§ 3 Інтегрування раціональних функцій

Вид материала

Документы

Содержание 3.2 Розклад раціонального дробу на елементарні дроби. 3.3. Метод невизначених коефіцієнтів. 3.4. Обчислення інтегралів (елементарних дробей). 3.5. Інтегрування довільного раціонального дробу.

Подобный материал:

• Графічне інтегрування, 64.29kb.
• Інтегрування деяких ірраціональних І трансцендентних функцій, 37.24kb.
• 1. Хімічна термодинаміка в тнр основні поняття хіміко-технологічного процесу. Стехіометричні, 147.66kb.
• «Дослідження функцій за допомогою похідної та побудова графіків функцій», 30.16kb.
• Для заказа доставки работы воспользуйтесь поиском на сайте, 787.35kb.
• Інститут комп’ютерних технологій, автоматики І метрології, 31.24kb.
• Діяльність методичного об ’ єднання, 9.74kb.
• Урок з алгебри у 10 класі на тему: «Обернені тригонометричні функції», 34.75kb.
• Програма кандидатських та вступних  іспитів за спеціальністю 01. 01. 07 обчислювальна, 90.49kb.
• 2 Підстави класифікації та види функцій сучасної держави розділ формування та реалізація, 902.01kb.

§ 3 Інтегрування раціональних функцій.

3.1.Розклад многочлена на множники.

Многочленом називається функція

Q_n(x)=a₀+a₁+a₂x²+…..+a_nxⁿ+….(1)

де n-натуральне число, яке називається степенем многочлена; a₀ , a₁…..-коефіцієнти многочлена.

Теорема1. (основна теорема алгебри). Будь-який многочлен степеня n>0 має хоча б один корінь, дійсний або комплексний.

Теорема2. Всякий многочлен n–го степеня можна подати у вигляді

Q_n(x)=a_n(x-α₁)(x-α₂)….(x-α_n)

де α₁, α₂….α_n –корені многочлена.

Введемо поняття комплексного числа. Комплексним числом називається вираз α=χ+μi, де χ і μ - дійсні числа, а символ i-уявна одиниця. ( i²=-1; s=_). Комплексні корені з'являються парами α=χ+μi; _=χ-μi. Такі корені називаються спряженими. Комплексні числа можна зображати на площині. Вісь OX–дійсна, OY-уявна.

Нехай многочлен має пару комплексних коренів: α=χ+μi та _= χ-μi

При цьому

(x-α)(x-_) = [x-(χ+μi)][x-(χ-μi)] = [(x-χ)-μi][(x-μ)+μi] = (x-χ)²-(μi)² = (x-χ)²+μ² = x²-2xχ+χ²+μ² = x²+px+q

( де p=-2χ , q=χ²+μ²)

Тобто, множники в (1), які відповідають парі комплексно- спряжених коренів, після перемноження дають многочлен 2-го степеня з дійсними коефіцієнтами і з від'ємним дискримінантом. Якщо Q_n(x) має m дійсних коренів, а останні корені комплексні, то розкладання (1) має вигляд:

Q(x) = a_{n } (2)

Кожний множник вигляду (x-α) відповідає дійсному кореню α, а множник виду (x²+px+q) – відповідає парі комплексно-спряжених коренів та на простіші дійсні множники не розкладається. Якщо корені повторюються, то відповідні множники у розкладі (2) підводяться у степінь, яка дорівнює кратності кореня.

Об'єднуючи все сказане вище, отримаємо:

Q_n(x) = a_n (3)


3.2 Розклад раціонального дробу на елементарні дроби.

Раціональним дробом називається відношення двох многочленів



При m_ дріб називається правильним, при _– дріб неправильний.

Якщо дріб неправильний, то виконавши ділення, дістанемо



де _- многочлен степеня m-n, а _ - правильний дріб.

Елементарними раціональними дробами таких чотирьох видів:

І _ ; ІІ _ ; n=2,3,4….; ІІІ _ ; ІV_ ; _,

де A, α, M, N, p, q - дійсні числа, а тричлен _ не має дійсних коренів, тобто _.

Можна довести, що всякий правильний дріб із знаменником у формі (3) можна розкласти на елементарні дроби так, що кожному множнику в знаменнику вигляду _ відповідає сума



а кожному множнику вигляду (x²+px+q)^s відповідає сума



де A₁, A₂…. N_i, M_i- дійсні числа.


3.3. Метод невизначених коефіцієнтів.

Помножимо на Q_n(х) обидві частини розкладання



Після скорочення і приведення подібних маємо нову рівність. Зліва в ній буде многочлен P_m(х), справа – многочлен з коефіцієнтами, які виражені через А₁, А₂….М₁, N₁…. Ця рівність повинна виконуватись при будь-яких значеннях х. Це можливо тільки тоді, коли коефіцієнти при однакових степенях х в обох його частинах співпадають. Прирівнюючи коефіцієнти, одержимо лінійних алгебраїчних рівнянь. З неї і визначимо шукані числа А₁, А₂….М₁, N₁….

Приклад на застосування цього метода роздивимось, коли будемо інтегрувати раціональні дроби.

3.4. Обчислення інтегралів (елементарних дробей).

Роздивимось, як інтегруються елементарні дроби (*).

Інтеграли від перших двох функцій (І та ІІ) є табличними:





Інтеграли групи ІІІ були розглянуті у п. 2.4.

Інтеграли гр. ІV ми вивчати не будемо.


3.5. Інтегрування довільного раціонального дробу.

Любий раціональний дріб згідно описаної вище методиці можна розкласти на елементарні дроби, а потім проінтегрувати

Роздивимось приклади

Приклад 1.



Дріб неправильний, тому виділимо цілу частину.



_2x⁴ - 5x³ –x ² + 3x-11 x³-3x²-x+3

2x⁴ - 6x³-2x² + 6x 2x+1

_x³ + x² - 3x –11

x³ - 3x² – x + 3

4x²-2x-14



Останій дріб уже правильний. Розкладемо його на елементарні дроби:





У цю тотожність можна підставити будь-які значення x і отримати систему рівнянь, з якої знайти невідомі сталі А; В і С. Підставимо значення х₁= 1; х₂= -1; х₃= 3.

x=1 -4A= -12 → A=3

x=-1 8B=-8 → B=-1

x=3 8D=16 → D=2.



Приклад 2.





Дорівняємо коефіцієнти при однакових степенях х.

x² 0=A+M

x¹ 1=2A+N-2M

x⁰ 0=4A-2

Розв'яжемо одержану систему:

A= -M

N= 2A

1=2A+2A+2A; A=_

M=_ N=1

Тобто