Графічне інтегрування
Подобный материал:
- -, 5137.36kb.
- Програма творчого конкурсу з дисципліни, 99.67kb.
- До питань інтегрування комп’ютерних технологій на підприємстві, 21.42kb.
- Інтегрування деяких ірраціональних І трансцендентних функцій, 37.24kb.
- Робоча навчальна програма з дисципліни " цінні папери та біржова діяльність" для підготовки, 420.9kb.
- Робоча навчальна програма навчальної дисципліни " Графічне та геометричне моделювання, 352.28kb.
- P. у таблиці 1 наведено математичні сподівання густини пресовок за різних тисків пресування, 100.45kb.
- Ареф'єв Олександр Олександрович Донецький національний технічний університет, 63.72kb.
- § 3 Інтегрування раціональних функцій, 73.75kb.
- 1. Хімічна термодинаміка в тнр основні поняття хіміко-технологічного процесу. Стехіометричні, 147.66kb.
Графічне інтегруванняН

аближене обчислення інтеграла методом графічного інтегрування застосовується тоді, коли підінтегральна функція задана графічно. Нехай на [
a;
b] задана неперервна крива, рівняння якої
y=f(x). На підставі теореми про середнє значення для певного інтеграла існує така точка
ξ 
[
a;
b], що

. Геометрично це означає, що площа криволінійної трапеції чисельно дорівнює площі прямокутника з основою [
a;
b] і висотою
f(ξ). Розглянемо криволінійну трапецію (рис. 1) і проведемо горизонтальну пряму приблизно так, щоб одержати необхідний прямокутник. Абсцисами точок перетину прямої і кривої будуть ті точки
ξ, про які згадується в теоремі про середнє значення. Відкладемо на осі
Ох ліворуч від початку координат одиничний відрізок
ОР і продовжимо проведену горизонтальну пряму до перетину віссю ординат (якщо
а<0, то краще спочатку ліворуч від
а провести вертикальну пряму й при подальших діях замінити вісь
Oy цією прямою). Нехай пряма перетне вісь
Oy у точці
Q, тоді
OQ= f(ξ). З'єднаємо точки
Р и
Q і із точки
а проведемо пряму
аМ, паралельну
РQ, до перетинання в точці
М з вертикаллю, проведеної із точки
b. Покажемо, що
b=
, тобто величина побудованого відрізка чисельно дорівнює значенню певного інтеграла. Дійсно, ∆
PQO ~ ∆
aMb. Звідси

,
bM=
= f(ξ)(b - a)=

.
З
ауваження. На рис. 1 функція
f(x)>0. Однак отриманий результат має місце для будь-якої неперервної на [
a;
b] функції
y=f(x). Наприклад, на рис. 2 функція
f(x) міняє знак на [
a;
b]. Заштриховані площі приблизно рівні. Оскільки площа частини криволінійної трапеції, розташованої нижче осі
Ох, більша, то
буде від’ємний. Провівши попередні побудови, одержуємо відрізок
b, величина якого від’ємна, і тут
b=
.
На підставі проведеної побудови і здійснюється графічне інтегрування. Метод графічного інтегрування проілюстрований далі на прикладі.
Зразок виконання завдання. Завдання. Функція представлена графічно на відрізку [
0;
b]=[
0;
12]. Побудувати графік її інтеграла
F(x)=
,
0 ≤ x ≤ b. Визначити за графіком величину

.
Розв’язання. Розділимо відрізок [
0;
12] на часткові відрізки (див. рис. 3). У даному прикладі взяті 6 часткових відрізків і точки поділу
х
=0,
х
,
х
,
х
,
х
,
х
,
х
=12 відзначені на рис. 3. Відкладаємо від точки
О ліворуч по осі
Ох одиничний відрізок. Визначаємо середину часткового відрізка [
х
;
х
] і ординату графіка функції
f(x) у цій точці проектуємо на вісь
Оу. Одержимо точку
Q
. Проводимо
РQ
, а потім
ОМ
паралельно
РQ
. При цьому
х
М
≈
.
Визначаємо середину часткового відрізка [
х
;
х
]. Ордината графіка в цій точці проектується на відрізок
ОQ
. З'єднуємо
Р з
Q
і будуємо
М
М
||Р
Q
. Тоді
х
М
≈
.
Відзначаємо середину відрізка [
х
;
х
], потім
ОQ
і проводимо
М
М
||Р
Q
. Маємо
х
М
≈
і т.д., поки не одержимо точку
М.
Ламана
ОМ
М
…
М
— графік первісної для функції, представленої на рис. 3.
Н

аближене значення
дорівнює ординаті
х
М
. За графіком знаходимо
х
М
≈7,8.
Завдання для самостійної роботи Функція задана графічно на відрізку [0; b]. Побудувати графік її інтеграла
F(x)=
,
0 ≤ x ≤ b. Визначити за графіком величину

. Значення
b варто взяти з таб. 1.



Таблиця 1
-
Варіант | b | Варіант | b | Варіант | b |
1 | 4,4 | 13 | 9,2 | 25 | 6,8 |
2 | 4,8 | 14 | 9,6 | 26 | 7,2 |
3 | 5,2 | 15 | 10,0 | 27 | 7,6 |
4 | 5,6 | 16 | 10,4 | 28 | 8,0 |
5 | 6,0 | 17 | 10,8 | 29 | 8,4 |
6 | 6,4 | 18 | 11,2 | 30 | 8,8 |
7 | 6,8 | 19 | 11,6 | 31 | 10,4 |
8 | 7,2 | 20 | 12,0 | 32 | 10,8 |
9 | 7,6 | 21 | 12,4 | 33 | 11,2 |
10 | 8,0 | 22 | 12,8 | 34 | 11,6 |
11 | 8,4 | 23 | 13,2 | 35 | 12,0 |
12 | 8,8 | 24 | 13,6 | 36 | 12,4 |