Лекция №2/2: «Решение тригонометрических уравнений методом приведения к квадратному»

Вид материала

Лекция

Подобный материал:

• Конспект урока. Тема урока. Функционально-графические методы при решении тригонометрических, 66.13kb.
• Методы решения тригонометрических уравнений, 53.9kb.
• "Решение тригонометрических уравнений", 94.47kb.
• Решение алгебраических уравнений высоких степеней. Решение нелинейных уравнений методом, 9.13kb.
• План занятия элективного курса в 10 классе по теме: «Решение тригонометрических уравнений,, 39.39kb.
• Учебного заведения, 120.64kb.
• Основные методы решения тригонометрических уравнений, 22.36kb.
• Неравенств и, если «да», то найдите общее решение и частное решение двумя способами:, 11.47kb.
• Решение систем нелинейных алгебраических уравнений, 20.84kb.
• План конспект па алгебре и началам анализа в 10 классе Тема урока: Тригонометрические, 109.55kb.

Лекция № 2/2: «Решение тригонометрических уравнений методом приведения к квадратному ».


Рассмотрим решение данного вида уравнений на примерах.


1) 2 sin²x – 5 sin x + 2 = 0;

Введем новую переменную sin x = t; .

Запишем уравнение в новом виде.

2 t² -5 t + 2 =0;

Решаем квадратное уравнение:

D = b² – 4 ac = (-5)² – 4= 25-16 = 9.

t _1,2 == ;


t₁= 2, не удовлетворяет условие;

t₂ = .


Решаем уравнение замены:

sin x = ;

x = (-1)ⁿ arcsin + n,

x = (-1)^{n +} n, n .

Ответ: x = (-1)^{n +} n, n .

2) 2 cos² x + 3 sin² x + 2 cos x = 0;

Произведем замену: из основного тригонометрического тождества следует: sin² x = 1 – cos² x.

2 cos² x + 3 (1 – cos² x) + 2cos x = 0;

2 cos² x + 3 - 3 cos² x + 2 cos x = 0;

- cos² x + 2 cos x + 3 = 0;

cos x = t; .

D = b² – 4 ac = 2² – 4 = 4 + 12 = 16;

t_{1 =} = -1;

t₂ = = 3, не удовлетворяет условие.

cos x = -1; ( частный случай)

x = , n .

Ответ: x = , n .

x = , n .

Задания для самостоятельной работы:

1. 8 sin² x – 6 sin x -5 =0;
   
2. 8 cos² x + 6 sin x – 3 =0;
   
3. sin² x – 2 sin x -3 =0;
   
4. cos² x -2 cos x -3 = 0;
   
5. 2 sin² x +3 cos² x + 2 sin x =0.
   

Лекция 2/3 « Решение однородных тригонометрических уравнений уравнений».


Определение: Уравнение называется однородным, если все слагаемые, входящие в его состав одной степени.

ПРИМЕР:

x²y + y³ -4 xy² =0- это однородное уравнение третьей степени.

Рассмотрим примеры однородных тригонометрических уравнений.

1) 2 sin² x - 5 sin x cos x + 3 cos² x =0;

Решаются однородные тригонометрические уравнения путем деления всех слагаемых на косинус в степени уравнения. Т. к. данное однородное уравнение второй степени, то делить его нужно на cos² x.


;


2 tg²x – 5 tg x + 3 =0;


tg x = t.

2 t² -5 t + 3 =0;

t₁ = 1; t₂ = 1,5.

tg x = 1;

x₁ = arctg 1+n, n;

x₁ = +n, n.

tg x = 1,5;

x₂ = arctg 1,5 +n, n.

Ответ: x₁ = +n, n. x₂ = arctg 1,5 +n, n.

2. 22 cos² x + 8 sin x cos x =7.
   

На первый взгляд это уравнение не является однородным, однако, если мы представим 7= 7= 7(cos² x + sin² x), это уравнение станет однородным.

22 cos² x + 8 sin x cos x =7(cos² x + sin² x);

22 cos² x + 8 sin x cos x -7cos² x -7sin² x =0;

Приведите подобные слагаемые и доделайте уравнение по предыдущему алгоритму.


Задания для самостоятельной работы:

1. sin² x +2 sin x cos x – 3 cos² x =0;
   
2. sin² x – 3 sin x cos x + 1 =0;
   
3. 5sin² x – 4 cos x sin x + 3 cos² x = 2.