Програма нормативного курсу Методи обчислень
| Вид материала | Документы |
- Навчальна І робоча програма дисципліни за вибором студента "Наближені методи обчислень", 100.2kb.
- Комплексна програма з нормативного курсу "Культурологія" для студентів університету, 500.67kb.
- Програма курсу для студентів 5 курсу спеціальності 070404 «біологія», 82.72kb.
- Програма нормативного курсу "Методика наукової праці", 42.3kb.
- Програма дисципліни "Статистичні методи обробки інформації" Упорядник: проф. Сніжко, 77.9kb.
- Назва модуля: Методи обчислень, 53.73kb.
- Робоча навчальна програма для студентів спеціальності видавнича справа та редагування, 600.72kb.
- Програма І навчально-тематичне-планування для загальноосвітніх навчальних закладів, 378.74kb.
- Програма вступного іспиту до аспірантури та кандидатських екзаменів зі спеціальності, 62.58kb.
- «сучасні методи експрес аналізу органічних речовин» Виконав манжос о. В зміст, 1177.91kb.
Київський національний університет імені Тараса Шевченка
механіко-математичний факультет
кафедра математичної фізики
"ЗАТВЕРДЖУЮ"
Голова вченої ради механіко-математичного факультету
___________________
протокол № ___ від "____" ___________ .
ПРОГРАМА
нормативного курсу “Методи обчислень”
для студентів IV курсу механіко-математичного факультету
(спеціальність - математика)
Програма складена доц.Поповим В.В.
Завідувач кафедри математичної фізики,
професор____________________________ Самойленко В.Г.
Передмова
Методи обчислень - одна з основних математичних дисциплін учбового плану. Мета дисципліни - навчити студентів основам чисельного розв'язування задач алгебри, математичного аналізу та диференціальних рівнянь, тому базою для викладання є ці перелічені курси. Лекційний курс супроводжується практичними заняттями, на яких студенти повинні набути навичок роботи з аппаратом методів обчислень.
В результаті вивчення курсу студенти повинні:
- оволодіти теоретичними основами методів обчислень;
- навчитись застосовувати методи обчислень до розв'язування конкретних задач;
- познайомитись з напрямами методів обчислень у зв'язку з використанням сучасної обчислювальної техніки.
1. Вступ.
Основний метод обчислювальної математики, його теоретичне обгрунтування. Чисельне розв'язування рівнянь і систем рівнянь. Класифікація похибок, дії з наближеними величинами. Правило Рунге.
- Розв'язування систем рівнянь.
Метод Гауса (схема оптимального виключення), метод квадратного кореня, метод ортогоналізації, метод спряжених градієнтів, метод прогонки та теорема про його коректність. Ітераційні уточнення в прямих методах. Вплив похибок вхідних даних на розв'язок систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Обумовленність систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Поняття про методи регулярізації розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Ітераційні методи. Принцип побудови ітераційних процесів. Стаціонарні, нестаціонарні, однокрокові і багатокрокові ітераційні процеси. Метод простої ітерації і метод Зейделя для систем лінійних алгебраїчних рівнянь, умови збіжності та оцінки похибок цих методів. Метод простої ітерації і метод Ньютона для нелінійних систем рівнянь. Випадок одного нелінійного рівняння.
3. Знаходження власних значень і власних векторів матриць.
Повна і часткова проблема власних значень. Метод обертань розв'язання повної проблеми власних значень для симетричних матриць. Степеневі ітераційні методи розв'язування повної (часткової) проблеми власних значень.
4. Основні задачі і методи теорії наближень.
Поняття про найкраще рівномірне наближення неперервних функцій алгебраїчними многочленами. Системи Чебишева, пряме інтерполювання, єдність інтерполяційного поліному. Інтерполяційний поліном в формі Лагранжа. Похибка інтерполяційного поліному. Інтерполяційний поліном в формі Ньютона. Мінімізація залишка інтерполювання. Інтерполювання при рівновіддалених вузлах. Інтерполювання з допомогою сплайнів. Побудова інтерполяційних многочленів для лінійних операторів. Про знаходження залишкового члена. Чисельне диференціювання. Про некоректність чисельного диференціювання. Побудова інтерполяційних формул чисельного інтегрування, оцінки похибок цих формул (випадок фіксованих вузлів, випадок довільних ваг, вузлів, випадок фіксованих крайніх вузлів і вагових функцій). Задача про оптимальний розподіл вузлів інтегрування. Поняття про метод Монте-Карло. Математичні методи обробки результатів спостережень. Середньоквадратичне наближення функцій, заданих таблицею. Диференціювання емпіричних функцій (метод найменших квадратів, метод регулярізації).
5. Чисельні методи розв'язування задач для звичайних диференціальних рівнянь.
Методи типу Рунге-Кутта розв'язування задачі Коші, апріорна мажорантна оцінка методу, вибір довжини кроку. Степеневий метод розв'язування задачі Коші. Різницеві методи розв'язування задачі Коші ( методи типу Адамса - екстраполяційні та інтерполяційні ). Метод редукції розв'язування крайових задач до задачі Коші. Поняття методу скінчених різниць. Апроксимація, коректність та збіжність різницевих схем. Методи побудови різницевих схем. Застосування методу скінчених різниць до розв'язування крайової задачі для звичайних диференціальних рівнянь. Принцип максимуму. Теореми про коректність першої та третьої крайових задач. Метод моментів для нестаціонарних задач. Метод Гальоркіна. Зв'язок крайових та варіаційних задач. Неоднорідний квадратичний функціонал. Мінімізуюча послідовність та її збіжність. Метод найменших квадратів, його застосування до звичайних диференціальних рівнянь. Енергетичний метод (метод Ритца) і його застосування до еліптичного рівняння і звичайних диференціальних рівнянь. Знаходження власних чисел і власних функцій. Максимально-мінімальний принцип та його застосування до знаходження власних чисел і власних функцій. Варіаційно-різницевий метод розв'язування крайових задач для еліптичних рівнянь.
6. Чисельні методи роз'язування задач для рівнянь в частинних похідних.
Різницеві методи розв'язування задач для нестаціонарних рівнянь. Збіжність, оцінка похибки. Застосування різницевих методів для розв'язування задач переносу маси. Застосування різницевих методів для розв'язування задач теплопровідності, явні та неявні різницеві схеми, різницеві схеми Кранка-Ніколсона, підвищенної точності. Економні методи, метод змінних напрямків (нестаціонарні та стаціонарні задачі). Метод Р-перетворень. Метод прямих. Поняття про метод інтегральних співвідношень. Застосування різницевих методів для розв'язування крайових задач еліптичного типу. Застосування різницевих методів для розв'язування крайових задач гіперболічного типу. Поняття про метод граничних інтегральних рівнянь. Використання методу граничних інтегральних рівнянь для розв’язування крайових задач теорії гармонічних функцій.
7. Методи розв'язування інтегральних рівнянь.
Рівняння Фредгольма другого роду. Метод механічних квадратур. Метод заміни ядра виродженим. Рівняння Вольтерра.
ОСНОВНА Л І Т Е Р А Т У Р А
- Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.И.. Численные методы.–1977.
- Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т.1,2.– 1966.
- Гавурин М.К. Лекции по методам вычислний.– 1971.
- Калиткин Н.Н. Численные методы. – 1978
- Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы, т.1.2. –1977.
- Ляшко И.И., Макаров В.Л., Скоробагатько А.А.. Методы вычислений.–1977.
- Марчук Г.И.. Методы вычислительной математики.– 1977.
- Самарский А.А. Введение в численные методы.–, 1984.
ДОДАТКОВА ЛІТЕРАТУРА
- Бабенко К.И. Основы численного анализа. –1986.
- Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. –1972.
- Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. –1966.
- Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. –1961.
- Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. –1963.