Тема Логическое строение школьного курса геометрии

Вид материала

Документы

Содержание Лекция 11. Методика изучения координат, векторов и геометрических преобразований в пространстве в школьном курсе стереометрии. Лекция 12. Изучение параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в курсе стереометрии. Вопросы для самопроверки.

Подобный материал:

• Задачи преподавания геометрии в школе. Различные способы построения школьного курса, 75.88kb.
• И философии математики, 768.66kb.
• Вопросы к зачету по геометрии для 4 курса заочного отделения физико-математического, 22.2kb.
• Учебного курса по геометрии для 9-го класса, 1015.27kb.
• Рабочая программа курса «высшая математика (элементы аналитической геометрии и линейной, 67.54kb.
• Программа курса повышения квалификации учителей математики, 15.17kb.
• Урок биологии в 7 классе. Тема: «Внутреннее строение рыб», 112.94kb.
• Тема: Геометрия на службе архитектуры, 341.17kb.
• Рабочая программа учебного курса по геометрии, 10 класс календарно-тематическое планирование, 281.57kb.
• Проблема учителя, 145.02kb.

§ 15. Аксиомы стереометрии и их Введение. Предмет стереометрии

простейшие следствия.

§ 16. Параллельность прямых и гл. I. .…………………………….

плоскостей.

2. Подобрать по два упражнения для учащихся на формирование пространственных представлений на каждом из этапов.
   

Вопросы для самопроверки.

1. Каковы основные задачи изучения курса стереометрии?
   
2. Что составляет содержание школьного курса стереометрии?
   
3. Перечислить основные методические особенности изучения курса стереометрии.
   
4. Что означает выражение «формирование пространственных представлений школьников»?
   
5. Какова схема формирования пространственных представлений на каждом из четырех этапов?
   
6. Какие требования обычно предъявляются и геометрическим чертежам?
   

Литература: 4, 6, 7, 10, 14, 16, 17.


Лекция 10. Задачи на построение в курсе стереометрии.

План.

I. Методика решения задач на воображаемые построения.

II.Построения на проекционном чертеже.

Содержание лекции:

I. Воображаемые построения (В.п.) – формально-логический метод построения в пространстве с отказом от реальных построений с помощью чертежных инструментов, осуществляются как бы мысленно; рисунок, их сопровождающий, носит чисто иллюстративный характер.

С математической точки зрения В.п. рассматриваются как задачи на доказательство существования фигур, определенных некоторым известными условиями. Само доказательство заключается в сведении процесса построения фигур (или их комбинаций) к конечному числу основных построений, которые определяются аксиоматически. При этом решение (доказательство) может сопровождаться, а может не сопровождаться рисунком.

Учитель обращает внимание учащихся на ряд сложностей, возникающих при осуществлении построений в пространстве (нельзя построить плоскость, многогранник и т.д.). Поэтому необходимо точно условиться: что значит выполнить то или иное построение.

Исходя из аксиом стереометрии, можно предположить возможность следующих основных построений в пространстве:

1) Плоскость может быть построена, если заданы следующие элементы, определяющие ее положение в пространстве:

а) прямая и не лежащая на ней точка,

б) две пересекающиеся прямые,

в) две параллельные прямые,

г) три точки, не лежащие на одной прямой.

2) Прямая в пространстве может быть построена как линия пересечения двух плоскостей.

3) Все планиметрические построения выполнимы в пространстве только на некоторой заданной плоскости.

4) Сфера может быть построена, если задано положение ее центра и радиуса R.

Выполнение всех остальных построений сводится к конечному числу основных.

II. На проекционном чертеже точки и прямые задаются вместе со своими проекциями на некоторую плоскость, которую называют основной.

Проекционные чертежи позволяют конструктивным средствами строить точки и линии пересечения изображаемых на нем фигур. Они имеют очень важное значение для развития пространственного воображения школьников.

С проекционными чертежами рекомендуется ознакомить школьников в 10 классе при изучении параллельной проекции ее свойств. Здесь учитель подводит школьников к выводу о том, что фигуры на чертеже могут задаваться ее проекцией на проекционной плоскости.

При чем, если точка или фигура совпадает со своей проекцией, то данная точка или фигура лежит на проекционной плоскости.

Проекционный чертеж может быть иллюстрирован моделью параллелепипеда, где проекционная плоскость – это плоскость нижнего основания, направление проектирования определяется боковыми ребрами, а проекция верхнего основания – нижнее основание (см. рис.)

Основным видом стереометрических задач на построение на проекционном чертеже являются задачи на построение сечений многогранников. В школе рассматриваются два метода построения сечений:

1. метод следов; 2) метод внутреннего проектирования
   

(Иногда используют их комбинацию).

В соответствии с методом следов вначале строится след секущей плоскости на проекционной, а затем последовательно находятся линии пересечения секущей плоскости с гранями многогранника.

Основным минусом этого метода является то, что след секущей плоскости может оказаться удаленным от основной части чертеже, следовательно, приходится уменьшать чертеж, что нежелательно.

Метод внутреннего проектирования основывается на соответствии между точками сечения и точками основания многогранника. Все построения – внутри него, но сложнее объяснить логику построения, да и чертеж загроможден.


Вопросы для самопроверки:

1. Что такое воображаемые построения?
   
2. Как с помощью основных построений в пространстве можно задавать плоскость, прямую, сферу?
   
3. Что понимается под проекционным чертежом?
   
4. Как можно определить, что такое изображение пространственной фигуры на проекционной плоскости?
   
5. Какие методы построения сечений фигур рассматриваются в школе? В чем их суть?
   

Литература: 4, 6, 14, 16.

Дополнительно:

1) «Математика в школе», №5 – 1991, с. 35-40.

Г.И. Саранцев «Обучение решению задач на построение сечений многогранников».

2) Л.М. Лоповок «Изображение фигур в стереометрии»

Преподавание геометрии в 9–10 кл. из серии «Библиотека учителя математики».


Лекция 11. Методика изучения координат, векторов и геометрических преобразований в пространстве в школьном курсе стереометрии.

План.

I. Роль и место материала в курсе стереометрии.

II. Методические особенности его изучения.

Содержание лекции:

Попытки введения более современных, чем традиционный синтетический, методов в курс стереометрии неоднократно предпринимались с конца 19 века в силу следующих соображений:

1. применение более современных методов позволяет существенно упростить и алгоритмизировать решение стереометрических задач и доказательство теорем.
   
2. необходимо было осовременить школьный курс стереометрии, приблизить его к насущным проблемам действительности.
   
3. большая прикладная значимость и многообразие межпредметных связей соответствующих разделов: векторы – в физике, координаты – в алгебре, геометрические преобразования – в картографии.
   

В XX веке были созданы новые курсы геометрии, сориентированные на преимущественное использование алгебраического метода (геометрия Шоке), метода геометрических преобразований – учебное пособие Колмогорова, векторный метод – пособие под ред. Скопеца и др.

Но введение в школу этих учебников не увенчались успехом из-за:

1. отрицательного влияния на развитие пространственных представлений школьников, их геометрической интуиции;
   
2. сложности перехода к новой аксиоматике (векторной или метрической);
   
3. не совсем достаточно удачного методического решения проблемы создания новых учебников, а также неподготовленности учителей к этому переходу.
   

В силу указанных причин авторы действующих в настоящее время учебников попытались найти оптимальное сочетание традиционно-синтетических и более современных подходов. При этом координаты, векторы и преобразования стали рассматриваться скорее как объекты изучения, чем как мощные методы решения задач и доказательства теорем.

Место данной темы в курсе стереометрии может быть различным:

а) В начале курса. При этом существенно облегчаются доказательства многих теорем традиционных разделов.

б) После рассмотрения параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве. Основное применение в темах многогранниках и телах вращения. (Как в учебнике Погорелова и частично в учебнике Атанасяна).

в) В конце курса стереометрии. При этом появляется возможность показа преимущества рассматриваемых методов перед традиционным при решении задач.

Однако, как правило, здесь не хватает времени на вторичное прохождение материала и возникает опасность путаницы в понятиях.

В учебнике А.В.Погорелова реализована следующая схема:


В учебнике Л.С. Атанасяна:


полигон аппарат

векторы координаты преобразования

(движения)

В учебнике Л.С. Атанасяна наименьшее внимание уделено геометрическим преобразованиям, в учебнике А.В. Погорелова – векторам.


II. Материал о координатах, векторах и преобразованиях в стереометрии подчеркнуть повторяет соответствующий планиметрический материал в действующих учебниках. При этом повторение планиметрии затруднено из-за недостатка времени. Следовательно, такое повторение целесообразно осуществлять в процессе ознакомления с соответствующими стереометрическими фактами и их доказательстве.

Например, при выводе формулы расстояния между точками, как в планиметрии, так и в стереометрии строится прямоугольный треугольник и применяется теорема Пифагора.

Таким образом, в стереометрии эти вопросы изучаются аналогично + этап сведения к планиметрическому аналогу. Поэтому можно использовать следующую методическую схему ее вида этой формулы:

1. Актуализация планиметрической формулы и идеи ее вывода.
   
2. При решении стереометрической задачи на интуитивном уровне записывается пространственный аналог.
   
3. Обсуждается возможность переноса идеи вывода планиметрической формулы на стереометрический факт.
   
4. Сведения пространственной конфигурации к плоскостной.
   
5. Осуществление доказательства по составленному плану:
   

а) сведения к планиметрическому анализу;

б) применение планиметрической идеи;

6)Закрепление доказательства в соответствии с известными этапами.

В действующих учебниках рассматриваются по существу только основной аппарат метода координат и векторной алгебры. При этом возможности применения этих методов при решении содержательных стереометрических задач и задач из других разделов весьма незначительны, и это оказывает отрицательное воздействие на осознание сущности данных методов в целом.

Учителю необходимо на материале стереометрии закрепить приобретенные ранее представления о существующих методах и их компонентах на основе использования системы специальных упражнений.

В конце изучения данной темы «Координаты, векторы, преобразования» целесообразно провести спаренный урок-семинар (лучше урок-практикум) по одновременному решению задач всеми методами и их сопоставительному анализу.

При этом отдельным группам учеников может быть предложена задача, которую необходимо решить одним из методов (либо на уроке, либо как домашнее задание). В процессе обсуждения решения со всем классом выделяются критерии применимости того или иного метода в данной ситуации, а также его плюсы и минусы.

На практике при решении содержательных стереометрических задач чаще приходится пользоваться более универсальным координатно-векторным методом.

Его использование наглядно можно увидеть при решении следующей задачи:

В треугольной пирамиде ДАВС плоские углы при вершине Д равны по 90 ⁰. Боковые ребра ДА = 6, ДВ = 8, ДС = 24. точка М равноудалена от всех вершин пирамиды. Найти расстояние ДМ. (Решать самостоятельно).

Задания для самостоятельной работы:

1. Провести сравнительный анализ содержания данного материала по учебникам: а) А.В. Погорелова; б) Л.С. Атанасяна и др.; в) И.М. Смирновой и В.А. Смирнова.
   
2. Составить конспект статьи А.Д. Александрова «Так что же такое вектор?» «Математика в школе», № 5 – 1984г., с.39-46.
   
3. Показать суть координатно-векторного метода при решении задачи:
   
4. В треугольной пирамиде ДАВС плоские углы при вершине Д равны по 90 ⁰. Боковые ребра ДА = 6, ДВ = 8, ДС = 24. точка М равноудалена от всех вершин пирамиды. Найти расстояние ДМ.
   

Вопросы для самопроверки:

1. Чем вызвана необходимость введения новых содержательных линий в школьный курс стереометрии?
   
2. Почему их введение в школьный курс завершилось неудачей?
   
3. Какие схемы изучения координат, векторов и геометрических преобразований реализованы в действующих учебниках?
   
4. Какую методическую схему введения фактов аналитической геометрии в пространстве целесообразно использовать в курсе стереометрии?
   
5. Как осуществить аналогию при изучении данного материала в курсе стереометрии с планиметрией?
   

Лекция 12. Изучение параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в курсе стереометрии.

План.

I. Роль и место данной темы в школьном курсе, цели ее изучения.

II. Содержание материала.

III.Некоторые методические рекомендации по изучению материала о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей.

Содержание лекции:

1. Изучение параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в курсе стереометрии может осуществляться в различной последовательности (сначала перпендикулярность, а затем параллельность и наоборот).
   

В настоящее время их изучение в школе начинается с аффинной ее части – с параллельности. Это дает возможность пораньше познакомить учащихся с изображением пространственных фигур на плоскости, позволяет показать роль аксиом при изложении этого раздела, развивать конструктивные навыки учащихся в процессе решения позиционных задач. Тема играет важную роль в процессе формирования пространственных представлений учащихся, обобщаются известные из планиметрии сведения о параллельности и перпендикулярности прямых. Основная цель изучения – дать учащимся систематические знания о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве.

II. Всю тему «параллельность в пространстве» можно разделить на 4 блока:

1. параллельность прямых в пространстве;
   
2. параллельность прямой и плоскости;
   
3. параллельность плоскостей в пространстве;
   
4. параллельная проекция и ее свойства. Изображение пространственных фигур на плоскости.
   

Для новых трех блоков можно выделить общий план изучения:

1. определение;
   
2. признак;
   
3. вопрос существования и единственности;
   
4. свойства (для параллельных плоскостей).
   

Всю тему «перпендикулярность в пространстве» можно условно разделить на три части:

1. перпендикулярность прямых в пространстве;
   
2. перпендикулярность прямой и плоскости;
   
3. перпендикулярность плоскостей.
   

Содержание темы:

1. перпендикулярность прямых;
   
2. перпендикулярность прямой и плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости; перпендикуляр, наклонная, проекция наклонной на плоскость; расстояние точки до плоскости, теоремы о параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости;
   
3. перпендикулярность плоскостей; теоремы о параллельности и перпендикулярности плоскостей; расстояние от прямой до параллельной ей плоскости; расстояние между параллельными плоскостями.
   

3. 1. При изучении взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве широко используются стереометрический ящик, геометрия «классной комнаты», «подручные» средства (журнал, книга, ручка, мел и т.д.), аналогия с планиметрией.
   

2. При изучении понятий данной темы можно придерживаться следующей методологической схемы:
   

1. формулировка определения учителем;
   
2. иллюстрация понятия на модели куба (параллелепипеда), геометрии «классной комнаты»;
   
3. логический анализ формулировки определения;
   
4. упражнения на распознавание понятия; приведение примеров из окружающей обстановки с соответствующим обоснованием.
   

3. При изучении теорем, выражающих признаки параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей, целесообразно придерживаться такой методической схемы:

1) мотивация изучения признака;

2) раскрытие содержания теоремы на стереометрическом ящике, на реальных объектах;

3) формулировка признака;

4) сообщение идеи доказательства, совместное составление плана доказательства;

5) оформление доказательства в соответствии с принятыми требованиями;

6) показ применимости признака на простейшей модели;

7) закрепление при решении задач.

4. Остановимся на роли задач при изучении вопросов параллельности и перпендикулярности в пространстве.

Сначала, как известно, вводится – определяется перпендикулярность (параллельность), затем рассматривается вопрос о существовании такого расположения, тесно связанный с признаками перпендикулярности (параллельности) и конструктивными задачи, т.е. воображаемыми построениями перпендикулярных (параллельных) прямых и плоскостей. Эти построения весьма разнообразны.

5.Со второй половины темы «перпендикулярность в пространстве» акцент делается уже на практические стереометрические задачи. Это обусловлено тем, что введено понятие перпендикулярности, понятие «расстояние» и рассмотрена теорема о трех перпендикулярах, дающая основную конфигурацию – классический прямоугольный треугольник (перпендикуляр, наклонная, проекция наклонной).

Вопросы для самопроверки.

1. Какова основная цель изучения параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в курсе стереометрии?
   
2. Какие блоки можно выделить в материале о параллельности прямых и плоскостей в пространстве, перпендикулярности прямых и плоскостей.
   
3. Какую методическую схему изучения понятий этой темы можно использовать?
   
4. Какую методическую схему можно предложить для изучения теорем, выражающих признаки параллельности (перпендикулярности) прямых и плоскостей?
   
5. Какие задачи преобладают в учебниках при изучении данной темы?
   

Литература: 4, 6, 7, 14, 16.


Лекция 13. Методика изучения многогранников, фигур вращения в школьном курсе стереометрии.

План.

I. Роль и место данного материала в школьном курсе. Цели его изучения.

II. Содержание материала в действующих учебниках.

III.Методические особенности изучения геометрических тел в школьном курсе.

Содержание лекции:

1. Темы «Многогранники» и «Тела и вращения» являются центральными в курсе стереометрии средней школы.
   

1. В процессе их изучения систематизируются знания учащихся их планиметрии: о многоугольниках, окружностях и круге, вписанном и описанном многоугольниках и их основных свойствах, а также знания о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве из курса стереометрии 10-го класса.
   
2. В процессе изучения многогранников и тел вращения продолжается работа по дальнейшему развитию пространственных представлений и воображение учащихся.
   
3. Знакомство с многогранниками и телами вращения играет важную роль в подготовке учащихся к практической жизни, к труду (например, многие детали машин, приборов, архитектурные сооружения, предметы быта имеют форму тел вращения).
   
4. Дальнейшие развитие получает при изучении этого материала логическое мышление учащихся (вводится много новых понятий, теорем)
   

Основная цель – дать учащимся систематические сведения об основных видах многогранников, познакомить с простейшими телами вращения и их свойствами.

II. Тему «Многогранники» можно разделить на следующие части:

1. Многогранник. Элементы многогранника. Выпуклый многогранник.
   
2. Призмы. Параллелепипеды.
   
3. Пирамиды. Усеченные пирамиды.
   
4. Правильные многогранники.
   
5. Объемы многогранников.
   

Последовательность изложения и место этих вопросов в действующих учебниках А.В. Погорелова и Л.С. Атанасяна (раздел о сечениях.).

Весь круг вопросов по теме «Тела вращения» можно условно разделить на 2 группы:

1. Цилиндр и конус: а) определение, поверхность, симметрия, касательная плоскость, сечение осевое и перпендикулярное оси, вписанные и описанные многогранники; б) объем; в) площадь боковой поверхности.
   
2. Шар и сфера: а) определение, симметрия, сечение, касательная плоскость; б) объем шара; в) площадь сферы.
   

3. Рассмотрим некоторые методические особенности изучения геометрических тел в школьном курсе стереометрии:
   
   1. Изучение данного материала начинается с введения понятия многогранника. Существуют различные подходы к его определению. Чаще многогранник трактуется как ограниченное геометрическое тело с определенными характерными свойствами (Погорелов, Клопский, Скопец; Александров и др.). (Например, в учебнике А.В. Погорелова – многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.)
      

В учебнике Атанасяна многогранник рассматривается как поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Правда, в дальнейшем добавлено, что «тело, ограниченное многогранником, часто называют также многогранником».

Руководясь принципом педагогической целесообразности, понятие многогранника можно вводить без предварительного введения формально-логических определений понятий «геометрического тела», «поверхности», считая их интуитивно ясными для учащихся из их опыта и наглядных представлений.

1. Изложение материала о каждом геометрическом теле осуществляется по единому плану:
   

1. Определение, сопутствующие элементы и некоторые простейшие свойства, вытекающие сразу из определения.
   
2. Через построение изображения тела показывается его существование. (Предупреждать возможные ошибки в изображениях пространственных фигур).
   
3. Рассматриваются сечения многогранника или тела вращения (начинать с наглядных пособий, кодограмм).
   
4. Частные виды, их свойства и классификация (для многогранников).
   
5. Рассмотрение площади поверхности и объема данного тела.
   

3. При изучении большинства вопросов необходима постоянная актуализация ранее изученного материала, широкое использование пространственно-плоскостного аналога.

Например, свойства параллелограмма – свойства параллелепипеда, площадь прямоугольника – объем прямоугольного параллелепипеда и т.д.

4. Широко используются модели геометрических тел и другие средства наглядности. Легко организовать работу учащихся по их изготовлению во внеурочное время. Помимо положительного влияния на усвоение курса математики такая работа содействует развитию творческих способностей учащихся, расширяет кругозор, содействует повышению эффективности урока.

К 11 классу уже нельзя злоупотреблять демонстрацией наглядных пособий.

5. Большинство задач по данным темам – вычислительного характера, решение которых сводится к последовательному решению цикла элементарных планиметрических задач. Активно используются свойства треугольника, четырехугольника, комбинации треугольников с окружностью.

Можно выделить следующие виды задач:

– на нахождение элементов геометрических тел (длин отрезков, углов)

– построение сечений геометрических тел и нахождение площади сечения.

– нахождение площадей поверхностей и объемов многогранников и тел вращения.

6. Наиболее сложным является материал (задачи) о комбинациях многогранников и тел вращения. Теоретический материал в основном рассматриваются на наглядно-интуитивном уровне, не ставится задача обучения школьников построению изображения комбинаций. Поэтому необходимо больше использовать готовые чертежи той или иной комбинации и соответствующие модели. На основе их анализа учащиеся должны уметь выделять необходимые для решения сечения данной комбинации и строить их на «выносном» чертеже. Часто вместо комбинаций геометрических тел получаем на таком чертеже известные планиметрические комбинации (треугольник вписанный или описанный около окружности, прямоугольник вписанный или описанный около окружности и т.д.)
   

Вопросы для самопроверки.

1. Какова роль материала о геометрических телах в школьном курсе геометрии?
   
2. Основная цель изучения этого материала.
   
3. Какие вопросы рассматриваются в действующих школьных учебниках?
   
4. Какие подходы к определению понятия «многогранник» можно выделить?
   
5. По какому единому плану осуществляется изложение материала о каждом геометрическом теле?
   
6. Выделить основные виды задач, имеющиеся в школьных учебниках по данной теме?
   

Литература: 4, 6, 7, 14, 16, 17.