К. В. Коробова ассистент кафедры информационных технологий виу

Вид материалаДокументы

Содержание


2. Основным объектом наших исследований будет конечномерное нормированное пространство X над полем действительных чисел R
D называется конусом
D выпукло, если с любыми своими точками оно содержит отрезок их соединяющий, т.е. х,yD [x,y]  D.
4. Модель Неймана-Гейла
Состоянием равновесия
Подобный материал:
К.В. Коробова

ассистент кафедры

информационных технологий ВИУ


ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ ПОЛУУПОРЯДОЧЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ В МОДЕЛИРОВАНИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ


1. Математика представляет собой науку о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Впервые математику, как самостоятельную науку, стали изучать в Древней Греции в VI-V вв. до нашей эры. Это было начальным периодом элементарной математики, в течение которого из арифметики появляется теория чисел, создается алгебра, геометрия Евклида.

В XVII в. развитие естествознания и техники привели к созданию методов, позволяющих изучать с помощью математики движение, преобразование геометрических фигур. Создается аналитическая геометрия, дифференциальное и интегральное исчисления. Начинается период математики переменных величин, и на первый план выдвигается понятие функции. Дальнейшее развитие математики в XIX в. привело к постановке задачи изучения возможных типов количественных отношений и пространственных форм. Изучаются математические модели, причем одна и та же математическая модель может описывать свойства несовместимых на первый взгляд явлений. Например, используя одно и тоже дифференциальное уравнение можно описать процессы роста населения и распада радиоактивного вещества. Это говорит о том, что для математики важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения, в том числе и экономические.

Математическое моделирование экономической динамики и равновесия имеет многолетнюю историю. Классические модели основаны на функциональных и дифференциальных уравнениях. Некоторые разделы математики, например, теория оптимизации, развивались под воздействием необходимости математического моделирования экономических процессов. В более позднее время появились, в частности, математические модели, связанные с понятием многозначного отображения. При работе с произвольными пространствами необходимо ввести в них отношение порядка, так как элементы полуупорядоченного пространства во многом очень близки к понятию числа по своим свойствам. Включение упорядочения в исследование объектов функционального анализа значительно обогащает и разнообразит их.

Данная статья посвящена рассмотрению экономических моделей, при изучении которых используются методы и понятия теории полуупорядоченных пространств.

2. Основным объектом наших исследований будет конечномерное нормированное пространство X над полем действительных чисел R.

Центральным понятием теории полуупорядоченных пространств является понятие конуса.

Множество D называется конусом с вершиной в точке x, если для любого yD луч [x,y) содержится в множестве D.

Если задан конус К, то можно определить отношение частичного порядка следующим образом: x y тогда и только тогда, когда y-xK. При таком определении неравенство x0 означает, что xK, поэтому элементы конуса принято называть положительными.

Легко проверяется, что для этого отношения выполняются свойства рефлексивности, антисимметричности и транзитивности.

Напомним ряд математических понятий:

Множество D выпукло, если с любыми своими точками оно содержит отрезок их соединяющий, т.е. х,yD [x,y]  D.

В конечномерном нормированном пространстве X функционалом будем называть отображение p: DR для некоторого множества D X.

Функционал p называется линейным, если D =R и α, βR, x,yX выполняется равенство p(αx + βy) = αp(x) + βp(y).

Функционал p называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке x множества D. А последнее означает, что ε > 0 существует Uε(x) - такая окрестность точки x, что yUε(x)D выполняется неравенство |p(y)-p(x)|<.

3. Широко известны классические модели экономических систем, рассматривающих все протекающие процессы как систему линей­ных зависимостей между показателями состо­яния системы. Классическим примером линей­ного подхода к моделированию является модель "затраты—выпуск" Леонтьева1. Эта модель сводится к решению системы линейных уравнений, причем на основании спектральной теории линейных операторов выведены условия существования и единственности ре­шения системы уравнений, описывающего положение экономического равновесия. Поми­мо квазилинейной производственной функ­ции, использующейся в модели Леонтьева, можно использовать нелинейные функции для отображения зависимостей между пока­зателями состояния. Нелинейные функции являются более гибкими в представлении процессов, происходящих в экономике. При­мером часто используемой нелинейной фун­кции является производственная функция Кобба—Дугласа вида



при этом нормирующие коэффициенты а0 могут быть для простоты опущены, если их вклю­чить в единицу измерения у.

Для построения балансовой модели исполь­зуется принципиальная схема, предложенная Леонтьевым. При этом, в отличие от класси­ческого подхода, предлагается выделить ма­териальные (или количественные) и инфор­мационные (или качественные) ресурсы. С точки зрения моделирования отличие заклю­чается в том, что информационные ресурсы не дробятся в системе (на все подсистемы, использующие ресурс х., поступает одно и тоже количество хг, называемое затратой г-го ресурса в системе). Для материальных ресурсов должно выполняться дополнительное ус­ловие равенства затраты i-го ресурса в сис­теме сумме затрат г-го ресурса во всех под­системах.

Рассматривается модель экономической системы с производственными функциями Кобба—Дугласа, иерархической структурой взаимосвязи между показателями состояния, характеризующими количества материальных ресурсов и произвольной структурой взаимо­связи между показателями состояния, опи­сывающими качественные ресурсы. Такая модель описывается следующей системой уравнений:

где i = 1, п, А — матрица коэффициентов про­изводственной функции, xi — ресурсы, пере­рабатываемые и производимые в системе, х0 — вектор ресурсов, предназначенный для потребления в случае макроэкономической модели и продажи в случае микроэкономи­ческой модели.

При изучении экономической модели очень важным является вопрос об условиях суще­ствования и единственности неподвижной точ­ки отображения (1) — положения экономи­ческого равновесия, характеризующего стабильное состояние экономики. Условия суще­ствования неподвижной точки обычно полу­чаются при применении теорем о сжимаю­щем отображении. В данном случае частные производные отображения (1) имеют сложный вид, не позволяющий применять стандартные формулировки теорем. Оказалось возможным получить достаточные условия существования равновесия в модели, опираясь на асимптоти­ческие результаты, полученные М. А. Красносельским2. Эти условия накладываются на матрицу производственных коэффициентов А.

Для этого необхо­димо выделить конус в пространстве Rn, на котором будет рассматриваться оператор (1). Если взять в качестве порождающего множества : тi < хi < Mi, i = 1,n}, где 0 < тi < Мi — положительные константы, большие 0, эко­номический смысл которых может быть ин­терпретирован как границы диапазона "комплектности ресурсов в данной производствен­ной системе, тогда искомый конус будет пред­ставлять собой множество следующего вида: К = {tx : t<0, тi < хi < Мi, i = l,n}. Для такого конуса в работе Демченко К.С.3 доказана теорема:

Теорема. Для экономических балансовых систем вида (1) с производственными функция­ми Кобба—Дугласа, имеющими возрастающую отдачу, то есть при выполнении ограничений вида положение экономичес­кого равновесия на конусе К (неподвижная точ­ка отображения (1)) существует.

При доказательстве этой теоремы используется тот факт, что конус К является нормальным, телесным и воспроизводимым. Отметим, что всеми этими свойствами обладает строго регулярный конус, поэтому в качестве порождающего множества в зависимости от экономической проблемы можно взять произвольный строго регулярный конус в пространстве Rn. Общий вид таких конусов описан в работах4.


4. Модель Неймана-Гейла - это такой выпуклый замкнутый конус Z×, что у0, (0, у)Z, Pr2Z0. Модель Z назы­вается правильной, если Pr1Z =. В дальнейшем мы рассматриваем правильные модели Неймана - Гейла.

Для пары (x, y)Z вектор x называется вектором затрат, а y - вектором выпуска. Подчеркивая этот содержательный смысл векторов, иногда пару (x,y)Z будем называть процессом.

По конусу Z можно построить многозначное отображение f: K → P(), где K = Pr1Z, f(x) = {y| (x,y)Z}. Отображение f называется производственным отображением модели Неймана-Гейла. Известно, что конус Z - модель Неймана-Гейла тогда и только тогда, когда соответствующее отображе­ние f является квазилинейным многозначным отображением.

Состоянием равновесия модели Неймана-Гейла называется набор элементов σ= с числом  > 0, парой Z и функционалом ()*, для которых выполняются условия:
  1. (неравенство понимается в смысле конуса)
  2. (x,y)Z выполняется неравенство

Число  =  (σ) называется темпом роста модели Неймана-Гейла Z (или производственного отображения f).

Если Z модель Неймана - Гейла, то Z' также модель Неймана - Гейла (с заменой Rn на (Rn)*). Тогда и для Z' можно говорить о темпах роста. Модель Z' будем называть двойственной по отношению к модели Z. Известно, что если  является темпом роста модели Неймана-Гейла Z, то 1/ является темпом роста отображения f'.

Траекторией правильной модели Неймана-Гейла Z называется последовательность (xt)t=0 с (xt,xt+1)Z (то есть xt+1f(xt)). Содержательно это означает, что в момент времени t затраты xt порождают продукцию xt+1, которая полностью является затратами следующего момента времени t+1. Если в xt учесть все экономические процессы "вокруг "моделируемого объекта, то подобные траектории описывают обшир­ный класс экономических явлений.

Конечная траектория (xt)Tt=0 называется оптимальной, если существует такой линейный функционал  ()*, что



где f T- суперпозиция отображения f с собой T раз. Пусть  - темп роста модели. Положим



Из определения равновесия и свойств двойственного отображения f' следует, что П{0}- это выпуклый замкнутый конус. Известно, что если  П, то (, -1,…,-t) является траекторией двойственной модели Z'.

Траектория (xt)t=0 модели Z имеет средний темп роста , если (xt)t=0 согласована с траекторией (, -1,…,-t) при некотором r (П), т.е. если .

Изучим асимптотику траекторий, имеющих средний темп роста . Для каждого  П обозначим



Множество называется неймановской гранью конуса Z.

Теорема о магистрали в слабой форме. Пусть - темп роста модели Z, точка x0 >0, функционал ψ≥0 таковы, что выполнены следующие условия:

а) из точки x0 исходит траектория (xt) со средним темпом ;

б) существуют положительные числа k1, k2 и такой функционал ri(Πα), что k1 ≤ψ≤ k2.

Пусть задано положительное число ε.

Тогда для любой конечной траектории (xt)Tt=0, исходящей из точки x0 и оптимальной в смысле ψ, число процессов (xt,xt+1), для которых

не превосходит некоторого числа β, не зависящего от T.

Таким образом, не зависимо от «длины» траектории число оптимальных процессов ограничено. Заметим, что при нахождении расстояния от элемента до конуса N можно воспользоваться формулами, определенными в работе автора5.

Таким образом, математические модели экономической динамики используют технику многозначных отображений и понятия теории полуупорядоченных пространств. Многозначные отображения позволяют создать общее описание процессов экономической динамики, а результаты, полученные в теории конусов, могут быть успешно использованы для решения проблем экономического моделирования. Сюда вкладываются модели Леоньева «затраты-выпуск» и серия моделей Неймана и Неймана-Гейла.



1 См.: Аллен Р. Дж. Математическая экономия. —М.: Изд-во иностр. лит., 1963. — 667с.


2 Красносельский М. А. Положительные реше­ния операторных уравнений. Главы нелинейного анализа. — М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1962. —394 с.

3 См.: Демченко К. С, Руссман И. Б. Нахождения положения экономического равновесия в нелиней­ной балансовой модели затраты — выпуск общего вида // Системное моделирование социально-эко­номических процессов: Сб. науч. тр. — Воронеж, 2000. — С. 93—99., Демченко К. С Теоремы о неподвижной точке отображения и равновесие в экономических системах. Вестник ВГУ. — Воронеж, 2001, №2. . — С. 93—95.

4 Вишняков Ю.Г., Худалов В.Т. Описание всех регулярных круглых конусов в пространстве l1n. Вестник СОГУ, 1999, №1 — С. 5—6.


5 Коробова К.В. Геометрические свойства регулярного круглого конуса в пространстве l1n. Труды мол. ученых , 2005, Вып.1 — С. 11—24.