Домашнее задание по теме «Методика обучения математическим доказательствам. Различные методы доказательств». Логические основы доказательства
| Вид материала | Документы |
- Логические основы построения компьютера, 230.09kb.
- Урок по теме «Основы логики и логические основы компьютера», 276.49kb.
- Темы курсовых работ по теории и методике обучения математике Обучение математическим, 48.79kb.
- Тема Уроки 1 Логические основы компьютера Урок Логические элементы и переключательные, 96.75kb.
- Домашнее задание по дисциплине «Стратегический менеджмент» Домашнее задание может быть, 41.07kb.
- Основы теории доказательств перечень вопросов к экзамену (зачету), 23.77kb.
- Вопросы к экзамену методика математического развития, теоретические основы методики, 34.51kb.
- Вопросы к гос экзамену, 90.73kb.
- Домашнее задание №1. Составление эссе по предложенной теме (срок сдачи 6 -ая учебная, 77.56kb.
- Домашнее задание ответа на зачете Алгоритм формирования оценки таков: вес посещаемости, 76.53kb.
Домашнее задание по теме «Методика обучения математическим доказательствам. Различные методы доказательств».
ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
1. Сформулируйте для каждой из приведенных ниже теорем обратную. Верна ли она? Если считаете, что верна – докажите ее, а если считаете, что неверна, то опровергните ее:
а) если стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, то соответственные углы у этих треугольников равны,
б) теорема Пифагора,
в) диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам,
г) диагонали ромба взаимно перпендикулярны,
д) сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна двум прямым,
е) если =45, то tg =1,
ж) если можно построить треугольник по сторонам а, b, с, то а
3. Приведите примеры теорем существования в курсе геометрии основной школы.
4. Представьте демонстрацию доказательства свойства диагоналей параллелограмма, выделяя каждый логический шаг доказательства.
5. Проведите логико-математический анализ 2-3 теорем школьного курса математики.
Примечание. Логико-математический анализ утверждения состоит в выделении разъяснительной части, условия и заключения. Кроме того, следует установить вид утверждения (простое или сложное), а также вид связи между условиями, условием и заключением, необходимые и достаточные условия для получения заключения. В математических предложениях (определениях, аксиомах и теоремах) наиболее распространены следующие формы связей математического текста: конъюнктивная («и»), дизъюнктивная («или»), импликативная («если…, то…»), отрицание.
7. Проведите классификацию всех теорем курса основной школы на основании: а) метода доказательства, б) вида теорем.
8. Определите вид следующей теоремы «Существует прямая, параллельная данной и проходящая через данную точку».
10. Найдите ошибку в доказательстве теоремы о сумме углов треугольника:
«Рассмотрим произвольный треугольник АВС. (Рис. 9) Отрезком CD разобьем его на два треугольника ADC и DCB.
П
усть x – неизвестная сумма внутренних углов треугольника. Тогда 1+2+6 = x, 3+4+5 = x.С
Рис. 9
кладываем левые и правые части этих равенств, получим:
1 + 2 + 6 + 3 + 4 + 5 = 2x.
Учитывая, что 1+2+3+4 = x, 5+6 = 180, получим, что x+180 = 2х, или x = 180. Что и требовалось доказать».
СХЕМЫ РАССУЖДЕНИЙ
1. Как объяснить учащимся сущность ошибок, допущенных в следующих рассуждениях:
а) вертикальные углы равны; если углы не вертикальные, то они не равны.
б) если треугольник прямоугольный, то квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов; в данном треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон; следовательно, данный треугольник прямоугольный.
в) всякий шестиугольник – многоугольник; данный многоугольник не является шестиугольником (например, пятиугольник); следовательно, этот пятиугольник не является многоугольником.
г) если число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6; данное число не делится на 6; следовательно, данное число не делится на 2 и не делится на 3.
2. Примером применения какого логического правила вывода служит следующее рассуждение: “Правильные многоугольники можно вписать в окружность, квадрат - правильный многоугольник, следовательно, квадрат может быть вписан в окружность”. Запишите формальную схему этого правила.
ОБУЧЕНИЕ ПОИСКУ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
1. На примере конкретной теоремы (или утверждения) поясните, как эффективно актуализировать знания учащихся.
4. Существуют ли логические пробелы в доказательствах теорем в школьных учебниках. Каковы причины этого?
5. В теореме «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180» выделите этапы доказательства, рассмотрите, насколько подробно выделены эти этапы в учебнике геометрии для 7−9 классов Атанасяна Л.С. и др.
16. Решите и организуйте поиск решения следующих задач. Опишите используемые при решении приемы поиска решения задачи. Предложите несколько способов решения задачи. Сформулируйте и решите обратные задачи. Перечислите ключевые задачи для каждой из приведенных, а также обобщения и частные случаи задач. Представьте диалоговую схему поиска решения задачи. Перечислите все математические предложения, которые используются при решении этих задач.
1) Докажите, что площадь треугольника равна произведению длин всех сторон треугольника, деленному на четыре длины радиуса описанной около этого треугольника окружности.
2) Если медиана и высота, проведенные из одной вершины, делят угол при этой вершине на три равные части, то треугольник – прямоугольный.
3) Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
17. Опишите методику обучения решению следующих задач:
1) В равнобедренной трапеции углы при основании равны.
2) В равнобедренной трапеции диагонали равны.
3) Биссектрисы углов параллелограмма пересекаясь, образуют прямоугольник.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ
1. Приведите примеры формирования первых представлений о доказательстве в 5-6 классах.
2. Проанализируйте действующие учебники математики с целью выявления различных подходов к обучению доказательству.
3. Объясните процесс формирования приемов работы с готовым доказательством (по выбору).
ЭВРИСТИКИ В ОБУЧЕНИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ
1. Решите задачу: «Докажите, что угол между касательной к окружности и хордой, проведенной в точку касания, измеряется половиной дуги, заключенной между ними». Какие эвристики использованы при решении этой задачи?