Предмет «Теорія ймовірностей І математична статистика»

Вид материала

Содержание

Випадковою називається
Дискретною випадковою

Подобный материал:

1 2 3

§ 4. Повторні незалежні іспити.

4.1. Формула Бернулі.

Ймовірність того, що в n незалежних іспитах , в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює p, подія настане рівно k разів (не має значення в якій послідовності )

Ймовірність того, що подія настане:

Приклад. З партії деталей відбирають деталі вищого ґатунку. Ймовірність того, що навмання вибрана деталь буде вищого ґатунку, дорівнює 0,8. Яка ймовірність того, що серед трьох перевірених деталей тільки дві будуть вищого ґатунку.

Розв‘язок. Введемо позначення:

p – ймовірність того, що навмання вибрана деталь буде першого ґатунку, p=0,8;

n – загальне число перевірених деталей, n=3;

k – кількість деталей вищого ґатунку веред перевірених, k=2.

Ймовірність того, що деталь буде нижчого ґатунку, визначається з теореми про суму двох протилежних подій:

Шукана ймовірність знаходиться за формулою Бернулі:

4.2. Локальна та інтегральна теореми Муавра - Лапласа.

Ці теореми застосовуються, якщо число незалежних іспитів достатньо велике, а ймовірність появи події в одному іспиті відмінна від 0 та1.

Локальна теорема

де .

Функція - парна, тобто . Значення задаються в таблиці.

Інтегральна теорема

, .

Функція Лапласа

Ця функція непарна . Значення задаються таблицею.

Приклади.

1. Ймовірність відмови кожного приладу під час іспиту дорівнює 0,2. Що ймовірніше: при 20 іспитах відмова 4 приладів чи при 30 іспитах відмова 6 приладів? Прилади досліджують незалежно один від одного.

Розв‘язок. Використовуємо локальну теорему Лапласа. За умовою Визначимо ймовірність відмови 4 приладів, якщо досліджують 20.

тоді

Визначимо ймовірність відмови 6 приладів, якщо досліджують 30.

Бачимо, що . Тобто, відмовлення 4 приладів з 20 більш ймовірно, ніж 6 приладів з 30.

2. Електростанція обслуговує мережу з 6000 лампочок , ймовірність включення кожної з яких за час t дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що одночасно ( за цей час ) буде ввімкнено не менше 4750 лампочок.

Розв‘язок. Подія тут складається з того , що одночасно ввімкнено від 4750 до 6000 лампочок. Застосуємо інтегральну теорему Лапласа:

, .

За умовою задачі n=6000; = 4750; = 6000; p=0,8; q = 0,2. Тоді

Значення функції Лапласа знаходимо за таблицею:

§ 5. Випадкові величини.

5.1. Дискретні та неперервні випадкові величини.

Випадкову величину задають областю можливих значень та ймовірністю появи їх. Випадкові величини позначаємо буквами X ,Y, Z, а їхні можливі значення - x, y, z .

Випадковою називається величина, значення якої наперед невідомі і які можуть бути визначені лише внаслідок досліду. Випадкові величини поділяються дискретні та неперервні.

Дискретною випадковою величиною називається величина, можливі значення якої можуть бути пронумеровані в якомусь порядку і записані у вигляді послідовності. Тобто ,усі значення випадкові величини можна перелічити.

Приклад - кількість відбійних молотків, що виходять з ладу протягом зміни .

Якщо випадкова величина в ході досліду приймає будь-яке значення з деякого інтервалу ,вона називається неперервною.

Приклад - тиск рідини ,яка тече в трубі, похибки вимірювань.

Розглянемо дискретну випадкову величину Х з її можливими значеннями Кожного з них величина Х набуває з деякою ймовірністю ,а саме: значення - з ймовірністю ; значення - з ймовірністю ; значення - з ймовірністю.

Події несумісні і утворюють повну групу. Отже, сума ймовірностей цих подій дорівнює одиниці:

.

Ця сумарна ймовірність певним чином розподілена між окремими значеннями випадкової величини Х.

Визначення. Усяка відповідність між значеннями випадкової величини й ймовірностями, з якими ці значення з’являються, називається законом розподілу.

Найпростішою формулою завдання закону є таблиця,яка містить значення випадкової величини і відповідні їм ймовірності. Така таблиця називається рядом розподілу

Х			……………………
Р			……………………

Приклад . На шахті протягом 100 змін фіксувалася кількість вимикачів_напруги, що виходять з ладу з різних причин. Результати спостережень наведено в таблиці,що являє собою ряд розподілу для випадкової величини Х- вимикачів напруги, що вийшли з ладу протягом робочого часу.

Таблиця.

Кількість що вийшли з ладу протягом робочого часу	Кількість спостережень m	Відносні частоти w
0 1 2 3 4	16 56 24 3 1	0.16 0.56 0.24 0.03 0.01

Щоб додати ряду розподілу наочність будують так звану полігональну криву: по осі абсцис відкладають значення випадкової величини,по осі ординат- ймовірність цих значень(у нас відносні частоти.

Із наведеного приклада видно, що в умовах даної шахти найбільш ймовірним є вихід з ладу одного вимикача протягом робочого часу.

5.2.Інтегральна функція розподілу.

Ряд розподілу вичерпно характеризує дискретну випадкову величину. Але для неперервної випадкової величини побудувати такий графік ми не можемо ,оскільки ми не можемо перелічити всі її можливі значення. Для неперервної випадкової величини має сенс говорити тільки про ймовірність того, що вона приймає значення з деякого, нехай навіть дуже малого інтервалу.

Тому для кількісної характеристики розподілу неперервної величини розглядають не ймовірність події Х = х, а ймовірність події Х < х. Зрозуміло, що ймовірність цієї події залежить від значення х, тобто є функцією х. Ця функція називається функцією розподілу випадкової величини і позначається F(x)

F(x)=P (X
Функція розподілу є універсальною формою закону розподілу і придатна для опису і неперервних і дискретних величин.

Властивості функції розподілу:

1.Всі значення інтегральної функції належать відрізку [0;1] (як ймовірності)

0 ≤ F(x) ≤ 1

2.F( x ) - неспадна функція свого аргументу, тобто,

якщо

Із цієї властивості випливає наслідок:

Ймовірність того, що випадкова величина отримає значення, що належить до інтервалу (),дорівює приросту функції на цьому інтервалі:

3.Якщо можливі значення випадкової величини належать інтервалу (а; в),то:

а) F(x)=0 при х ≤ а ( ймовірність події х=а, дорівнює нулю, оскільки ця подія неможлива);

б) F(x)=1 при x ≥ в (ймовірність події "Х> в", а отже , і значення функції в точці х=в, дорівнює одиниці,оскільки ця подія - достовірна).

Для дискретної випадкової величини графік інтегральної функції має східчастий вигляд. Побудуємо інтегральну функцію F(x) для задачі про вимикачі напруги.

Х	0	1	2	3	4
Р	0.16	0.56	0.24	0.03	0.01

X ≤ 0 F (x) = 0

0 < x ≤ 1 F (x) = P (x < 1) = 0.16

1 < x ≤ 2 F (x) = P (x < 2) = 0.16 + 0.56 = 0.72

2 < x ≤ 3 F (x) = P (x < 3) = 0.16 + 0.56 + 0.24 = 0.96

3 < x ≤ 4 F (x) = P (x < 4) = 0.16 + 0.56 +0.24 + 0.33 = 0.99

X > 4 F (x) = 1

Коли змінна X проходить через дискретні значення 0; 1; 2; 3; 4, інтегральна функція змінюється стрибко подібно, причому величини стрибків дорівнюють ймовірностям цих значень ( відповідно 0,16; 0,56; 0,24; 0,03; 0,01 ). Сума всіх стрибків функції F (x) дорівнює одиниці.

Зі збільшенням можливих значень X кількість стрибків збільшується, а самі стрибки зменшуються. Східчаста лінія при цьому наближується до плавної кривої. Для неперервної випадкової величини графік інтегральної функції – неперервна лінія.

Приклад. Випадкова величина X задана функцією розподілу

F (x) =

Знайти ймовірність того, що в результаті іспитів випадкова величина прийме значення

а) з інтервалу ( 2,5; 3,0 );

б) не менше 3.

Графік інтегральної функції має вигляд

P(x)

0,5

-2 0 2 4 6 x

а)

б) Події X - протилежні.

. Тоді

5.3 Диференціальна функція розподілу випадкової величини

Розглянемо неперервну випадкову величину Х з функцією розподілу F(x). Обчислимо ймовірність влучення цієї випадкової величини на ділянку від до

.

Розглянемо відношення цієї ймовірності до довжини ділянки, тобто середню ймовірність, що приходиться на одиницю довжини цієї ділянки, і будемо наближувати до нуля, тобто перейдемо до границі при Отримаємо похідну від функції розподілу

Позначимо f() = Функція f() показує, як щільно розподіляються значення випадкової величини в інтервалі від до . Звідки і її назва – щільність розподілу випадкової величини. Інша назва – диференціальна функція розподілу.

Ця функція існує тільки для неперервної випадкової величини.

Із наведених формул виходить, що ймовірність влучення значення випадкової величини на проміжок дорівнює

Величину називають елементом ймовірності. Геометрично це є площа елементарного прямокутника з висотою, що дорівнює і основою .

f(x)

f(x)dx

0 x

X₁ x x+dx x₂

Ймовірність влучення випадкової величини в довільний інтервал від дорівнює сумі елементів ймовірності на цій ділянці, тобто інтегралу

.

Геометрично ймовірність влучення величини на ділянку ( ) дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженою кривою і прямими .

Таким чином, неперервну випадкову величину одночасно характеризують дві взаємозалежні функції – диференціальна (щільність розподілу) та інтегральна. Знаючи хоча б одну з них, ми можемо відповісти на найбільш важливе практичне питання: з якою ймовірністю досліджувана випадкова величина набуває значення з того чи іншого інтервалу. Ця ймовірність дорівнює

Ця формула лежить в основі розв‘язання більшості ймовірно – статистичних задач.

Властивості диференціальної функції:

Геометрично це означає, що крива розподілу завжди лежить не нижче осі абсцис.
Дійсно, цей інтеграл є ймовірністю того, що випадкова величина Х набирає значень з інтервалу () . Така подія достовірна. Ймовірність її дорівнює одиниці. Геометрично це означає, що вся площа під кривою розподілу дорівнює одиниці.

Визначимо щільність розподілу для випадкової величини, заданої в попередньому прикладі інтегральною функцією

F (x) =

Диференцюючи F (x) одержимо:

(x) =

f(x)

0,5

0,25

-2 0 2 4 x

На всякому інтервалі зміни випадкової величини Х щільність розподілу постійна. Такий вид розподілу називається законом рівномірної щільності.

Покажемо тепер. Як може бути отримана щільність розподілу випадкової величини практичним шляхом.

Blog

Предмет «Теорія ймовірностей І математична статистика»

Содержание