Курс: V семестр: X москва 2012 Теория оптимального управления (тоу)

Вид материала

Лекция

Содержание Лукьянов б.в. Историческая справка

Подобный материал:

• Конспект лекций по Теории оптимального управления экономическими системами для студентов,, 42.79kb.
• Элективный курс для учащихся 10-11 классов общеобразовательных учреждений, 24.75kb.
• Задание модели системы в пространстве состояний, построение оптимального наблюдателя, 14.7kb.
• Курс биологи,1 семестр ) фен 26 ч. ((1 курс химики, 2 семестр 2 курс биологи, 2 семестр, 45.56kb.
• Учебный план 2 курс 2011/2012 учебный год Специальность «Социально-культурный сервис, 121.2kb.
• Темы контрольных работ по дисциплине «Экономическая теория» спо специальность 080110., 17.75kb.
• Обязательный курс для студентов 3 курса II потока, 69.46kb.
• Данный курс читается после того, как на третьем курсе (6-й семестр) студенты изучили, 317.71kb.
• Курс является базовым как для изучения других математических дисциплин, так и для более, 39.9kb.
• Курс, семестр, форма навчання: V (VІ) курс, 10 (12) семестр, денна (заочна) форма навчання, 38.79kb.

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего пРофессионального образования российский государственный аграрный университет – МСха имени К.А. Тимирязева (ФГОУ ВПО ргау - МСХА имени К.А. Тимирязева)

Экономический факультет

Кафедра экономической кибернетики


ЛУКЬЯНОВ Б.В.


ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
В ПРИЛОЖЕНИИ К ЗАДАЧАМ АГРОЭКОНОМИКИ

ЛЕКЦИЯ 1


Дисциплина «Теория оптимального управления»


Направление – 080100 «Экономика»

Специальность – 080116 «Математические методы в экономике»

Специализация – «Информационные технологии в АПК»

Курс: V

Семестр: X


Москва 2012

Теория оптимального управления (ТОУ) – это математическая наука о поиске оптимальных управлений динамическими объектами и сложными процессами.


ЛИТЕРАТУРА

1. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление. – М.: Высш. шк., 2001
   
2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. – 2-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005
   
3. Москвин Б.В. Математические методы оптимального управления экономическими системами. – СПб.: Изд-во СПбГУ-ЭФ, 2005
   
4. Лагоша Б.А. Оптимальное управление в экономике. – М.: Финансы и статистика, 2003
   
5. Москаленко А.И. Оптимальное управление моделями экономической динамики. Учебное пособие. – М.: Высш. шк., 2003
   
6. Оптимальное управление в агрегированных моделях. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 1991
   
7. Лукьянов Б.В. Теория оптимального управления в приложении к задачам агроэкономики. Методическое пособие к лабораторно-практическим занятиям. – М.: Изд-во РГАУ - МСХА имени К.А. Тимирязева, 2011
   
8. Методы оптимизации // www.bigor.bmstu.ru
   

Историческая справка

В 40-е – 50-е годы прошлого столетия сформировались потребности решения сложных оптимизационных задач в управлении экономикой, технологическими процессами, летательными аппаратами. Многие инженерные задачи не поддавались решению с помощью существовавшего в то время математического аппарата. Это потребовало создания новых разделов математики.

Для обеспечения решения задач управления летательными аппаратами, задач, связанных с освоением космоса, в середине 50-х годов был создан новый раздел математики: «Теория оптимального управления». Разработка теории оптимального управления связана, в первую очередь, с именем академика Льва Семёновича Понтрягина.

Математический аппарат ТОУ

1. Теория множеств
   
2. Функциональный анализ
   
3. Дифференциальное и интегральное исчисление
   
4. Решение дифференциальных уравнений
   
5. Векторный анализ
   
6. Алгебра матриц и матричное исчисление
   
7. Линейное программирование
   
8. Вариационное исчисление
   
9. Динамическое программирование
   
10. Численные методы и конечные разности
    
11. Теория комплексного переменного
    

Общая постановка задачи теории оптимального управления


Для задачи оптимального управления характерно наличие некоторого динамического объекта, т.е. объекта, изменяющегося во времени.

В задачах управления состояние динамического объекта (системы) характеризуется n переменными состояния (фазовыми переменными) x¹(t), ..., xⁿ(t).

Вектор

x(t) = (x¹(t), ..., xⁿ(t))

называется фазовым вектором объекта.

Положение объекта в каждый момент времени t полностью характеризуется параметрами, составляющими фазовый вектор.

Предполагается, что движением объекта можно управлять, т.е. объект снабжен некоторыми «рулями», от положения которых зависит его поведение.

Пусть положение рулей характеризуется в каждый момент времени t набором параметров u¹(t), ..., u^m(t).

Вектор u(t) = (u¹(t), ..., u^m(t)) называется управляющим параметром объекта или управлением.

В зависимости от того, как выражается зависимость вектора фазового состояния x(t) от управления u(t), рассматривают различные динамические объекты.

Например, эта зависимость может описываться системой дифференциальных уравнений:

_•

x = f(t, x, u).

В этом случае, зная значение управления u(t), можно определить траекторию объекта x(t) как решение дифференциального уравнения

_•

x = f(t, x, u(t)).

В конкретных физических (экономических, физиологических и др.) объектах управление u(t) не может быть произвольным. Обычно предполагают, что вектор управления u(t) удовлетворяет в каждый момент времени t ограничению

u(t)  U,

где U – некоторое заданное множество.

Таким образом задается класс допустимых управлений.

Предполагается, что задан начальный момент времени t₀ и множество начальных допустимых состояний M₀.

Желательно управлять объектом так, чтобы в какой-то конечный момент времени t₁ объект перешел на некоторое множество M₁ конечных допустимых состояний.

Считается, что допустимое управление u(t) переводит объект из множества начальных допустимых состояний M₀ на множество конечных допустимых состояний M₁ на отрезке времени [t_0, t₁], если соответствующее этому управлению u(t) фазовое состояние объекта x(t) удовлетворяет условиям

x(t₀)  M₀, x(t₁)  M₁.

В общем случае, управляемый объект можно перевести из множества M₀ на множество M₁ многими способами. Обычно на практике желательно среди всех таких переходов выбрать в каком-то смысле наилучший. Для этого каждой паре u(t) и x(t) ставится в соответствие некоторое число J, оценивающее качество пары, т.е. задаётся функционал, или критерий качества J(u(t), x(t)).

Задача оптимального управления заключается в нахождении таких допустимого управления u^*(t) и соответствующей ему траектории объекта x^*(t), переводящей объект из множества начальных состояний M₀ на множество конечных состояний M₁, что при этом функционал качества J(u(t), x(t)) принимает минимальное значение, т.е.

J(u^*(t), x*(t)) = min J(u(t), x(t)).

Критерием качества может служить, например, количество топлива, затрачиваемое на переход космического корабля с одной орбиты на другую.

Задача состоит в определении m управляющих переменных (управления) как функций от t в интервале t₀ ≤ t ≤ t₁, минимизирующих заданный критерий, или функционал качества.


Основные вопросы математической теории оптимального управления

Математическая теория оптимального управления включает в себя рассмотрение следующих вопросов:

• Управляемость
  
• Существование оптимального управления
  
• Необходимые условия оптимальности
  
• Достаточные условия оптимальности
  
• Единственность оптимального управления
  
• Линейная задача быстродействия.
  

Управляемость

При оценке управляемости дается ответ на вопрос существует ли хотя бы одно допустимое управление u(t), которое переводит динамический объект из множества начальных состояний M₀ на множество конечных состояний M₁ (при учете заданных ограничений):

x(t₀)  M₀, x(t₁)  M₁.

В задаче управляемости не оценивается качество перехода из M₀ на M₁.

Пример.

Космический корабль движется по некоторой круговой орбите вокруг Земли. При этом координатами вектора фазового состояния x(t) могут быть координаты вектора положения корабля относительно неподвижной системы координат, связанной с Землей.

Координатами вектора управления u(t) могут быть углы поворота реактивного двигателя, расход топлива в единицу времени и т.п.

Выбирая те или иные значения координат вектора управления u(t), можно заставить космический корабль двигаться по той или иной траектории x(t).

Предположим, что корабль нужно перевести на новую круговую орбиту, т.е. подобрать управление u(t) таким образом, чтобы траектория x(t)

начиналась в момент времени t₀ на первой круговой орбите и заканчивалась в момент времени t₁ на второй круговой орбите.

x(t₁)



M₁





M₀ x(t)


x(t₀)

Рис. 1

При этом за множество начальных состояний M₀ можно взять значения координат корабля на первой орбите, т.е. множество значений вектора x(t₀).

За множество конечных состояний M₁ можно взять значения координат корабля на второй орбите, т.е. множество значений вектора x(t₁) (рис.1).

Если на поставленный вопрос ответ положительный, то говорят, что объект является управляемым из множества M₀ на множество M₁.


Существование оптимального управления

Если вопрос об управляемости решается положительно, то необходимо выяснить существует ли оптимальное управление. С математической точки зрения этот вопрос является одним из основных, и если оптимального управления не существует, то дальнейшие его поиски становятся бессмысленными.


Необходимые условия оптимальности

Если оптимальное управление в задаче существует, то далее необходимо применять методы нахождения этого оптимального управления.

Даже в простых задачах может оказаться бесконечно много допустимых управлений, переводящих объект из из множества начальных состояний M₀ на множество конечных состояний M₁. Поэтому простым перебором всех допустимых управлений обойтись не удаётся. Возникает вопрос как сузить класс управлений, подозрительных на оптимальность. Решить его позволяют необходимые условия оптимальности.

Таким образом, оптимальное управление нужно искать лишь среди допустимых управлений, удовлетворяющих необходимые условия оптимальности. Таким необходимым условием оптимальности является принцип максимума Понтрягина.

Принцип максимума был сформулирован академиком Львом Семеновичем Понтрягиным в 1953 году. По существу, с принципа максимума и началась математическая теория оптимального управления.

Принцип максимума позволил из всего множества допустимых управлений выделять их конечное число, среди которых уже гораздо легче найти оптимальное управление.

Применение принципа максимума позволило решить многие инженерные задачи, до того не решаемые.

В 1962г. за обоснование и применение принципа максимума для решения практических задач Л.С. Понтрягину была присуждена Ленинская премия.

Достаточные условия оптимальности

Во многих задачах, несмотря на то, что необходимые условия оптимальности позволяют сузить класс управлений, подозрительных на оптимальность, все же этот класс остается достаточно широким. Отобрать действительно оптимальное управление в этом классе позволяют достаточные условия оптимальности.

Может случиться, что достаточным условиям оптимальности удовлетворяет не одно, а несколько управлений. Этим гарантируется, что все они оптимальны, т.е. функционал качества принимает на всех этих управлениях одинаковое минимальное значение.

Единственность оптимального управления

Вопрос о единственности оптимального управления также входит в число основных вопросов математической теории оптимального управления. Если оптимальное управление единственно, то в конкретных управляемых объектах его реализация оказывается существенно проще, чем при нескольких оптимальных управлениях.