роботу фiрми за певний час можна розрахувати i середню просту, i середню геометричну. Найбiльш типовими помилками при вивченні цього питання є слабке теоретичне розумiння вихiдної та розрахункової iнформацiї, нерозумiння економiчного змiсту розрахункових величин.

Дослiджуванi статистикою соцiально-економiчнi явища надзвичайно складнi, багатобічнi. Окремi показники дають характеристику певнiй сторонi явища. Для iнтегрованої оцiнки явищ використовують середню багатовимiрну. Наприклад, для оцiнки якостi роботи викла­дачiв в анкетi «Викладач очима студента» використовувалось 14 показникiв. При розрахунку середнього балу всi параметри брались як рiвноцiннi (ерудицiя викладача, його дикцiя тощо).

При розрахунку середньої багатовимiрної спочатку обчислюють середнi рiвнi кожного показника дослiджуваної сукупностi об’єктiв (пiдприємств, фiрм, адмiнiстративних районiв i т. ін.). Потiм знаходять вiдношення рiвня показникiв по кожному об’єкту до одержаної середньої (вона буде бiльшою або меншою за одиницю). Далі багато­вимiрну середню обчислюють шляхом ділення підсумку одержаних коефiцiєнтiв на їхнє число. При цьому постає питання, чи рiвноцiннi показники, за якими обчислюють середню? Вони бувають головними i другорядними, тому виникає необхiднiсть урахування рiзної ваги показникiв, яку, як правило, визначають високо­квалiфiковані експерти. У рядi випадкiв використовують спецiальнi коефiцiєнти, якi коригують значущiсть показникiв у системi.

Широкого розповсюдження в економiчнiй практицi набуває рейтингова оцiнка явищ. Так, фiнансовий стан пiдприємств характеризується системою показникiв (їх близько 40). Для об’єктивної iнтегро­ваної оцiнки кожен з них, залежно вiд його вагомостi, впливу на фiнансовий стан, оцiнюють за 5-бальною системою, а середню оцiнку — за простою арифметичною величиною.

Часто розрахунки ведуть на базi нормативiв, стандартiв, оптимальних показникiв. Цей напрямок iнтенсивно розвивається і викликає сьогодні великий практичний iнтерес.


6.3. Структурнi характеристики сукупностi

Для поглибленого вивчення сукупностей, крiм вищезазначених середнiх, використовують особливий їх вид — моду, медiану й iншi показники.

Мода — це варiанта, яка характеризується найбiльшою частотою. Вона має певне практичне значення як орiєнтир для виробництва (наприклад, взуттєвi та швейнi фабрики орiєнтуються на модальний (ходовий) розмiр взуття, одягу, головних уборiв тощо).

Мода (M₀) в дискретному рядi визначається без розрахункiв, вiзуально, а в iнтервальному рядi — шляхом такого розрахунку:




де х₀ — нижня межа модального iнтервалу; h i f_m — ширина i частота модального iнтервалу; f_m-1 i f_m+1 — частота попереднього та наступного iнтервалiв вiдносно модального.

Для розрахунку використаємо iнформацiю вибiркового обстеження щодо споживання м’яса на душу населення ( табл. 6.3).

Таблиця 6.3

Розподiл населення щодо споживання м’яса



Обчислюємо моду за наведеними даними. Як бачимо, модальним є iнтервал 29 — 32 кг (f_m = 60).




Отже, найбiльш типовими є сiм’ї, які споживають за рiк 30,3 кг м’яса на душу.

Медiану (Ме) отримують шляхом ділення досліджуваного показника на двi рiвнi частини.

Числове значення медiани обчислюють за формулою




де х₀ — нижня межа медiанного iнтервалу; h — ширина медiанного iнтервалу; S_me-1 — кумулятивна частота передмедiанного iнтервалу;
f _me — частота медiанного iнтервалу.

Проведемо розрахунки:




Звiдси висновок: половина обстеженої сукупностi населення (50%) споживає до 30,5 кг м’яса, а друга половина — бiльше 30,5 кг.

Для поглиблення аналiзу проводять розрахунки квартилі і децилі. Квартиль дiлить ранжований ряд на 4 рiвні частини, дециль — на десять. Звідси медiана — це другий квартиль i п’ятий дециль. Розрахунок децилiв, як i квартилiв, базується на кумулятивних частотах.

Розрахуємо третiй квартиль:




Iнтерпретуємо цей показник так: 75% обстеженого населення споживають до 32 кг м’яса, а решта (25%) — бiльше 32 кг.

Тепер розрахуємо дев’ятий дециль:




Для виявлення закономiрностей з метою подальшого їх використання статистика застосовує систему абсолютних i вiдносних показ­никiв варiацiї.


Питання для самоконтролю

1. Розкрийте суть середніх у статистиці, їхні види.

2. Наведіть методику розрахунку середньої арифметичної, гармонійної і хронологічної.

3. Охарактеризуйте методику розрахунку середньої хронологічної та геометричної.

4. Наведіть основні математичні властивості середньої арифметичної.

5. Який економічний зміст чисельника при розрахунку середньої арифметичної зваженої і середньої гармонійної?

6. Які розрахункові елементи використовують при розрахунку середньої геометричної і середньої хронологічної?

7. Що таке варіанта, вага і частота?

8. Що є критерієм вибору виду середньої?

9. Як перевірити правильність розрахунку середньої геометричної?

10. Назвіть види структурних середніх і поясніть їхній економічний зміст.

7. Основи варіаційного аналізу

7. 1. Варiацiя i система показникiв її вимiру

Статистичний аналiз повинен базуватись на надiйнiй iнформацiї,— отже, вона потребує ретельного контролю. Про деякi методи її контролю вже йшлося ранiше. При виявленні закономiрностей явищ треба завжди пам’ятати, що за загальними середнiми показниками приховані склад і структура сукупностi, розподiл її одиниць згідно з розмiром дослiджуваного показника, характером його коливання (тобто ва­рiацiї). Припустімо, показник середньої зарплати 150 грн може коливатися в межах 140—160 грн (варiант 1) i 100—200 грн (варiант 2). Варiацiя будь-якого економiчного показника зумовлена багатьма причинами.

Наприклад, продуктивнiсть працi будь-якого пiдприємства залежить вiд таких факторів, як фондоозброєність працi, квалiфiкацiя ро­бiтникiв, наявність та якість сировини, стимулювання робiтникiв тощо. Їх поєднання у рiзній пропорцiйності i зумовлює, в кiнцевому рахунку, певний результат. Зі специфiчними особливостями рiзних одиниць сукупностi пов’язана неоднакова їхня близькiсть до середнiх рiвнiв.

Завданням статистичного вивчення варiацiї є дослiдження одно­рiдностi сукупностi як бази подальшого аналiзу.

Вимiр рiвнiв варiацiї проводиться шляхом застосування системи показникiв:

1) розмах варiацiї;

2) середнє лiнiйне i середнє квадратичне вiдхилення;

3) дисперсiя;

4) коефiцiєнт варiацiї.

Залежно вiд вихiдноi iнформацiї вищенаведенi показники можуть бути як простими, так i зваженими.

Розмах варiацiї (R) залежить від меж максимального i мiнiмального показників:

R = х_max – x _min.

Вiн також може бути виражений у вiдноснiй формi, що дозволяє порiвнювати абсолютно непорiвняннi дані.

в групування.

1. Розмах варiацii:

а) абсолютний: R = 20,5 — 18,2 = 2,3 тис. грн/чол.

б) вiдносний: R = (20,5 : 18,2)  100% = 112,6%.

2. Середнє лiнiйне вiдхилення обчислюємо шляхом використання модулiв, оскiльки алгебраїчна сума вiдхилень iндивiдуальних значень вiд середньої дорiвнює нулю ():

а) проста

б) зважена .

3. Дисперсiю обчислюємо за формулами:

а) проста ;

б) зважена , або

4. Середнє квадратичне вiдхилення знаходимо на базi дисперсiї:

а) просте

б) зважене

Для розрахунку вищеперелічених показникiв варiацiї складаємо робочу таблицю (табл. 7.1).

Рiвнi показникiв становлять:

а) середнє лiнiйне вiдхилення




б) дисперсiя:



Таблиця 7.1

Дані для розрахунку показникiв варiацiї



в) середнє квадратичне вiдхилення:




Середнє квадратичне вiдхилення в симетричних рядах дорівнює а .

Для бiльшої наочностi, а також з метою порiвняння варiацiй рiзних ознак, або однiєї ознаки в рiзних сукупностях (варiацiя цiни на хлiб, масло вершкове i т. ін.) використовують вiдноснi показники варiацiї:

лiнiйний коефiцiєнт варiацiї:




квадратичний коефiцiєнт варiацiї:




коефiцiєнт осциляцiї:




Згідно з вищенаведеними даними їхні рiвнi становитимуть:

;





Квадратичний коефiцiєнт варiацiї використовують як критерiй однорiдностi сукупностi. У симетричному розподiлi V=0,33.

Важливими показниками характеристики сукупностей є також коефiцiєнти концентрацiї та локалiзацiї. Їх використовують при ви­мiрюванні та диференцiацii сукупностi.

Значення коефiцiєнта концентрацiї (К_конц) при рiвномiрному розподiлi дорiвнює нулю. По мірі збільшення концентрацiї значення коефіцієнта наближується до 1. Його рiвень визначають за формулою:


K_конц = 0,5,

де d_j — кількість елементів сукупності; D_j — обсяг значень ознаки.

Коефіцієнт локалізації обчислюють за формулою




Усі значення цього коефіцієнта при рівномірному розподілі дорів­нюватимуть 1 (L = 1), а при нерівномірному — знаходитимуться в межах більше — менше одиниці (1 < L > 1).

Проведемо розрахунки цих показникiв на основі даних групування (табл. 7.2).

Таблиця 7.2

Дані для розрахунку коефiцiєнтiв концентрацiї та локалiзацiї







Висновок, зроблений за даними таблиці: рiвень концентрацiї виробництва дуже низький. Це пiдтверджують i коефiцiєнти локалiзацiї, близькі до 1.

7.2. Основи методу дисперсійного аналізу

Метод дисперсійного аналізу використовують при перевірці даних, одержаних в результаті аналітичного групування. Його мета полягає у вивченні ступеня впливу досліджуваних групувальних ознак на зміну результативних при нейтралізації інших факторів. Оскільки повної нейтралізації досягти неможливо, то проводять дисперсійний аналіз: розрахунок за матеріалами групування згідно з трьома видами дисперсій — загальною, факторною, або міжгруповою, і залишковою, або внутрішньогруповою.

Загальна дисперсiя характеризує варiацiю результативної ознаки (y) за рахунок впливу всiх формуючих факторiв:




факторна, або мiжгрупова, — за рахунок тiльки впливу групу­вальної ознаки або досліджуваного фактора, різних її значень між групами:




залишкова, або внутрiшньогрупова, дисперсiя — за рахунок iнших факторiв, крiм групувальної ознаки:




Мiж наведеними видами дисперсiї iснує взаємозв’язок, утворюваний за правилом складання (розкладання) дисперсiй:

²_заг. = ²_{факторн.} + ²_зал.;

²_{факторн.} = ²_заг. – ²_зал.;


²_зал. = ²_заг. – ²_{факторн.} .


Згідно з цим правилом при наявностi двох дисперсiй можна знайти третю. Для розрахунку дисперсiй складають робочу таблицю (табл. 7.3).

Проведемо розрахунок вищезгаданих дисперсiй:

а) загальної:




б) факторної (міжгрупової):




в) залишкової (внутрiшньогрупової):




Визначимо баланс дисперсiй: 15,06 = 13,64 + 1,32;

15,06 = 14,96.

У наведених розрахунках помітне деяке вiдхилення, спричинене округленням середнiх значень.

Для забезпечення балансу величину залишкової дисперсiї визначають як рiзницю мiж загальною i факторною дисперсiями:

²_зал. = 15,06 – 13,64 = 1,42.

Далi обчислюють ступінь впливу дослiджуваного факторного показника на результативний шляхом дiлення значення факторної дисперсii на загальну:


, або 90,6%.

Отриманий показник вказує на те, що за даною сукупнiстю пiдприємств продуктивнiсть працi на 90,6% залежить вiд фондо­озброєностi i на 9,4% (100,0 — 90,6) — вiд iнших факторiв. Кореляцiйне вiдношення знаходиться у межах від 0 (зв’язок вiдсутнiй) до 0,99 (зв’язок майже 100%, функцiональний). Перевiрку одержаних значень ² на iстотнiсть здiйснюють у такий спосіб:

а) визначають число ступенiв свободи для кожної дисперсiї. Воно на одиницю менше за число сукупностi чи груп:


К_заг. = п – 1= 20 – 1 = 19;

К_{фактор.} = п – 1= 3 – 1 = 2;

Таблиця 7.3

Дані для розрахунку дисперсiй за результатами групування



К_зал. = 19 – 2 = 17;


б) коригують ранiше одержанi дисперсiї відносно чисел ступенiв свободи:

для факторної: 13,64 : 2 = 6,82;

для залишкової: 1,42 : 17 = 0,084;

в) визначають фактичне значення F-критерiю (критерiй Фiшера) шляхом дiлення скоригованої факторної дисперсiї на залишкову:




г) знаходять табличне значення F для даного числа ступенiв свободи та ймовiрностi 0,95:

(див. додаток 4).

Оскiльки фактичне значення бiльше за табличне, то зв’язок вважається iстотним. Групування матерiалу з проведенням дисперсiйного аналiзу часто проводять на комп’ютері за спецiальними стандартними програмами.


Питання для самоконтролю

1. Наведіть показники варіації і поясніть методику їх розрахунку.

2. Назвіть види дисперсії, застосовуваної при дисперсійному аналізі. Який їхній економічний зміст?

3. У чому суть правила складання дисперсій?

4. Викладіть методику дисперсійного аналізу.

5. Для чого необхідна перевірка кореляційного відношення на істот­ність?

6. Як визначається кореляційне відношення і який його економічний зміст?

7. Що таке критерій Фішера (F-критерій)? Його використання у статистичних дослідженнях.

8. Як оцінити однорідність сукупності?

8. Вибірковий метод спостереження