Метод решения функциональных уравнений
Вид материала | Документы |
СодержаниеПоказательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и неравенства. |
- Практических: 0 Лабораторных:, 21.53kb.
- Линейных алгебраических уравнений ax=B, где, 66.22kb.
- Лекция 1, 259.64kb.
- Метод касательных гиперплоскостей для решения систем нелинейных алгебраических уравнений, 25.48kb.
- Лекция № Тема 1: Системы линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса решения систем, 50.61kb.
- Расшифровка : Наука в целом (информационные технологии 004), 79.71kb.
- Точные решения некоторых нелинейных эволюционных уравнений, встречающихся при описании, 28.05kb.
- Методические рекомендации к проведению урока: «Методы решения уравнений и неравенств., 15.21kb.
- Решение систем нелинейных алгебраических уравнений, 20.84kb.
- Защита изображений на основе решения систем диофантовых уравнений и неравенств, 31.25kb.
Метод решения функциональных уравнений.
Теоретический материал.
Методы решения функциональных уравнений основаны на следующих теоремах:
Теорема 1. Корни уравнения


Теорема 2. Если




Следствие 1. Если функция




Следствие 2. Если функция



Теорема 3. Если




Следствие 3. Если функция




Следствие 4. Если функция




Теорема 4. Если




Следствие 5. Если




Теорема 5. Если четная функция








Задачи и решения.
Алгебраические уравнения и системы.
Решите систему уравнений:
Решение: Перепишем уравнение в виде















Ответ:

- На самостоятельное решение. Решите систему уравнений:
. Ответ: решения нет.
- На самостоятельное решение. Решите систему уравнений:
. Ответ: (0; 0; 0),
.
- Решите уравнение
Решение: Пусть














- (2x+1)(2+
)+3x(2+
)=0
Введем f(x) = x(2+

f(2x +1)+ f(3x)=0
f(x) – нечетная функция, f(2x +1)= –f(3x) <=> f(2x+1)= f(–3x)
Далее, при x


В силу нечетности функция f(x) возрастает при x < 0 => f(x) – возрастает для всех х.
f(2x+1)= f(–3x)
2x+1= –3x
5x= –1
x= –


Решение:
Замечаем, что х = 1 — корень уравнения.
Функция у =



Поступим по-другому. Найдем производные функций:
у1 =


и вычислим их в точке х = 1 (в точке пересечения графиков этих функций). Имеем:




Так как


Итак, х = 1 - единственный корень уравнения.

Показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и неравенства.
- Решите систему уравнений:
Решение: Из первого уравнения системы получим уравнение










Ответ: (2, 2), (-2, -2).
- Решите уравнение:
.
Решение: Обозначим














Ответ:

- На самостоятельное решение. Решите уравнение:
.
Ответ:

- На самостоятельное решение. Решите уравнение:
.
Ответ:

- Решите уравнение:
.
Решение: Обозначим







Ответ:

Задачи с параметрами на применение функционального метода.
- Найдите все a, при которых уравнение

Решение:
- Если x0 – корень уравнения , то и
- корень.
Он один, когда x0 =


х = 1:



x = –1


• Проверим:

Пусть x = tg







f1 (t) будем рассматривать как суперпозицию функций
g(u)=cosu при изменении

- для t




f(t) совершает колебания от (–1) до (1), при этом

- для t



u(t)= sint
График функции


f2 (t) сначала возрастает от f2 (– π) = 0 до




Значит уравнение (**) имеет более одного корня при t



• Проверим:



При t



a функция



(***) <=>




Ответ:

- Решить систему уравнений

Решение:
Вычтем из первого уравнения второе. Получим

Рассмотрим функцию f(t)=





Очевидно, что

Ответ: Если


Если а < b + 1, то решений нет.
3. При каких а уравнение

Решение:
Возможно, присутствие в данном уравнении повторяющихся выражений (имеется в виду
|х - а|, х2 - 2х ) послужит подсказкой для следующих преобразований:


Это уравнение следует «прочесть» так: левая и правая части — значения возрастающей функции y=2tlog3t соответственно при



(x -1)2=2|x - a|.
Последнее уравнение должно иметь три корня. Искомое значение параметра можно получить, проведя дальнейшее исследование аналитически. Однако графический подход приведет к результату много быстрее. Поэтому мы прервем решение этой задачи и вернемся к нему в § 3.