Предмет «Теорія ймовірностей І математична статистика»

Вид материала

Документы

Содержание Неможлива (невозможная ) Єдиноможливі (единовозможные) Сумою (об’єднанням) Добутком (_перетином ) Об’ємом сукупності Умовною ймовірністю Випадковою називається Дискретною випадковою

Подобный материал:

• Робоча навчальна програма з дисципліни "Теорія ймовірностей І математична статистика", 234.52kb.
• За переліком дисциплін програми підготовки бакалаврів з економіки підприємства дисципліна, 92.49kb.
• Назва модуля: Теорія ймовірностей та математична статистика. Код модуля, 16.22kb.
• “Теорія ймовірностей та математичній статистиці”, 64.14kb.
• Назва модуля: Математична логіка І теорія алгоритмів Код модуля, 34.75kb.
• Список літератури, яка надійшла до бібліотеки у IV кварталі 2009 року 2 Природничі, 595.72kb.
• Програма кредитного модуля "Математична статистика" для напрямів підготовки (спеціальностей), 476.21kb.
• За переліком дисциплін програми підготовки бакалаврів з економіки підприємства дисципліна, 137kb.
• Назва модуля: Імітаційне моделювання Код модуля, 20.82kb.
• 1. Статистичне спостереження, 316.1kb.

Предмет « Теорія ймовірностей і математична статистика»

Одним з основних понять теорії ймовірності є випадок. Тому не дивно, що теорія ймовірності виникла як наука, що аналізує азартні ігри, вже потім стала наукою про випадкові події. Задачі математичної статистики зводяться до розробки методів збирання та обробки статичних даних будь-яких явищ, процесів суспільного та виробничого характеру.

§1 Основні елементи комбінаторики

1.Розміщення. Нехай маємо множину, яка містить n елементів. Кожну його упорядковану підмножину, яка складається із k елементів, переважають розміщенням з n елементів по k елементів _

2. Перестановки. Розміщення із n елементів по n елементів називають перестановками з n елементів. Тобто, різні перестановки відрізняються одна від іншої тільки порядком елементів. _

3.Сполуками з n елементів по k елементів називають k-елементні підмножини n-елементної множини, при цьому різними підмножинами вважають тільки ті, котрі мають різний склад елементів. _

§2 Випадкові події і дії над ними

2.1 Події. Простір подій

Результат спостереження чи досліду називаємо подіями і позначаємо великими буквами латинського алфавіту А,В,С…

Події бувають:

• Вірогідні ( достоверные ) – це подія, яка за даних умов обов’язково станеться в даному досліді. Наприклад: за середою йде четвер.

• Неможлива (невозможная ) – це подія, яка при виконанні даних умов не може відбутися. Наприклад: сонце зійде на півдні.

• Випадкова ( случайная ) – це подія, яка при виконанні даних умов може відбутися, а може не відбутися. Наприклад: у погану погоду відліт літака за розкладом.

Випадкові події відрізняються за типами:

• Несумісні – якщо поява однієї з них виключає появу іншої в даному досліді. Наприклад: -випадіння герба виключає появу цифри в одному досліду.

• Рівноможливі ( равновозможные ) – якщо при виконанні даних умов однакова вірогідність (достоверность) появи подій А і В.


• Єдиноможливі (единовозможные) - якщо поява тільки однієї з них є вірогідною подією. Наприклад: появи герба чи цифри є єдиноможливими. Множина єдиноможливих подій має назву повної групи. Або - повною групою є сукупність подій,серед яких є хоч би одна вірогідна.

Подія А, називається протилежною події _, якщо ці події єдино можливі і утворюють повну групу.

Будь-яка сукупність подій,що складається з несумісних, рівноможливих,єдино можливих (що утворюють повну групу) називається простором елементарних подій.

2.2 Дії над подіями

Сумою (об’єднанням) двох подій А і В називають подію С,яка означає,що відбудуться події А,або обидві події в одному досліді і записують так:



Добутком (_перетином ) подій А і В називають подію С, яка полягає в тому що події А і В можуть відбуватися(з’явитися)одночасно:



Якщо, _- неможлива подія;

_- вірогідна,

Тоді для двох протилежних подій А та _маємо:

_{ }

§ 3.Ймовірність подій

(Вероятность событий)

Ймовірністю події А називається кількісна оцінка можливості появи події А і позначається Р(А). Тут можуть бути такі випадки:

Ми маємо або не маємо змоги провести дослід. Коли маємо – ймовірність має назву статистичної (Р * (А)) - не маємо – класичної(Р (А)).

Нехай провели n дослідів, у яких m раз відбулася подія А.Тоді статистичною ймовірністю Р *(А) події А називається відношення числа дослідів, за яких відбулась подія А, до загального числа всіх дослідів:

_.

У дослідах статистична ймовірність коливається близько якогось сталого числа, змінюючись мало, причому тим менше,чим більше проведено дослідів. Якщо це число від досліду до досліду мало змінюється ,то



Наприклад, французький природознавець Ж.Бюффон кинув монету 4040 разів.Герб випав 2048 р.



Англійський математик Пірсон кидав монету 24000 разів. Герб випав 12012 р.



Класична ймовірність випадання герба



3.1. Зв'язок між статистичною і класичною ймовірностями.

Нехай проведено серію дослідів і визначено _ де _ загальне число дослідів, _ -число дослідів у якій поява події А спостерігалася. Проведено також серію _ дослідів,у яких подія А спостерігалася _ разів.Тоді можна визначити _{ }. Продовжуючи серію дослідів,можна побудувати послідовність



Якщо існує її границя,то вона дорівнює класичній ймовірності:



3.2. Генеральна сукупність та вибірки.

Припустимо, що цех виписує 1000 авторучок за день. Треба з’ясувати якість цієї продукції. Для цього досить оцінити,наприклад,100 штук,так як тут розглядаються однорідні об’єкти однієї природи.

• сукупність об’єктів однієї природи в математичній статистиці називається генеральною сукупністю.

• вибірковою сукупністю або вибіркою називається найменше число випадково вибраних об’єктів з генеральної сукупності, що забезпечує подання її властивостей. В цьому особливість методів мат. статистики: по вузько обстеженому окремому факту, явищу процесу зробити правильний висновок про явище, процес у цілому.

Об’ємом сукупності (вибіркової чи генеральної) називається число об’єктів цієї сукупності. Вибірна називається представницькою, якщо:

1)кожний елемент генеральної сукупності має однакову ймовірність потрапити у вибірку.

2) усі об’єкти,що попали у вибірку мають однакову ймовірність, тобто вибрані випадково.

3.3. Властивості класичної ймовірності.

1. Якщо подія А має ймовірність Р(А), то протилежна подія має ймовірність <sub>

</sub>.

2. Ймовірність неможливої події дорівнює нулю:

_.

3. Ймовірність вірогідної події дорівнює одиниці:

_.

4. Ймовірність випадкової події А є число, що належить сегменту [ 0 ;1]

3.4. Теорема про додавання ймовірностей подій.

1] Теорема. Якщо події _- несумісні,то

_.

- ймовірність суми несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей кожної події.

Наслідок. Нехай події _ - несумісні і одна з них вірогідна,тобто вони утворюють повну групу; тоді _ і _.

Сума ймовірностей несумісних подій, що утворюють повну групу,дорівнює одиниці.

2] Теорема про додавання двох будь – яких ( або сумісних) подій.

- Ймовірність суми двох будь-яких подій дорівнює сумі ймовірностей кожної з них без імовірності добутку їх



3.5. Теорема множення ймовірностей будь-яких подій.

Введемо визначення:

-Події називаються незалежними, якщо поява однієї з них не змінює ймовірностей появи інших подій.

-Подія А називається залежною від події В,якщо ймовірність події А змінюється залежно від того, відбулась подія В чи ні.

- Умовною ймовірністю події В( _) називають ймовірність події В, обчислену з урахуванням того, що подія А відбулась.

Теорема. Ймовірність сумісної появи двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій



Теорема. Ймовірність сумісної появи двох залежних подій дорівнює добутку ймовірності одного з них на умовну ймовірність другого

_.

Події _ називаються незалежними в сукупності чи просто незалежними,якщо будь-яка їх комбінація незалежна.

Теорема. Ймовірність появи хоч би однієї з подій _, незалежних у сукупності, дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовірностей подій, протилежних даним.

Приклади.

1. Ймовірності появи кожного з двох незалежних подій _ і _ відповідно дорівнюють _та _. Знайти ймовірність появи тільки одного з цих подій.

Розв‘язання.

Введемо означення подій.:

_ - з‘явилась тільки подія _;

_ - з‘явилась тільки подія _;

Появлення події _ означає, що з‘явилась подія _ і не з‘явилась подія _ одночасно, тобто _ = _.

Появлення події _ означає, що з‘явилась подія _ і не з‘явилась подія _ одночасно, тобто _ = _.

Таким чином, щоб знайти ймовірність події тільки однієї з подій _ і _ , достатньо знайти ймовірність появи однієї, нема різниці якої, з подій _ і _ .

Події _ і _ несумісні, тому можна застосувати теорему додавання

_.

А так же як події _ і _ незалежні, незалежні і події _ і _, а також _ і _. Тому якщо

_ то <sub>

</sub> то _

Застосуємо теорему множення:





і тоді

_.

2. Для сигналізації про аварію застосовані два незалежно працюючих сигналізатора. Ймовірність того, що при аварії сигналізатор спрацює, дорівнює 0,95 для першого сигналізатора і 0,9 для другого. Знайти ймовірність того , що при аварії спрацює тільки один сигналізатор.

За умовою:

_; _;

_; _;

_=0.95_0.1+0.9_0.05=0.14.

3. Студент розшукує потрібну йому формулу у трьох довідниках. Ймовірність того, що формула знаходиться в 1-ому, 2-ому та 3-ому довідниках, відповідно дорівнюють 0,6; 0,7; 0,8. Знайти ймовірність того,що формула знаходиться:

а)тільки в одному довіднику;

б)тільки у двох довідниках;

в)в усіх трьох довідниках;

г)хоча б в одному довіднику.

За умовою:

<sub> 

  

 </sub>

а) _

б) _

в) _

г) _ =

4. У читальній залі є 6 підручників з теорії ймовірності,з яких 3 переплетені. Бібліотекар взяв наудачу 2 підручника. Найти ймовірність того,що обидва підручники переплетені.

Введемо означення подій:

А- перший відібраний підручник непереплетений.

В- другий відібраний підручник переплетений.

Ймовірність події А



Ймовірність того,що другий підручник переплетений,при умові, що перший відібраний переплетений,тобто, умовна ймовірність події В дорівнює



Шукана ймовірності

_.

3.6. Формула повної ймовірності.

Якщо В₁, В₂, …..В_n - попарно несумісні події (гіпотези), які утворюють повну групу подій, та А – випадкова подія, яка може відбутися лише при появі одного з В_i, то ймовірність події А дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної з гіпотез на відповідну умовну ймовірність події А



Приклад. У гаражі С групуються машини для забору вантажів з місць, позначених на рисунку точками. Машини в рівних кількостях відправляються за вантажом по магістралях _. Машина з фіксованим номером може потрапити на кожну з цих магістралей. Яка ймовірність того, що саме ця машина потрапить до місця _.

Розв‘язок. Висунемо гіпотези:

_ – « машина потрапила на магістраль _ » ; <sub>

</sub> – « машина потрапила на магістраль _ » ; <sub>

</sub> – « машина потрапила на магістраль _ » ; _

За формулою повної ймовірності одержуємо