Обязательный курс для студентов 3 курса II потока
| Вид материала | Тематический план |
- Обязательный курс для студентов Iкурса, обучающихся по магистерской программе «Открытые, 82.49kb.
- Учебного курса численные методы для студентов факультета Прикладной математики и информатики, 34.19kb.
- Учебного курса операционные системы для студентов факультета Прикладной математики, 30.25kb.
- Обязательный курс Объём учебной нагрузки 36 часов − лекции Целью курса, 118.77kb.
- Обязательный курс Объем учебной нагрузки: 74 часа лекции, 356 часов лабораторные работы, 259.26kb.
- Программа курса. Курс «Введение в историю мировых цивилизаций» обязательный (лекционный), 212.88kb.
- Программа курса теория и история мировых религий курс обязательный, теоретический,, 306.19kb.
- Программа учебной дисциплины «экономика», 117.66kb.
- Обязательный курс «Математика» для студентов направления «Архитектура», обучающихся, 1151.64kb.
- Программа курса Дополнительные главы дискретной математики для групп 318, 319 кафедры, 78.79kb.
Методы оптимизации, 3 курс
Обязательный курс для студентов 3 курса II потока
Читается в 5 семестре (32 часа) и 6 семестре (36 часов), всего 68 часов
Семинары (36 часов) проводятся в 6 семестре в учебной группе кафедры оптимального управления
Экзамен в 6 семестре
За курс отвечает кафедра оптимального управления
Автор программы: доцент Потапов М.М.
Лектор 2007/2008 уч. года: доцент Потапов М.М.
Аннотация
Излагаются и обсуждаются методы исследования и методы решения задач на экстремум. Рассматриваются вопросы существования решений задач минимизации и условия оптимальности, изучаются конкретные итерационные численные методы оптимизации и оценивается их точность. Обсуждаются методы снятия ограничений в задачах условной минимизации, основы теории двойственности, оптимального управления и регуляризации некорректно поставленных экстремальных задач. Основная часть материала излагается в гильбертовом пространстве и предполагает наличие у слушателей базовых знаний по курсу функционального анализа.
^ Тематический план
| № | Название темы | Лекции (часы) | ^ Семинары (часы) | Самостоя-тельная работа студентов (часы) |
| 1. | Задачи на экстремум и условия существования решений | 8 | 4 | 12 |
| 2. | Элементы дифференциального исчисления в нормированных пространствах | 8 | 6 | 14 |
| 3. | Элементы выпуклого анализа и выпуклые экстремальные задачи | 10 | 4 | 14 |
| 4. | Условия оптимальности | 4 | 4 | 8 |
| 5. | Итерационные методы минимизации | 20 | 10 | 30 |
| 6. | Методы снятия ограничений | 12 | 8 | 20 |
| 7. | Задачи оптимального управления | 6 | | 6 |
| | Итого: | 68 | 36 | 104 |
| | Всего часов аудиторных занятий и самостоятельной работы студентов | 208 | ||
^ Содержание курса
- Задачи на экстремум и условия существования решений. Постановка задачи на экстремум (минимум, максимум) функционала. Классическая теорема Вейерштрасса в конечномерном пространстве и ее обобщения на случай полного метрического пространства, полунепрерывной снизу функции и компактного множества, а также случай гильбертова пространства, слабо полунепрерывного снизу функционала и слабо компактного множества. Понятия корректно и слабо корректно поставленных экстремальных задач. Слабая полунепрерывность снизу квадратичного функционала. Существование решений в задачах управления линейной динамической системой с квадратичными критериями качества.
Семинары 1,2. Метрические, нормированные и евклидовы пространства. Полнота. Банаховы и гильбертовы пространства. Непрерывность, полунепрерывность и слабая полунепрерывность снизу. Ограниченность, замкнутость и слабая замкнутость, компактность и слабая компактность. Линейные функционалы и операторы, квадратичные функционалы.
- ^ Элементы дифференциального исчисления в нормированных пространствах. Определения первой и второй производных Фреше в нормированных пространствах. Производная сложной функции, формулы конечных приращений. Первая и вторая производные квадратичного функционала. Производные квадратичных функционалов, определенных на решениях линейных динамических систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных параболического и гиперболического типа.
Семинары 3,4,5. Определения первой и второй производных Фреше в нормированных пространствах, интерпретация этих производных в случае гильбертовых пространств и использования изоморфизма Рисса. Развитие навыков вычисления первых и вторых производных функционалов, определенных на решениях задач Коши и краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.
- ^ Элементы выпуклого анализа и выпуклые экстремальные задачи.
Выпуклые множества. Выпуклые и сильно выпуклые функции. Теорема о глобальности локального минимума выпуклой функции. Критерии выпуклости и сильной выпуклости для функций, имеющих первые и вторые производные: теоремы о касательной плоскости и касательном параболоиде, монотонность и сильная монотонность градиента, неотрицательная и положительная определенность оператора второй производной. Условия сильной выпуклости квадратичного фукнкционала. Корректность задачи минимизации сильно выпуклого полунепрерывного снизу функционала на выпуклом замкнутом множестве из гильбертова пространства. Некорректные задачи минимизации и методы их регуляризации. Сходимость метода регуляризации А.Н.Тихонова в гильбертовом пространстве.
Семинары 6,7. Исследование дифференцируемых функций на выпуклость и сильную выпуклость с помощью соответствующих критериев. Оценки погрешности метода регуляризации А.Н.Тихонова в примерах решения линейных операторных уравнений и задач безусловной минимизации квадратичных функционалов.
- ^ Условия оптимальности. Условие оптимальности для дифференцируемого
функционала в форме вариационного неравенства. Проекция точки на множество. Существование и единственность проекции на выпуклое и замкнутое множество в гильбертовом пространстве. Характеризация проекции вариационным неравенством. Нестрогая сжимаемость оператора проектирования. Проекционная форма критерия оптимальности.
Семинар 8. Вычисление проекций на подпространства, плоскости, полупространства, шары, конусы, многогранники и их комбинации.
Семинар 9. Контрольная работа №1.
- Итерационные методы минимизации. Методы скорейшего спуска, проекции градиента и их непрерывные аналоги, методы условного градиента, Ньютона и их сходимость в гильбертовом постранстве для сильно выпуклых функций. Метод покоординатного спуска в конечномерном пространстве. Конечная сходимость метода сопряженных направлений в конечномерном пространстве для сильно выпуклых квадратичных функций. Симплекс-метод для канонической задачи линейного программирования. Алгебраический критерий для распознавания угловых точек канонического симплекса, идея симплекс-метода и ее реализация, метод искусственного базиса для выбора стартовой угловой точки.
Семинары 10,11,12,13. Применение методов скорейшего спуска, проекции градиента, условного градиента, сопряженных направлений и метода Ньютона к решению модельных задач с контролем или оцениванием величины погрешности.
Семинар 14. Применение симплекс-метода к каноническим задачам линейного программирования небольшой размерности.
- ^ Методы снятия ограничений. Метод штрафных функций для задач минимизаци с ограничениями типа равенств и неравенств в гильбертовом пространстве; сходимость для слабо полунепрерывных снизу функционалов. Правило множителей Лагранжа для выпуклых задач с ограничениями типа неравенств в линейном пространстве: простейшая теорема отделимости, теорема Куна-Таккера, достаточное условие регулярности Слейтера. Правило множителей Лагранжа для гладких задач с ограничениями типа равенств и неравенств: теорема Люстерника, достаточные условия регулярности. Двойственные экстремальные задачи.
Семинары 15,16,17. Применение метода штрафов с контролем или оцениванием величины погрешности. Решение гладко-выпуклых задач минимизации с ограничениями типа равенств и неравенств с помощью правила множителей Лагранжа. Постановка и решение двойственных экстремальных задач.
Семинар 18. Контрольная работа №2.
- Задачи оптимального управления. Простейшая задача оптимального управления со свободным правым концом. Вывод формулы приращения функционала с оценками остаточных членов в пространстве интегрируемых по Лебегу функций. Принцип максимума Л.С.Понтрягина, краевая задача принципа максимума, градиент функционала, линеаризованный принцип максимума.
Литература
1. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М., Факториал Пресс, 2002.
2. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М., Наука, 1988 (1980).
3. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М., Наука, 1981.
4. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М., Физматлит, 2005 (Наука, 1986).
5. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1976.
6. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М., Физматлит, 2005 (Наука, 1979).
Дополнительная литература
1. Карманов В.Г. Математическое программирование. М., Физматлит, 2000 (Наука, 1986).
2. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. М., Факториал, 2008 (1998, 2003).
3. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., Наука, 1976.
4. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М., Наука, 1986.