Geum.ru

М. К. Аммосова институт математики и информатики рабочая программа

Вид материалаРабочая программа

Содержание


Рабочая программа утверждена на заседании кафедры алгебры и геометрии
Выписка из учебного плана
Распределение часов по семестрам
Недельная нагрузка по семестрам
Требования стандарта (опд.ф.04)
2. Принципы и цели
2.2. Цели курса
4. Требования к студенту по разделам курса
Введение в теорию групп.
7. Контролирующие материалы
Подобный материал:

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ЯКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ. М.К. АММОСОВА


ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ


РАБОЧАЯ ПРОГРАММА


курса

«Геометрия и алгебра»

(наименование курса)


Для государственных университетов

Направление 510200 - прикладная математика и информатика


(шифр, название)


Степень - бакалавр прикладной математики и информатики


Якутск 2002

Составители: доцент Дмитриев И.Г.

(уч. ст., уч. зв., должн., ФИО)


Рабочая программа утверждена на заседании кафедры алгебры и геометрии


“ “ _________________ 2002 г. протокол № _____

Зав. кафедрой:


Рабочая программа утверждена на заседании методкомиссии ИМиИ

“ “ _________________ 2002 г. протокол № _____


Председатель методкомиссии ИМиИ:


Рабочая программа утверждена на заседании научно – методического совета ЯГУ “ “ _________________ 2002 г. протокол № _____


Председатель научно – методического совета ЯГУ:


Выписка из учебного плана

Объем работы студентов (в часах) из учебного плана направления 510200 - прикладная математика и информатика составляет 357 часов, в том числе:

- лекций - 123;

- аудиторных занятий - 246;

- практических занятий - 18;

- лабораторных занятий - 105;

- СРС - 111.


Распределение часов по семестрам


Вид занятий
Семестры

Всего

I (18 нед)
II (17 нед.)
III (18 нед.)

Аудиторные









246

Лекционные
54
51
18
123

Практич, лабор.
54
51
18
123

СРС
37
37
37
111

Итого
145
139
73
357

Форма контроля
Экзамен
Экзамен

Экзамен





Недельная нагрузка по семестрам


Вид занятий
Семестры

I
II
III

Аудиторные

6
6
2

Лекционные

3
3
1

Практические

3
3
1



ТРЕБОВАНИЯ СТАНДАРТА (ОПД.Ф.04)


Бакалавр математики отвечает следующим требованиям:
    1. Имеет целостное представление о процессах и явлениях, происходящих в неживой и живой природе, понимает возможности современных научных методов познания природы и владеет ими на уровне, необходимом для решения задач, имеющих естественнонаучное содержание и возникающих при выполнении профессиональных функций;
    2. Способен продолжить обучение в магистратуре и по специальности, в соответствии с п.1.3., вести профессиональную деятельность в иноязычной среде (требование рассчитано на реализацию в полном объеме через 10 лет);
    3. Владеет культурой мышления, знает его общие законы, способен в письменной и устной речи правильно (логически) оформить его результаты;
    4. Умеет на научной основе организовать свой труд, владеет компьютерными методами сбора, хранения и обработки (редактирования) информации, применяемые в сфере его профессиональной деятельности;
    5. Способен в условиях развития науки и изменяющейся социальной практики к переоценке накопленного опыта, анализу своих возможностей, умеет приобретать новые знания, обучаться в магистратуре, использовать другие формы обучения, включая самостоятельные и информационно образовательные технологии;
    6. Понимает сущность и социальную значимость своей будущей профессии, основные проблемы дисциплин, определяющих конкретную область его деятельности, видит их взаимосвязь в целостной системе знаний;
    7. Способен к проектной деятельности в профессиональной сфере на основе системного подхода, умеет строить и использовать модели для описания и прогнозирования различных явлений, осуществлять их качественный и количественный анализ;
    8. Способен поставить цель и сформулировать задачи, связанные с реализацией профессиональных функций, умеет использовать для их решения методы изученных им наук;
    9. Готов к кооперации с коллегами и работе в коллективе, знаком с методами управления, умеет организовать работу исполнителей, находить и принимать управленческие решения в условиях различных мнений, знает основы педагогической деятельности;
    10. Методических и психологически готов к изменению вида и характера своей профессиональной деятельности, работе над междисциплинарными проектами;
    11. Способен к совершенствованию своей профессиональной деятельности в области математики.



2. ПРИНЦИПЫ И ЦЕЛИ


2.1. Принципы построения курса


2.1.1. Рабочая программа соответствует Государственному

образовательному стандарту по направлению 510200 - прикладная

математика и информатика;

2.1.2. В рабочей программе выделяется ядро курса (прямая и плоскость, векторная алгебра, основные понятия алгебры);

2.1.3. Курс имеет и практическую и лекционную направленности;

2.1.4. Программа предполагает индуктивное построение курса;


2.2. Цели курса


2.2.1. Формирование у студента прочных знаний по основам теории

квадратичных форм, линейных пространств, линейных преобразований

линейных пространств;

2.2.2. Выработка у студента практических навыков приведения квадратичных

форм к каноническому виду, к главным осям, приведения -матриц к

каноническому виду, нахождения жордановой формы матрицы,

нахождения собственных векторов, ортогонализация системы векторов;

2.2.3. Применения методов алгебры и геометрии в задачах дифференциальной

геометрии, топологии, функционального анализа, теоретической

механики;

2.2.4. Воспитание у студента культуры мышления;

2.2.5. Развитие у студента математической культуры и интуиции;

2.2.6. Прививание студенту навыков работы с научной и методической литературой.


4. ТРЕБОВАНИЯ К СТУДЕНТУ ПО РАЗДЕЛАМ КУРСА


Анал. геометрия на плоскости и в пространстве.

Матрицы и системы линейных уравнений. Определители.

Студент должен знать:
  • Различные уравнения прямой на плоскости.
  • Элементы векторной алгебры.
  • Основные теоремы, определения о матрицах.
  • Виды определителей.

Студент должен уметь:
  • Решать задачи на нахождение уравнения прямой.
  • Решать задачи на скалярное, векторное, смешанное произведения векторов.
  • Производить операции над матрицами, системой линейных уравнений.
  • Вычислять определители.


Классификация линий и поверхностей второго порядка.

Линейные и Евклидовы пространства

Студент должен знать:
  • Классификацию линий и поверхностей второго порядка.
  • Определение линейного пространства.
  • Определение евклидова пространства.

Студент должен уметь:

- Решать задачи и определять виды поверхностей.
  • Производить операции над векторами, находить ортогональное дополнение подпространств, собственный ортонормированный базис, приводить квадратичные формы к главным осям, находить преобразование для пары форм (одна из которых положительно определена), приводящее одну из них к каноническому, а другую к нормальному виду.
  • Определять, является ли данное преобразование ортогональным или симметрическим.



Введение в теорию групп.

Студент должен знать:

- Разложение группы на сложные классы по подгруппе.

- Теорема Кэли;

- Группы преобразований.

- Иметь представление о конечных абелевых группах и их структуре.

Студент должен уметь:

- Разлагать группы на сложные классы по подгруппе;

- Находить фактор - группы группы преобразований, группу правильных

многогранников;

  1. ЛИТЕРАТУРА


Основная литература:

  1. П.С. Моденов "Аналитическая геометрия" М., 1964 г.
  2. С.В. Бахвалов, Л.И. Бабушкин, В.П. Иваницкая "Аналитическая геометрия" М., "Просвещение", 1974 г.
  3. П.С. Александров "Курс анал. геометрии и линейной алгебры" М., "Наука", 1979 г.
  4. А.Г. Курош "Курс высшей алгебры". М., "Наука", 1968 г.
  5. Л.А. Скорняков "Элементы алгебры". М.,"Наука", 1986 г.
  6. И.В. Проскуряков "Сборник задач по линейной алгебре"


Дополнительная литература:

  1. М.М. Глухов, А.С. Солодовников Задачник-практикум по высшей алгебре. М.: Просвещение, 1969 г.
  2. П.С. Моденов, А.С. Пархоменко "Сборник задач по аналитической геометрии", М., "Наука", 1976 г.
  3. Д.В. Клетеник "Сборник задач по аналитической геометрии", М., Физмат литература, 1963 г.
  4. О.Н. Цубербиллер "Задачи и упражнения по аналитической геометрии", М., "Наука", 1964 г.



7. КОНТРОЛИРУЮЩИЕ МАТЕРИАЛЫ

  1. Экзаменационные вопросы

1 семестр
  1. Перестановки. Число различных перестановок из n символов. Транспозиция в перестановках. Теорема об упорядочении всех перестановок из n символов. Инверсия. Число инверсий перестановки. Четные и нечетные перестановки. Теорема об изменении четности перестановки. Число четных и нечетных перестановок.
  2. Определение подстановки как отображение. Способы задания подстановки. Число различных подстановок n-ой степени. Четные и нечетные подстановки и их количество. Умножение подстановок и его свойства. Понятие транспозиции в подстановках. Теорема о представимости подстановки в виде произведения транспозиций. Разложение подстановок в произведение попарно независимых циклов и его единственность.
  3. Системы линейных уравнений. Совместные (определенные и неопределенные) и несовместные системы. Преобразование систем. Равносильные (эквивалентные) системы. Метод Гаусса.
  4. Определители 2-го и 3-го порядков. Их определения из практических задач и применения.
  5. Обобщение понятия определителей 2-го и 3-го порядков на общий случай. Свойства определителей n-го порядка.
  6. Миноры и их алгебраические дополнения. Лемма о произведении минора на его алгебраическое дополнение. Разложение определителя по строке или по столбцу. Теорема Лапласа. Правило Крамера.
  7. Основные методы вычисления определителей.
  8. Определение n-мерного векторного простарнства. Операции над n-мерными векторами и их основные свойства.
  9. Аксиоматическое определение линейного пространства как обобщение векторного. Изоморфизм линейных пространств.
  10. Два определения линейной зависимости и независимости системы векторов произвольного линейного пространства и их равносильность. Некоторые свойства линейной зависимости и независимости системы векторов.
  11. Теорема о линейной зависимости системы n- мерных векторов, содержащей более чем n векторов.
  12. Линейная выражаемость одной системы векторов через другую. Эквивалентные системы векторов. Основная теорема о них. Следствие. База и ранг системы векторов.
  13. Конечномерные линейные пространства. Их базы. Теорема об изоморфизме n- мерного линейного пространства к n- мерному векторному пространству. Выводы.
  14. Три определения ранга матрицы. Теорема о ранге матрицы. Метод окаймления миноров (следствие 1). Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя (следствие 2). Элементарные преобразования матриц. Теорема. Второй метод вычисления ранга матрицы.
  15. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных уравнений. Критерий определенности совместной системы линейных уравнений.
  16. Системы линейных однородных уравнений и их пространство решений. Метод построения фундаментальной системы решений (базы пространства решений) системы линейных однородных уравнений. Связь между решениями неоднородных и однородных систем линейных уравнений.
  17. Умножение матриц. Свойства умножения квадратных матриц. Теорема об определителе произведения матриц
  18. Обратная матрица. Необходимое условие существования обратной матрицы. Теорема существования и единственности обратной матрицы для невырожденных матриц. Два метода нахождения обратной матрицы. Решения матричных уравнений.
  19. Поле комплексных чисел. Геометрическое представление комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексных чисел. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Сопряженные комплексные числа и утверждения о них. Формула Муавра. Сопряженные комплексные числа и утверждения о них. Извлечение корня из комплексных чисел. Корни из единицы.
  20. Кольцо многочленов. Алгоритм деления с остатком. Теорема Безу. Схема Горнера. Корни многочленов.
  21. Система координат. Декартова и полярная системы координат на плоскости.
  22. Деление отрезка в данном отношении.
  23. Необходимое и достаточное условие того, что точки лежат на одной прямой. Площадь треугольника на плоскости.
  24. Координаты вектора на плоскости. Расстояние между точками на плоскости.
  25. Векторы и линейные операции над ними. Скалярное произведение векторов и его свойства.
  26. Скалярное произведение в координатах. Угол между векторами на плоскости. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов.
  27. Общее уравнение прямой на плоскости. Теорема.
  28. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Направляющий вектор прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
  29. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
  30. Уравнение прямой в отрезках.
  31. Расстояние от точки до прямой.
  32. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Условие параллельности.
  33. Условие перпендикулярности двух прямых на плоскости.
  34. Угол между двумя прямыми на плоскости.
  35. Составление уравнений геометрических мест точек. Уравнение окружности.
  36. Каноническое уравнение эллипса. Эксцентриситет и директриса эллипса.
  37. Диаметр эллипса. Сопряженные диаметры.
  38. Касательная к эллипсу, заданному каноническим уравнением.
  39. Каноническое уравнение гиперболы. Эксцентриситет и директриса гиперболы.
  40. Диаметр гиперболы. Сопряженные диаметры.
  41. Касательная к гиперболе, заданной каноническим уравнением.
  42. Каноническое уравнение параболы. Директриса параболы.
  43. Касательная к параболе, заданной каноническим уравнением.
  44. Векторы в пространстве. Скалярное произведение векторов в пространстве и его свойства.
  45. Скалярное произведение векторов в координатах. Угол между векторами в пространстве. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности
  46. Векторное произведение в координатах.



2 семестр
  1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами и их алгебраические свойства. Алгоритм деления с остатком. Свойства делимости многочленов.
  2. НОД многочленов. Алгоритм Евклида. Зависимость между данными многочленами и их НОД. Теоремы о взаимно простых многочленах.
  3. Корни многочленов. Теорема Безу. Следствие.
  4. Схема Горнера. Кратные корни. Теорема о них.
  5. Формулировка основной теоремы алгебры комплексных чисел. Следствие основной теоремы о числе корней многочлена. Следствие теоремы о тождественном равенстве двух многочленов.
  6. Интерполяционная формула Лагранжа. Формулы Виета.
  7. Неприводимые многочлены над полем комплексных, действительных и рациональных чисел. Утверждения о них, как следствия из основной теоремы.
  8. Алгоритм поиска всех рациональных корней многочлена над полем рациональных чисел.
  9. Квадратичные формы. Матричная запись квадратичной формы. Невырожденные линейные преобразования неизвестных. Ранг квадратичной формы.
  10. Канонический вид квадратичной формы. Основная теорема о квадратичных формах.
  11. Нормальный вид квадратичной формы. Закон инерции. Переход от одной квадратичной формы к другой с помощью некоторого невырожденного линейного преобразования. Практический способ нахождения этого перехода.
  12. Распадающиеся квадратичные формы. Теоремы о них.
  13. Положительно определенные квадратичные формы. Теорема и критерий о них.
  14. Аксиоматическое определение линейного пространства. Следствия из аксиом. Примеры линейных пространств. Определение изоморфизма линейных пространств.
  15. Конечномерные линейные пространства. Базы. Теорема об изоморфизме линейного пространства и n-мерного векторного пространства.
  16. Связь между базами. Преобразование координат вектора при переходе к другой базе.
  17. Линейные подпространства линейного пространства. Критерий линейного подпространства.
  18. Подпространства, порожденные системой векторов. Их база. Существование линейных подпространств любой размерности от 0 до n, где n – размерность самого пространства.
  19. Сумма и пересечение линейных подпространств. Практический способ нахождения их баз и размерностей. Прямая сумма подпространств. Теорема о ней.
  20. Аксиоматическое определение евклидова пространства. Теорема о превращении любого линейного пространства в евклидово.
  21. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации.
  22. Ортогональные и ортонормированные базы в евклидовом пространстве. Изоморфизм евклидовых пространств.
  23. Ортогональное дополнение линейного подпространства. Утверждения о них. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора относительно подпространства.
  24. Линейные преобразования произвольных пространств. Свойства линейного преобразования. Примеры. Теорема об однозначном определении линейного преобразования образами базовых векторов.
  25. Матрица линейного преобразования. Формула нахождения координат образа вектора при линейном преобразовании.
  26. Связь между матрицами линейного преобразования в разных базах.
  27. Область значения и ядро линейного преобразования. Утверждение об их размерностях.
  28. Характеристические матрицы, характеристические многочлены и характеристические корни числовых матриц.
  29. Собственные векторы и собственные значения линейных преобразований. Теорема.
  30. Утверждение о системе собственных векторов, относящихся к различным собственным значениям.
  31. База, состоящая из собственных векторов и матрица линейного преобразования относительно такой базы.
  32. Ортогональные матрицы. Утверждения о них.
  33. Центр, диаметры, асимптоты, касательные, оси линии второго порядка.
  34. Инварианты линии второго порядка, заданной относительно декартовой прямоугольной системы координат.
  35. Инварианты линии второго порядка, заданной относительно аффинной системы координат.
  36. Определение вида и расположение эллипса, заданного общим уравнением.
  37. Определение вида и расположение гиперболы, заданной общим уравнением.
  38. Определение вида и расположение параболы, заданной общим уравнением.
  39. Ортогональные и аффинные преобразования плоскости, их свойства.
  40. Поверхности и линии в пространстве. Сфера, конусы, цилиндры второго порядка.
  41. Поверхности и линии в пространстве. Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды.
  42. Центр поверхности, диаметральная плоскость, касательная плоскость, прямолинейные образующие, круговые сечения, диаметр.
  43. Инварианты поверхности второго порядка, заданной относительно декартовой прямоугольной системы координат.
  44. Определение вида и расположение эллипсоида, заданного общим уравнением.
  45. Определение вида и расположение однополостного гиперболоида, заданного общим уравнением.
  46. Определение вида и расположение двуполостного гиперболоида, заданного общим уравнением.
  47. Определение вида и расположение конуса, заданного общим уравнением.
  48. Определение вида и расположение эллиптического параболоида, заданного общим уравнением.
  49. Определение вида и расположение гиперболического параболоида, заданного общим уравнением.
  50. Определение вида и расположение эллиптического цилиндра, заданного общим уравнением.
  51. Определение вида и расположение гиперболического цилиндра, заданного общим уравнением.
  52. Инварианты кривых второго порядка на сечении поверхностей второго порядка плоскостями.
  53. Ортогональные и аффинные преобразования пространства.