230100 – Информатика и вычислительная техника
| Вид материала | Документы |
- Рабочая учебная программа по дисциплине «Базы данных» Направление №230100 «Информатика, 115.03kb.
- Основная образовательная программа высшего профессионального образования Направление, 300.24kb.
- Образовательный стандарт по направлению 230100. 62 Информатика и вычислительная техника, 328.94kb.
- Рабочая учебная программа по дисциплине вычислительная математика специальность: 230100, 133.73kb.
- Рабочая программа учебной дисциплины днн. 02 Современные научные проблемы автоматизированных, 221.23kb.
- Образовательной программы по укрупненной группе 230000 Информатика и вычислительная, 933.17kb.
- Программа государственного экзамена по направлению 230100 «Информатика и вычислительная, 60.5kb.
- Рабочая учебная программа по дисциплине «Информатика» Направление №230100 «Информатика, 91.73kb.
- Рабочая учебная программа по дисциплине «Программирование на языке высокого уровня», 119.59kb.
- Образовательный стандарт по направлению 552800 «Информатика и вычислительная техника», 166.41kb.
Вероятность безотказной работы системы определяется как сумма вероятностей всех работоспособных состояний:
P = p1 p2 p3 p4 p5 + p1 p2 p3 p4 q5 + p1 p2 p3 q4 p5 + p1 p2 q3 p4 p5 + p1 q2 p3 p4 p5 + q1 p2 p3 p4 p5 + p1 p2 q3 p4 p5 + p1 q2 p3 p4 q5 + q1 p2 p3 p4 q5 + p1 p2 q3 q4 p5 + p1 q2 p3 q4 p5 + q1 p2 p3 q4 p5 + p1 q2 q3 p4 p5 + q1 q2 q3 p4 p5 + q1 q2 q3 p4 p5 + p1 q2 q3 p4 q5
В случае равнонадежных элементов ( p = p, q = q ) вероятность безотказной работы системы можно найти по формуле:
P = p5 + 5 p4 q + 8 p3 q2 + 2 p2 q3 = 2 p5 - 5 p4 + 2 p3 + 2 p2
Метод прямого перебора эффективен только при малом количестве элементов n, поскольку число состояний системы составляет 2 n.
Например, для схемы на левом рисунке их количество равно 2 5 = 32, а на правом рисунке он уже равно 2 8 = 256.
Некоторое упрощение достигается, если в таблицу состояний включать только сочетания, отвечающие работоспособному (или только неработоспособному) состоянию системы в целом.
Для анализа надежности систем, структурные схемы которых не сводятся к параллельному или последовательному типу, можно воспользоваться также методом логических схем с применением алгебры логики (булевой алгебры).
Применение этого метода сводится к составлению для системы формулы алгебры логики, которая определяет условие работоспособности системы.
При этом для каждого элемента и системы в целом рассматриваются два противоположных события - отказ и сохранение работоспособности.
Для составления логической схемы можно воспользоваться двумя методами – минимальных путей и минимальных сечений.
Рассмотрим метод минимальных путей для расчета вероятности безотказной работы на примере мостиковой схемы, показанной на левом рисунке.
Минимальным путем называется последовательный набор работоспособных элементов системы, который обеспечивает ее работоспособность, а отказ любого из них приводит к ее отказу.
Минимальных путей в системе может быть один или несколько.
Очевидно, система с последовательным соединением элементов:
имеет только один минимальный путь, включающий все элементы.
В системе с параллельным соединением элементов:
число минимальных путей совпадает с числом элементов и каждый путь включает один из них.
Для мостиковой системы из пяти элементов минимальных путей четыре:
- элементы 1 и 4,
- элементы 2 и 5,
- элементы 1, 3 и 5,
- элементы 2, 3 и 4.
Логическая схема такой системы:
составляется таким образом, чтобы все элементы каждого минимального пути были соединены друг с другом последовательно, а все минимальные пути параллельно.
Затем для логической схемы составляется функция алгебры логики А по общим правилам расчета вероятности безотказной работы, но вместо символов вероятностей безотказной работы элементов p i и системы Р используются символы события ( сохранения работоспособности элемента а i и системы А ).
Так, “отказ” рассматриваемой логической схемы состоит в одновременном отказе всех четырех параллельных ветвей, а “безотказная работа” каждой ветви - в одновременной безотказной работе ее элементов.
Последовательное соединение элементов логической схемы соответствует логическому умножению (“ И”), параллельное - логическому сложению (“ИЛИ”).
Следовательно, рассматриваемая логическая схема соответствует утверждению: система работоспособна, если работоспособны элементы 1 и 4, или 2 и 5, или 1,3 и 5, или 2,3 и 4.
Функция алгебры логики для рассматриваемой мостиковой системы запишется:
A = 1 - ( 1 - a1 a4 )(1 - a2 a5 )(1 - a1 a3 а5 )(1 - a2 a3 а4 )
В этом выражении переменные а рассматриваются как булевы, т.е. могут приниматься только два значения: 0 или 1.
Тогда при возведении в любую степень k любая переменная а сохраняет свое значение:
аi k = аi
На основе этого свойства функция алгебры логики для рассматриваемой мостиковой системы может быть преобразована к виду:
A = a1 a4 + a2 a5 + a1 a3 a5 + a2 a3 a4 - a1 a2 a3 a4 - a1 a2 a3 a5 - 2 a1 a2 a4 a5 - a2 a3 a4 a5 + 2 a1 a2 a3 a5
Заменив в этом выражении символы событий a i их вероятностями p i , получим уравнение для определения вероятности безотказной работы мостиковой системы
P = p1 p4 + p2 p5 + p1 p3 p5 + p2 p3 p4 - p1 p2 p3 p4 - p1 p2 p3 p5 - 2 p1 p2 p4 p 5 - p2 p3 p4 p5 + 2 p1 p2 p3 p4 p5
Для системы равнонадёжных элементов (pi = p) последнее выражение легко преобразуется в ранее полученную формулу
P = p5 + 5 p4 q + 8 p3 q2 + 2 p2 q3 = 2 p5 - 5 p4 + 2 p3 + 2 p2
Метод минимальных путей дает точное значение только для сравнительно простых систем с небольшим числом элементов.
Для более сложных систем результат расчета является нижней границей вероятности безотказной работы.
Для расчета верхней границы вероятности безотказной работы системы служит метод минимальных сечений.
Минимальным сечением называется набор неработоспособных элементов, отказ которых приводит к отказу системы, а восстановление работоспособности любого из них - к восстановлению работоспособности системы.
Как и минимальных путей, минимальных сечений может быть несколько.
Очевидно, система с параллельным соединением элементов:
имеет только одно минимальное сечение, включающее все ее элементы (восстановление любого восстановит работоспособность системы).
В системе с последовательным со единением элементов:
число минимальных путей совпадает с числом элементов, и каждое сечение включает один из них.
В рассматриваемой мостиковой системе минимальных сечений четыре:
- элементы 1 и 2,
- элементы 4 и 5,
- элементы 1, 3 и 5,
- элементы 2, 3 и 4.
Логическая схема системы:
составляется таким образом, чтобы все элементы каждого минимального сечения были соединены друг с другом параллельно, а все минимальные сечения - последовательно.
Аналогично методу минимальных путей, составляется функция алгебры логики.
“ Безотказная работа” этой логической системы заключается в “безотказной работе” всех последовательных участков, а каждого из них - в одновременном “отказе” всех параллельно включенных элементов.
Как видно, поскольку схема метода минимальных сечений формулирует условия отказа системы, в ней последовательное соединение соответствует логическому «ИЛИ», а параллельное – логическому «И».
Рассматриваемая схема мостиковой системы по методу минимальных сечений соответствует формулировке: система откажет, если откажут элементы 1 и 2, или 4 и 5, или 1, 3 и 5, или 2, 3 и 4.
Функция алгебры логики для мостиковой системы запишется
A = [ 1 - ( 1 - a1 )( 1 - a2 )] [ 1 - ( 1 - a4 )( 1 - a5 )] [ 1 - ( 1 - a1 )( 1 - a3 )( 1 - a5 )] [ 1 - (1 - a2 ) ( 1 - a3 )( 1 - a4 )]
После преобразований с использованием свойств булевых переменных это равенство приобретает форму
A = a1 a4 + a2 a5 + a1 a3 a5 + a2 a3 a4 - a1 a2 a3 a4 - a1 a2 a3 a5 - 2 a1 a2 a4 a5 - a2 a3 a4 a5 + 2 a1 a2 a3 a5
а после замены событий их вероятностями переходит в выражение
P = p1 p2 + p2 p5 + p1 p3 p5 + p2 p3 p4 - p1 p2 p3 p4 - p1 p2 p3 p5 - 2 p1 p2 p4 p 5 - p2 p3 p4 p5 + 2 p1 p2 p3 p4 p5
Таким образом, для мостиковой системы из пяти элементов верхняя и нижняя границы вероятности безотказной работы, полученные методами минимальных сечений и минимальных путей, совпали с точными значениями, полученными методом прямого перебора.
Для сложных систем это может не произойти, поэтому методы минимальных путей и минимальных сечений следует применять совместно.
В ряде случаев анализа надежности системы удается воспользоваться методом разложения относительно особого элемента, основанным на известной в математической логике теореме о разложении функции логики по любому аргументу. Согласно ей, можно записать:
P = pi P ( pi = 1 ) + qi P ( pi = 0 )
где pi и qi = 1 – pi - вероятности безотказной работы и отказа i - го элемента,
Р( pi = 1 ) и Р( pi = 0 ) - вероятности работоспособного состояния системы при условии, что i -й элемент абсолютно надежен и что i - й элемент отказал.
Для мостиковой схемы, состоящей из пяти элементов, в качестве особого элемента целесообразно выбрать диагональный элемент 3.
При р3 =1 мостиковая схема превращается в параллельно-последовательное соединение:
а при р3 = 0 – в последовательно-параллельное:
Для преобразованных схем можно записать:
P(p3 = 1) = [ 1 - ( 1 - p3 )( 1 - p2 ) ] [ 1 - ( 1 - p4 )( 1 - p5 ) ]
P(p3 = 0) = 1 - ( 1 - p1 p4 )( 1 - p2 p5 )
Тогда на основании ранее рассмотренной формулы
P = pi P ( pi = 1 ) + qi P ( pi = 0 )
получим:
P = p3 [ 1 - ( 1 - p1 )( 1 - p2 ) ] [ 1 - ( 1 - p4)( 1 - p5 ) ] + ( 1 - p3 ) [ 1 - ( 1 - p1 p4 )( 1 - p2 p5 ) ]
Легко убедится, что для равнонадежных элементов эта формула обращается в формулу
P = p5 + 5 p4 q + 8 p3 q2 + 2 p2 q3 = 2 p5 - 5 p4 + 2 p3 + 2 p2
Этим методом можно воспользоваться и при разложении относительно нескольких «особых» элементов.
Например, для двух элементов (i, j) выражение
P = pi P ( pi = 1 ) + qi P ( pi = 0 )
примет вид:
P = pi pj P ( pi = 1, pj = 1 ) + pi qj P ( pi = 1, pj = 0) + qi pj P ( pi = 0, p j = 1 ) + qi qj P ( pi = 0, pj = 0 )
Вероятность безотказной работы мостиковой схемы, состоящей из восьми элементов, при разложении относительно диагональных элементов 3 и 6 по приведенному выше правилу определится:
P = p3 p6 P ( p3 = 1, p6 = 1 ) + p3 q6 P ( p3 = 1, p6 = 0 ) + q3 p6 P ( p3 = 0, p6 = 1 ) + q3 q6 P ( p3 = 0, p6 = 0 )
ТЕМА 7. Комбинированные схемы |