А. А. Дорибидонтова метод проектов как средство реализации межпредметных связей

Вид материала

Документы

Содержание Основные требования к учебному проекту. Таблица 1 Межпредметные связи между предметами «Геометрия» и «Технология сварных конструкций» Основные математические Рис. 3Дано: конус, АВ=d, СН=h. Найти: l Постановка проблемы. Библиографический список Курс истории математики Общекультурная направленность Профессионально-педагогическая направленность Библиографический список Целью задания 1 является мотивация читающего на необходимость изучения термина «понятие». Начал же Евтидем… А пока он это говорил, Клиний уже отвечал, так что мне не удалось предупредить мальчика, чтобы он был осторожен, и он сказал, чт И не успел Евтидем это промолвить, как Дионисодор, перехватив слово, как мяч, перебросил его обратно мальчику, говоря Клиний ответил утвердительно… Платон. Евтидем.275-277/пер.С.Я.Шейман-Топштейн. Задание 2 направлено на показ существования различного субъектного опыта, а вследствие этого и различного субъективного смысла, Задание 3 направлено на осмысление трактовок термина «понятие» в различных дисциплинах, в том числе и в методике обучения матема 1) Прочитайте трактовки (определения) этого термина. А. Б. «Понятие - форма мысли, обобщенно отражающая предметы и явления посредством фиксации их существенных свойств» [6]. В. ... Полное содержание

Подобный материал:

• Необходимость реализации межпредметных связей в учебном процессе бесспорна, 147.23kb.
• Моу "дсош №1". Совершенствование межпредметных связей в учебном процессе, 118.06kb.
• Реферат тема: планирование межпредметных связей, 135.85kb.
• «Метод проектов как средство реализации личностно ориентированного обучения в преподавании, 121.72kb.
• Метод проектов как средство повышения мотивации учащихся в процессе обучения биологии, 22.65kb.
• Л. А. Андреева Активные методы обучения при установлении межпредметных связей, 103.04kb.
• Метод проектов: принципы, особенности, характеристики, 150.68kb.
• А. И. Куприна «Тапёр» с использованием межпредметных связей литература, 53.03kb.
• Учебно-методический комплекс по дисциплине Управление проектами Специальность, 1237.78kb.
• Денисова И. П. г. Киржач, учитель математики в моу сош №5, denis197169@yandex, 78.14kb.

Раздел III. Теория и методика обучения математике


А.А. Дорибидонтова


МЕТОД ПРОЕКТОВ КАК СРЕДСТВО РЕАЛИЗАЦИИ МЕЖПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ

МЕЖДУ МАТЕМАТИКОЙ И ПРЕДМЕТАМИ СПЕЦЦИКЛА

ДЛЯ УЧАЩИХСЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ УЧИЛИЩ

(НА ПРИМЕРЕ ПРОФЕССИИ «СВАРЩИК»)


«… очевидна нехватка специалистов, выпускников начального

и среднего профессионального образования».

Д.А. Медведев


Математика, являясь предметом общеобразовательного цикла, считается необходимым инструментом овладения будущей профессией учащимися профессиональных училищ. Эта необходимость обусловлена и требованиями к качеству образования современного профессионала (они довольно высоки), и профессиональной значимостью оптимальности и рациональности построения методик обучения спецпредметам.

Нерациональность методик обучения предметам спеццикла, прежде всего, обусловлена неполнотой (нарушающей целостность восприятия спецпредмета) реализации межпредметных связей, от которых напрямую зависит качество изготавливаемого продукта.

Одним из средств раскрытия взаимосвязей между геометрией и профессиональной дисциплиной следует считать профессионально-ориентированные проекты, способствующие осмыслению и применению учащимися геометрических знаний в реальных или профессиональных ситуациях. Под профессионально-ориентированным проектом понимаем специально организованный учителем и самостоятельно выполняемый учащимися комплекс действий по решению (профессионально-ориентированной) значимой для учащегося проблемы или задачи, завершающихся созданием продукта, который представляет собой теоретическую и/или практическую модель в виде сварной конструкции с математическими расчетами и технологическими выкладками.

Основные требования к учебному проекту.

1. Работа над проектом всегда направлена на разрешение конкретной социально-значимой исследовательской, практической и реально разрешимой в рамках учебного процесса проблемы.

Для того чтобы учащийся воспринимал знания как действительно нужные ему, рассматривается реальная проблема, знакомая и значимая для учащегося. Решение этой проблемы требует применения известных знаний и умений учащегося, а также и новых, которые еще предстоит приобрести.

2. Работа над проектом начинается с планирования действий по разрешению проблемы.

Преподаватель оказывает учащимся помощь организационного характера в работе над проектом, например: советует источник получения информации по интересующему вопросу, направляет и корректирует идею поиска. Главное – в результате учащиеся должны самостоятельно найти пути разрешения проблемы, которые в дальнейшем заменяются детализированной программой действий.

3. Каждый проект обязательно требует исследовательской работы учащихся. Отличительная черта проектной деятельности – поиск информации, которая будет обработана, осмыслена и представлена участниками проектной группы.     

4. Результатом работы над проектом является продукт, презентация продукта и защита самого проекта (по Л.В. Кузнецовой).

Применим указанные требования к проекту на изучение стереометрии. Работу по выполнению проекта условно разделим на следующие этапы:

1. Создание проблемной ситуации (информация должна подаваться в контексте будущего труда, с прицелом будущего профессионального использования).

2. Создание мотивации профессиональной значимостью проблемы.

3. Нахождение способов разрешения проблемы. Обоснованность правильности решения.

4. Возврат к целевой установке. Обобщение результатов проекта.

Приведем пример проекта. Рассчитать и выполнить заказ на строительство детского городка. Данную задачу рассмотрим с точки зрения профессии сварщика при изучении темы по математике: «Тела вращения и площади их поверхностей». Рассмотрим выполнение проекта согласно вышеназванным этапам.

1. Создание проблемной ситуации. Сегодня нам предстоит выполнить заказ на строительство детского городка (на экране появляются слайды детских городков). Преподаватель, зная, что изучается тема «Тела вращения», акцентирует внимание учащихся на элементах городка, где присутствуют модели конуса, цилиндра и шара (рис. 1).




Рис. 1


Ученикам предлагается создать один его элемент – ракету. Проблема заключается в необходимости выполнения ряда профессионально-ориентированных задач: расчетной, технологической (чертежи), финансовой (бухгалтерский учет и коммерческие расчеты), профессиональной (количество металла, швов и т.д.).

2. Создание мотивации профессиональной значимостью проблемы. Рабочая группа этого проекта должна рассчитать, сколько металла потребуется сварщику для изготовления этой модели. Что нужно для этого знать? (учащиеся говорят о площади). Таким образом происходит вовлечение учащихся в учебный процесс, мотивация наглядно продемонстрирована: нужно рассчитать количество металла, которое необходимо сварщику для изготовления модели.

3. Нахождение способов разрешения проблемы. Чтобы рассчитать количество металла, нужно знать площадь поверхности элементов ракеты (боковой поверхности конуса и цилиндра). Преподаватель (или заказчик) задает размеры ракеты.

Чтобы ракета вписалась в систему городка, нужно ее дополнить элементами декора, например, добавить два иллюминатора в виде круговых отверстий и с боку расположить два крыла в виде прямоугольных трапеций, входное отверстие в виде прямоугольника (преподаватель на доске или экране показывает этапы построения модели) (рис. 2).





Рис. 2

Чтобы увеличить темп деятельности рабочей группы целесообразно разделить её на микрогруппы: каждая микрогруппа будет рассчитывать конкретный элемент модели (преподаватель разбивает на группы, дает задание, проверяет правильность выбора формулы и расчет).

Нам нужна площадь ракеты.




А теперь осталось подставить найденные результаты в эту формулу.

4. Возврат к целевой установке. Обобщение результатов проекта. Перенос полученных данных на разрешение проблемной ситуации. На этом этапе проходит формулировка правильного ответа с точки зрения профессиональной деятельности сварщика. Посмотрим на эту конструкцию еще раз, только глазами сварщика, для которого, помимо указанного результата, нужно добавить металл на отходы и швы, важно знать массу наплавленного металла (, где а – длина катета таврового шва, l-длина электрода, - плотность) количество электродов (, где т- масса одного электрода), и основное время сварки (, где сила сварочного тока, коэффициент наплавки). Все это можно узнать на уроках по предмету «Технология сварных конструкций».
   

При рассмотрении этого примера возникает вопрос, а возможно ли выполнение проекта, когда «заказа» нет. Или как быть с темами, которые нужно закреплять на примере не одной задачи. В этом случае составляется таблица взаимосвязи стереометрических объектов и реальных сварных конструкций (то есть осуществляется визуализация геометрических понятий). Эта таблица составляется, с одной стороны, преподавателем математики, который знает всю область геометрических понятий, которые учащиеся должны изучить, а с другой стороны, учащимися, субъектный опыт которых в знаниях сварных конструкций намного больше, чем у преподавателя. Целенаправленное использование визуализации к отдельным фактам по стереометрии приводит к возможности установления межпредметных связей. Например, в таблице 1 проиллюстрированы некоторые из них.


Таблица 1

Межпредметные связи между предметами «Геометрия» и «Технология сварных конструкций»

Основные математические понятия	Модели	Примеры сварных конструкций	Математический чертеж
Перпендикуляр и наклонные
Угол между прямой и плоскостью
Теорема о трех перпендикулярах
Пирамида
Конус

Остановимся на последней строчке таблицы, в которой говорится о геометрическом теле – конус. На первом этапе вместе с учащимися оговаривается, где встречается конус в сварных конструкциях. Определили аналогию – пожарное ведро – емкость для песка. И вот теперь работа преподавателя заключается в том, чтобы подвести к той проблеме, которая бы опиралась на необходимые для изучения знания. Приведем примеры проектов с одним объектом – ведром конической формы.

Проект 1.

Найти количество материала, необходимое для изготовления ведра конической формы, длину шва и объем полученной емкости, если известны диаметр ведра и глубина. Сварить конструкцию по заданным условиям (рис. 3).




Рис. 3


Дано: конус, АВ=d, СН=h.

Найти: l, S_бок.к., V?

В данной задаче необходимо установить, что в ведре такой формы будет только один шов – по образующей, значит длина шва – это длина образующей. Количество материала - площадь боковой поверхности конуса.

Решение:

1. .

2. и из ∆НВС по т. Пифагора .

3. .

4. .

Проект 2.

Расчитать количество материала, необходимое для изготовления ведра конической формы и объем полученной емкости, если известны радиус кругового сектора и его центральный угол, выраженный в радианах. Сварить конструкцию по заданным условиям.







С одной стороны r можно найти из формулы длины окружности основания конуса , где С – длина окружности.

С другой стороны эта же длина окружности является длиной дуги кругового сектора, которую можно посчитать по формуле .

Приравняв эти формулы, получаем , 

Таким образом, площадь боковой поверхности определяется по формуле .

, где h можно найти из теоремы Пифагора:

.

Подставим r и h в формулу объема. Получим

.


Проект 3.

Из квадратного листа металла со стороной а сварить ведро конической формы с наименьшими потерями материала. Найти его радиус основания r, высоту, площадь боковой поверхности и объем.




Длина дуги кругового сектора рассчитывается по формуле

.

С другой стороны .



, .

, .


Проект 4.

Сварить ведро конической формы при заданном объеме V и высоте h, найти r и S_бок.








,

,


Проект 5.

Сварить ведро конической формы при заданных: образующей l и угле α при вершине осевого сечения конуса. Найти его высоту и радиус, S_бок, V.

Из соотношения в прямоугольном треугольнике имеем:





,

,


Каждый из вышеназванных проектов отражает определенный раздел геометрического материала. При решении задач необходимо владеть следующими знаниями:

• формула длины дуги кругового сектора (раздел «Тригонометрия»);
  
• формула площади кругового сектора (раздел «Тела вращения»);
  
• формула площади боковой поверхности конуса (раздел «Тела вращения»);
  
• формула длины окружности (раздел «Повторение основного планиметрического материала»);
  
• теорема Пифагора (раздел «Повторение основного планиметрического материала»);
  
• перевод градусной меры в радианную меру (раздел «Тригонометрия»);
  
• соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике (раздел «Повторение основного планиметрического материала»);
  
• формула объема конуса (раздел «Объемы тел»).
  

Рассмотрим пример еще одного проекта, когда на решении одной задачи можно сварить огромное количество конструкций одного класса.

Постановка проблемы.

Рассчитать технологически навес в форме части цилиндра, опираясь на рисунок и фотографию. Найти длину дуги навеса, если известна ширина навеса (хорда АС) и высота купола (отрезок ВН).





Известно, что длина дуги рассчитывается по формуле (1)

, (1)

где R – радиус, α – радианная мера центрального угла.

Радиус R можно найти из формулы (2)

, (2)

где a=АС, b=АВ, c=ВС – стороны ΔАВС. С другой стороны, площадь ΔАВС можно вычислить по формуле

, (3)

где а=АС, h=ВН.

ΔАВС – равнобедренный, поэтому АВ=ВС и по теореме Пифагора:

(4)

Перепишем формулу (2), подставив в нее формулы (3) и (4)

(5)

Угол α можно найти, используя теорему косинусов в ΔАОС:



. (6)

Переведем α в радианную меру и подставим найденные R и α в формулу (1).



Подставим ВН=1,2м и АС=5м.




Для выполнения этого проекта необходимо знать: формулу длины дуги, формулы площадей треугольников, теорему Пифагора, теорему косинусов, определение арккосинуса числа, как осуществляется перевод градусной меры угла в радианную. В качестве других объектов, рассчитанных по этой формуле можно выбрать (рис.5):




Рис. 5


Использование метода проектов в образовательном процессе обучения математике способствует:

• развитию познавательного интереса к математике за счет реализации межпредметных связей;
  
• созданию устойчивых мотивов изучения стереометрических понятий на уровне представлений и обобщенных представлений;
  
• повышению уровня осознанности учащимися профессиональных училищ теоретических знаний по геометрии с точки зрения профессиональной направленности;
  
• интеграции профессиональных и математических знаний, которые могут положительно влиять на формирование профессиональной компетентности.
  

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вербицкий А.А. Компетентностный подход и теория контекстного обучения. М.: ИЦ ПКПС.-2004.-84с.
   

2. Дорибидонтова А.А., Макарченко М.Г. Визуализация теоретических фактов как средство взаимосвязи геометрии с профессиональными дисциплинами // Вестник ТГПИ. Физико-математические и естественные науки. 2009.


С.И. Дяченко


КУРС ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

КАК СРЕДСТВО ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ СТУДЕНТОВ ПЕДВУЗА


Обратимся к проблеме соотношения истории математики как науки и как учебного предмета. История математики как самостоятельная наука начала формироваться в XVIII веке. Но это не означает, что до этого ученые не ощущали потребность в исторических исследованиях науки. Можно выделить следующие предпосылки для возникновения истории математики как науки:

• античные историки науки, ученые средневековья, знакомясь с методами и результатами предшественников, сохраняли научные традиции, что важно с точки зрения оказания влияния математики на последующие эпохи;
  
• возникновение научных сообществ: госучреждения (академии, университеты); общества любителей науки, важны для становления истории математики, т.к. с них началась практика составления обзоров, исторических исследований математических тематик того или иного периода;
  
• классические научные произведения содержат исторические главы или экскурсы;
  
• обзорные доклады ученых-математиков о достижениях в той или иной области математики.
  

Причем значение истории математики для развития математики со временем все больше возрастает. В настоящее время невозможно представить работу математика без изучения истории развития той области, которой он занимается.

В современных условиях история математики как наука исторического ряда относится к гуманитарным наукам, поэтому использует не сравнительные, а абсолютные категории (временной ряд «было – есть – будет», пространственные характеристики «здесь – там»), тяготеет к чистым описаниям, обсуждает прошлое с точки зрения настоящего. Исторические науки заняты конкретными, специфическими событиями и их объяснением [2]. Поскольку исторические науки описывают изучаемые объекты в системе абсолютных категорий, истолковывают мир как становление, постоянно порождающее новое, то они не формулируют научных законов, все это относится к истории математики как исторической науке. Но, с другой стороны, ряд современных математиков, подтверждая тезис о том, что история математики – историческая наука, дополняют его тем, что она одновременно является и дисциплиной математической. «В наше время основной ее задачей должно считаться выяснение закономерностей возникновения и развития математических идей. Естественно, что в таком плане историей математики более успешно могут заниматься лица, обладающие, помимо специальной математической подготовки, опытом самостоятельной работы в науке. До некоторой степени это уже подтверждено ходом дела, и вот примеры: Ф. Клейн, с его интересным, хотя и несколько субъективным обзором математики XIX столетия, Нейгебауер, с его превосходными исследованиями математики древнего мира, Стройк, с небольшим, но увлекательным и в идейном отношении превосходным кратким курсом истории математики, А.Н. Кол­могоров, с его большим и глубоким обзором истории математики, Ван дер Варден, с книгой «Пробуждающаяся наука» [1, 76].

В различные эпохи при изучении закономерностей развития математики исторический и математический контексты находились в различных отношениях. В современных условиях усиливаются математические элементы, но, несмотря на это, по-прежнему эта наука не устанавливает научных законов. Представления историков о прошлом постоянно изменяются в силу изменения истолкования настоящего. Поэтому современное развитие математики как науки оказывает влияние на изменение отношения к истории математики. На первых этапах развития истории математики преобладал описательный характер, основное содержание историко-математических сочинений – биографии ученых, пересказ и сравнительная оценка математических результатов. Но значение, роль и предмет исследования истории математики как науки о становлении постепенно изменяется и усиливается.

В настоящее время значение и роль истории математики как науки определяются следующими направлениями:

• описание и осмысление исторического пути математики (биографии ученых; пересказ и оценка математических результатов);
  
• выяснение закономерностей возникновения и развития математических идей;
  
• ослабление вредного воздействия узкой специализации математики в настоящее время; история математики дает представление об основных направлениях исследований, о тенденциях развития и проблемах математики;
  
• содействие рациональному использованию математического материала для применения в науке и в практике;
  
• «локальные» знания – каждый математик изучает историю того вопроса, которой он занимается, т.е. каждый новый шаг в математике требует исторического подхода;
  

• связь с историей мышления; анализ процесса математического творчества;
  
• совершенствование математического образования в школе и вузе.
  

Помимо традиционного взгляда на значение истории математики для самой математики, история математики дает возможности и для изучения развития общества, для философии науки и общего образования. Например, возникает возможность рассмотреть вопросы, связанные как с генезисом мышления человека, так и со стилем научного мышления определенного исторического периода, со сравнительным анализом западного мышления и восточного мышления в определенные эпохи. Например, считается, что метод западного мышления анатомичен, т.е. явление расщепляется на элементы и изучается их связь между собой, а мир воспринимается как неживой объект для препарирования. Для восточного мышления характерно следующее: путем самосовершенствования можно достичь такого состояния сознания, когда подключаешься к информационно-энергетическому полю Земли и получаешь готовую информацию без всяких устройств, а мир – живой, человек как часть мира через ощущение осуществляет познание. Эту сравнительную характеристику возможно рассмотреть при изучении особенностей математики Древней Индии. Кроме того, при изучении математики Древнего Египта и Древней Индии появляется возможность знакомства с мнением историков по поводу деления всех знаний древности на экзотерические и эзотерические.

Рассмотрение математики исламского Востока после упадка Древней Греции позволяет даже сравнить особенности женского и мужского мышления путем сравнения математических идей, заложенных в алгебре и геометрии. Исходя из четырех стихий: огонь, вода, воздух, земля; по мнению мудрецов древности на Западе господствует стихия огня, в странах Арабского Востока – стихия воды. Стихия воды, соответствующая женскому началу, женскому типу восприятия и мышления, находит отражение в основной идее алгебры: составление уравнения и произведение определенных действий над уравнением, в результате, чего удается определить неизвестное. Так же действует женщина, сталкиваясь с экстремальной ситуацией: она сначала действует по интуиции, а затем выясняет, что получилось. В геометрии заложен мужской пифагорейский принцип огня – мужчина сначала осмысливает ситуацию, а затем действует. Это не означает, что женский тип мышления присущ женщинам. Так одни философы, обладающие мужским стилем мышления, искали метод достижения достоверного знания (например, Аристотель), а итальянские мыслители XVI века, считается, обладали женским стилем мышления; Бертран Рассел, развивший математическую логику, считал: «Философия учит нас, как жить без уверенности и в то же время не быть парализованным неопределенностью».

Итак, история математики дает возможности для изучения истории мышления, в которой выделяются пять основных периодов развития, соответствующих главным этапам развития общества. Стили мышления, последовательно сменявшие друг друга, вполне соответствуют периодизации развития математики: первобытный стиль мышления, древний (или античный) стиль мышления, средневековый стиль мышления, стиль мышления Нового времени и современный стиль мышления.

Курс истории математики как научная дисциплина должен включать исследование следующих элементов:

- связь развития математики с общим развитием цивилизации (краткая характеристика соответствующего исторического периода);

- влияние организационных мероприятий внутри отдельных государств на уровень математических знаний, реорганизация системы образования конкретной страны приводили к росту ее математических достижений;

- вклад математиков в мировую культуру;

- развитие математических понятий, идей и методов;

- изменение представлений о математике и изучение факторов влияющих на эти представления.

Изучение истории математики позволяет выделить общие принципы развития наук, определить внешние и внутренние факторы развития научных теорий. Любая наука находится в процессе постоянного развития. В науке существует преемственность идей, новые научные теории возникают
в результате критики прежних теорий. С другой стороны, наука существует в определенном социальном контексте и испытывает постоянное влияние со стороны культуры того общества, в рамках
которого она развивается, но не каждое научное достижение есть ответ на назревшую социальную потребность. «История науки при описании развития науки должна соединять влияние культуры на науку с филиацией научных идей, последовательным продолжением того, что говорилось в конкретных областях знаний на предшествующих стадиях их развития» [2, 149].

Одна из самых сложных проблем философии науки – это революционный переход от старой теории к новой. Примером научной революции можно считать появление неевклидовой геометрии. Как заметил М. Планк: новая научная истина прокладывает дорогу к триумфу не посредством убеждения оппонентов и принуждения их видеть мир в новом свете, а скорее потому, что ее оппоненты рано или поздно умирают и вырастает новое поколение, которое привыкло к ней. Иногда эту идею понимания процесса принятия новой научной теории называют «принципом Планка». «Стиль мышления почти не осознается той эпохой, в которой он господствует, и подвергается определенному осмыслению и критике только в последующие эпохи. Переход от стиля мышления одной эпохи к стилю мышления другой, и значит, от одного общего типа объективности к другому, является стихийно-историческим процессом, занимающим довольно длительный период» [2, 157].

Выделяют следующие подходы ([3]) к изложению истории математики как научной дисциплины:

• по «горизонтали», в хронологическом порядке - через биографии математиков;
  
• по «вертикали» – история развития понятий, идей, методов, разделов.
  

Использование элементов истории математики в школьном курсе не вызывает сомнения. Начиная с 60-х годов XX века, сторонники исторического подхода к изучению математики обосновывают возможность, целесообразность и необходимость введения историко-математического материала в школьный курс математики. В связи с этим возрастают требования к уровню профессиональной подготовке в данной области к будущему учителю математики. Поэтому постановка курса истории математики в педвузе является важной с профессиональной точки зрения. Преподавание истории математики в высшей школе имело разные особенности, и исторически эта проблема решалась по-разному. Первыми систематическими курсами по истории математики были:

• в Западной Европе – курсы профессоров Кантора, Манзиона, Фаваро;
  
• курсы университетов Европы в конце 70-х – начале 80-х г.г. XIX века (обязательные и факультативные). Не было учебников по истории математики, мало специалистов, поэтому программы были подробными, представляли собой набор лекций;
  
• в России – курс по истории физико-математических наук – П.Л. Лавров;
  
• в России – курс по истории математики – В.В. Бобынин.
  

Начиная с XIX века, предлагались следующие варианты построения курса истории математики в вузе:

- линейное построение курса - развитие всей математики в хронологической последовательности (программа Г.Энестрема, послереволюционные программы университетов);

- тематическое построение – последовательное изложение истории развития отдельных понятий или теорий (программы В.В. Бобынина; К.А. Рыбникова);

- комбинированный подход – общий обзор основных периодов развития математики, затем рассматривается история формирования и развития основных понятий, теорий и методов (программа Д. Смита, факультативные курсы для пединститутов);

- курсы, посвященные деятельности отдельных математических школ или ученых;

- линейное или тематическое построение с выделением методологических проблем математики (программа Белградского университета, программа К.А. Рыбникова).

В настоящее время проблемам методологического характера при изложении истории математики в вузе уделяется первостепенное значение. Выделены критерии отбора содержания курса истории математики в педвузе [4]:

• методологическая направленность;
  
• общекультурная направленность;
  
• профессионально-педагогическая направленность;
  
• согласованность тематики с программами математических дисциплин педвуза;
  
• минимизация.
  

Методологическая направленность курса истории математики позволяет решить вопросы, связанные с проблемой предмета и места математики в системе наук, с основными тенденциями и закономерностями развития математики, с проблемой периодизации математики и философскими проблемами, касающихся оснований математики. У студентов должно сложиться понимание исторической обусловленности структуры и содержания современной математики.

Общекультурная направленность истории математики предполагает, что в содержании образования должен войти материал, показывающий связь прогресса математики с развитием культуры и человеческой цивилизации.

Профессионально-педагогическая направленность курса истории математики определяет включение в содержание такого материала, чтобы студенты увидели роль и место историко-математических сведений в школе и возможностей использования этого материала в будущей профессиональной деятельности. Кроме того, возникает возможность знакомства с педагогическими взглядами выдающихся математиков прошлого и современных математиков.

В содержание курса истории математики должны быть включены вопросы, связанные с историей развития основных разделов классической высшей математики и элементарной математики, которые входят в предметную подготовку студентов педвуза. Каждый математический курс открывает перед будущим школьным учителем целый мир понятий и результатов, которые необходимо пропустить через призму их появления и развития.

Критерий минимизации требует тщательного отбора содержания курса истории математики необходимого минимума информации в силу ограничения во времени при большой смысловой нагрузке.

Выделенные критерии позволяют отобрать содержание курса истории математики, направленное на формирование профессиональной компетентности будущего учителя математики:

- свободное оперирование историко-математическими фактами, расширение историко-математического кругозора;

- овладение методологическими знаниями по истории науки;

- способность использовать историко-математические знания в новых ситуациях (педагогических, методических, учебных ситуациях);

- способность проектировать учебное содержание для обучения учащихся.

Средствами учебного предмета – история математики – формируются следующие методологические знания:

-  изменение предмета математики в историческом процессе и факторы, влияющие на эти изменения;

-  место математики в системе наук;

- основные тенденции и закономерности развития математики;

- периодизация развития математики;

- внутреннее строение математики;

- характер взаимосвязей различных математических дисциплин;

- философские проблемы основания математики;

- математизация научного знания и практической деятельности;

- основные современные направления развития математики.

Сочетание в истории математике как науке исторического и математического контекстов накладывает отпечаток на особенности истории математики как учебного предмета. В педагогических вузах
история математики занимает двойственное положение: с одной стороны, это общеобразовательная дисциплина, расширяющая кругозор специалиста в общекультурной области; с другой стороны, это
интегрирующая, систематизирующая дисциплина после изучения специальных и предметных дисциплин. Поэтому данную дисциплину целесообразно изучать на старших курсах. Студенты, изучившие
курс математического анализа, способны провести сравнительный анализ теории «флюксий» Ньютона и теории «анализ бесконечно малых» Лейбница. Студенты, изучившие аналитическую геометрию,
векторную алгебру, дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных, теорию вероятностей и математическую статистику, способны осознанно проследить историю математических понятий и идей, их происхождение и развитие; способны оценить значимость Международных
конгрессов математиков, особенно, уникальное значение доклада Гильберта «Математические проблемы» для математики и истории математики.

Следует отметить еще одну особенность современного курса истории математики. В методологии истории математики важное значение имеет периодизация развития математики, предложенная А.Н. Колмогоровым:

I период – зарождение математики (предыстория математики и эпоха накопления первых математических знаний);

II период – математика постоянных величин;

III период – математика переменных величин;

IV период – современная математика.

Каждый из периодов развития математики имеет приоритет при изучении математики в школе и вузе: начальная школа – I период; средняя школа – II период и частично III период; бакалавр – III период; магистр – IY период. Конечно, это деление условно, но оно позволяет выделить приоритет в изучении истории математики в педвузе. Критерий минимизации (ограничение во времени при большой смысловой нагрузке) при отборе содержания курса истории математики предполагает выделение необходимого минимума информации и приоритет тех или иных историко-математических сведений для тех или иных студентов: для специалистов - будущих учителей математики – приоритет имеют первые два периода; для бакалавров – третий период; для магистров – четвертый.

Итак, целесообразность изучения истории математики в педагогическом вузе и необходимость сообщения соответствующих исторических сведений при обучении математике в школе не вызывает сомнения. Свободное оперирование историко-математическими фактами и широкий историко-математический кругозор характеризуют базовый уровень профессиональной компетентности учителя математики, основу которого составляют фактологические знания. Включение в содержание курса истории математики методологического материала как средства усиления фундаментальности образования способствует созданию условий для применения полученных знаний в различных ситуациях, создает предпосылки для использования историко-математических знаний при проектировании учебного содержания для школьников. Формируются все виды знаний в области истории математики: фактологические, методологические и технологические, с учетом сочетания образовательной и профессиональной ориентации студентов при изучении этого курса.


БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гнеденко Б.В., Гнеденко Д.Б. Об обучении математике в университетах и педвузах на рубеже двух тысячелетий. М.: КомКнига, 2006. 160 с.
   
2. Ивин А.А. Философия науки: учеб. пособие для аспирантов и соискателей. М.: Изд-во ЛКИ, 2007. 264 с.
   
3. Панов В.Ф. Математика древняя и юная. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. 648 с.
   
4. Томилова А.Е. Методика отбора содержания курса истории математики и его реализация в педагогическом вузе: автореф. дис. … канд. пед. наук. СПб., 1998.
   

Е.А. Корнилова, М.Г. Макарченко


Изучение содержания термина «математическое понятие»

с помощью методико-математических заданий


В курсе «теория и методика обучения математике» изучается один из важнейших разделов «Определение математических понятий и методика их изучения». Его изучение начинается с введения терминов «понятие», «содержание понятия» и «объем понятия». Логически грамотное изучение содержаний этих основополагающих понятий создает необходимый уровень мотивации изучения не только указанных понятий, но и всему разделу.

В данной статье приведен вариант методико-математических заданий, направленных на мотивацию и смысловое изучение указанных понятий. К каждому заданию указано его целевое предназначение, приведен текст задания и примерный ответ к нему.

Целью задания 1 является мотивация читающего на необходимость изучения термина «понятие».

Задание 1. Прочитайте отрывок статьи А.В. Жукова «Ускользающие определения» [5].

«…В V – IV веках до новой эры в Греции особую популярность получили так называемые софисты – постоянно гастролирующие учителя красноречия и мудрости, которую и Платон, и его ученик Аристотель не без оснований считали кажущейся, мнимой. Вот небольшой отрывок из диалога Платона «Евтидем», содержащего целый каскад искрометных софизмов:

Начал же Евтидем…

- Скажи мне, Клиний, те из людей, кто идет в обучение, - они мудрецы или невежды?..

В это мгновение Дионисодор, наклонившись чуть-чуть к моему уху и улыбаясь во весь рот, молвил:

- Предсказываю тебе, Сократ, что бы ни ответил мальчик, он будет, все равно опровергнут.

А пока он это говорил, Клиний уже отвечал, так что мне не удалось предупредить мальчика, чтобы он был осторожен, и он сказал, что учатся люди мудрые…

Клиний согласился.

- А разве не обстояло дело таким образом, что, когда вы учились, вы не знали того, чему обучались?

- Именно так, - сказал Клиний…

- Значит, вы были не мудрыми, но невеждами?

- Разумеется…

- Вот и получается, что учатся невежды, а не мудрецы, как ты это думаешь.

Когда он это сказал, все спутники Дионисодора и Евтидема, подобно хору, послушного команде своего наставника, зашумели и засмеялись, и раньше, чем мальчик как следует, успел перевести дух, Дионисодор вмешался и сказал:

- Послушай, Клиний, когда учитель грамматики читает вам что-нибудь, кто из мальчиков запоминает прочитанное – тот, кто мудр, или же тот, кто невежественен?

- Тот, кто мудр, - отвечал Клиний.

- Следовательно, учатся мудрые, а вовсе не невежды, и ты только что неверно ответил Евтидему…

Евтидем снова принялся спрашивать:

- А учащиеся обучаются тому, что они знают, или же тому, чего не знают?..

- Тому, чего они не знают, – отвечал Клиний.

- Как же так? Разве ты не знаком с буквами?

- Знаком, - ответил Клиний…

- А когда кто-нибудь что-то произносит, разве он произносит не буквы?

Клиний согласился…

- Значит, сказал Евтидем, - ты учишься тому, что знаешь, коль скоро ты знаешь все буквы…

И не успел Евтидем это промолвить, как Дионисодор, перехватив слово, как мяч, перебросил его обратно мальчику, говоря:

- Евтидем тебя обманывает, Клиний. Скажи мне: разве учиться не значит получать знание о том, чему ты учишься?

Клиний ответил утвердительно…

- А получающие что-либо уже имеют что-то или не имеют?

- Нет, не имеют…

- Следовательно, обучаются незнающие, Клиний, а вовсе не те, кто знает…

Платон. Евтидем.275-277/пер.С.Я.Шейман-Топштейн.

«Блеск речей головоногих» (так охарактеризовал словесные эксперименты софистов знаменитый древнегреческий поэт и драматург Аристофан) понуждал заядлых спорщиков то и дело обращаться к согласованным определениям…».

Ответьте на вопросы.

1. Сколько человек участвовало в диалоге? 2. Какие понятия они обсуждали? 3. Все ли участники определяли эти понятия? 4. Кто первый обратил внимание на то или иное понятие? 5. О каком понятии сначала шла речь? 6. Как спорщики договорились определить это понятие? 7. Почему спорщики вынуждены были договориться?

Ответ к заданию 1.

1. В диалоге участвовали три человека, Евтидем, Дионисодор, Клиний. 2. Они обращались к понятиям «мудрецы и невежды», «знающий и незнающий человек», «получать знания», «обучение». 3. Не все участники определяли понятия, Клиний только отвечал на поставленные ему вопросы. 4. Первым обратил внимание Евтидем на понятия «мудрецы и невежды», «обучение». Дионисодор – «знающий и незнающий человек», «получать знания». 5. Сначала шла речь о понятии «мудрецы и невежды». 6. Спорщики договорились дать следующее определение понятию: мудрые – это те, кто учатся, а вовсе не невежды (Дионисодор). 7. Спорщики вынуждены были договориться для того, чтобы между ними возникло понимание.

Договор спорщиков привел их к пониманию «понятий» в рамках одного смысла. Какого субъективного или объективного? Ответить на этот вопрос Вам помогут следующие задания.

Задание 2 направлено на показ существования различного субъектного опыта, а вследствие этого и различного субъективного смысла, придаваемого словам.

Задание 2. В жизни между людьми возникает понимание или не понимание. Как Вы можете истолковать эти термины, основываясь на личном опыте?

Ответ к заданию 2.

Вариантами ответа могут быть:

1. Эти термины противоположны, понимание – это когда люди «находят общий язык», а непонимание – не находят «общий язык».
   
2. Понимание возникает, когда выражения, использующиеся в диалоге, истолковываются однозначно на доступном, известном всем участникам диалога языке, непонимание – выражения можно истолковать неоднозначно или на неизвестном (малоизвестном) для участников диалога языке.
   

У разных людей термин «понимание» может иметь разный смысл и даже разное значение, в зависимости от субъектного опыта обучаемого, а он у каждого свой – неповторимый. Кроме этого субъектный опыт человека содержит большое разнообразие житейских и научных понятий, содержание которых, как правило, наполнено субъективными смыслами. Для приведения в соответствие субъективных смыслов к объективным, отвечающим содержанию общественно-исторического опыта, целесообразно сначала понять, как устроено «понятие», каковы могут быть его трактовки.

Задание 3 направлено на осмысление трактовок термина «понятие» в различных дисциплинах, в том числе и в методике обучения математике.

Задание 3. Существуют общепринятые, научные определения термина «понятие». Перед Вами некоторые из них.

1) Прочитайте трактовки (определения) этого термина.

А. «Чтобы понять, что это за объект, достаточно знать его существенные свойства. В этом случае говорят, что имеется понятие об этом объекте. Следовательно, понятие – это целостная совокупность суждений о существенных свойствах соответствующего объекта. Эта совокупность взаимосвязанных свойств объекта (поэтому она называется целостной) называется содержанием понятия об этом объекте» [11].

Б. «Понятие - форма мысли, обобщенно отражающая предметы и явления посредством фиксации их существенных свойств» [6].

В. «Понятие – мысль, фиксирующая признаки отображаемых в ней предметов и явлений, позволяющие отличать эти предметы и явления от смежных с ними» [2].

Г. «Процесс формирования понятий включает следующие этапы: перцепт (образ восприятия); представление (вторичный образ – создается в отсутствие наглядной основы); предпонятие (образный концепт, обобщенное представление, концепт, образ – понятие, «система» представлений); понятие; систему понятий (теория). Каждый из этих этапов подчиняется определенным психологическим закономерностям, которые являются основой выделения условий организации деятельности при изучении математики» [4].

Д. «Математическое понятие – это мыслительная структура – носитель всей информации о некотором математическом объекте, главную часть которой составляет сложная система взаимосвязанных, логически упорядоченных суждений о нем. Каждое суждение в этой системе представляет собою свойство или признак понятия. Ядром такой системы является класс равносильных между собою суждений, высказанных об объекте, называемых критериями понятия» [8].

Е. «…под «знаком» или «именем» я понимаю любое обозначение, выступающее в роли имени собственного, значением которого является определенный предмет (в самом широком смысле этого слова), но не понятие и не отношение…. Обозначение одного предмета может состоять также из нескольких слов или иных знаков. Для краткости каждое такое обозначение может быть названо именем собственным.

Смысл имени собственного будет понятен каждому, кто в достаточной степени владеет языком или совокупностью обозначений, к которым оно принадлежит; однако значение имен, если таковое имеется, освещается при этом лишь с одной стороны. Всестороннее знание значения предполагало бы, что о каждом данном смысле мы могли бы сразу решить, относится ли оно к этому значению или нет. Но этого мы никогда не достигнем.

Правильная связь между знаком, его смыслом и значением должна быть такой, чтобы знаку соответствовал определенный смысл, а смыслу, в свою очередь, – определенное значение, в то время как одному значению (одному предмету) соответствует не только один знак. Один и тот же смысл выражается по-разному не только в разных языках, но и в одном и том же языке» (см. рис. 1) [10].




Рис. 1


2) Установите, к каким дисциплинам (а. философия, б. логика, в. психология, г. методика обучения математике) относятся эти определения. 3) Руководствуясь каким принципом, вы отнесли то или иное определение к выбранной дисциплине? Какие отличительные признаки лежали в основе отбора? 4) Какие ещё определения термина «понятие» вы можете назвать? Дополните список определений и соответствующих дисциплин. 5) В трактовках термина «понятие» с точки зрения методики обучения математики говорится о целостной совокупности суждений, объясните, чем это вызвано.

Ответ к заданию 3.

2. а – В, б-Б, в - Г, г - А, Б, В, Г, Д, Е. 3. В основе лежали признаки принадлежности используемых терминов к дисциплине, например, с логикой связана «форма мысли», мышления; с философией – мысль; с психологией – процесс формирования, обобщенное представление, предпонятие, восприятие; с методикой обучения математики – целостная совокупность суждений, вся информация. 4. Например. Понятие – мысль об общих и существенных свойствах и отношениях действительности; знание о сущности и происхождении предметов и явлений окружающего мира [7]. Понятие – мысль, отражающая общие и существенные признаки объекта (объект понимается здесь в широком смысле как любая целостность, включая и вещи, и процессы не только внешнего мира, но и внутреннего вплоть до галлюцинации и вымыслов) [12]. 5. В методике обучения математике в разные моменты приходится обращаться к разным дисциплинам, методика обучения математике, опираясь на другие указанные дисциплины, объединяет их знания.

Таким образом, в методике обучения математике приходится в разные моменты обращаться к разным дисциплинам. Возникают вопросы, «какой трактовкой, с какой точки зрения пользоваться и в какой последовательности?». Чтобы с этим разобраться, нужно обратиться к содержанию признаков принадлежности используемых терминов к дисциплине.

Задание 4 направлено на выявление последовательности, с точек зрения разных дисциплин, изучения термина «понятия».

Задание 4. 1. Установите соответствие между ячейками таблицы 1, понимая их содержание с позиций указанных определений термина «понятие».

Таблица 1

1. Логика	А. Форма мышления	а. Образ восприятия, представление, предпонятие, понятие
2. Психология	Б. Процесс формирования	б. Содержание и объем
3. Философия	В. Понимание	в. Значение, знак, смысл

2. Проиллюстрируйте на кругах Эйлера следующие соотношения между представленными понятиями. А) Содержание и объем понятия, Б) Образ восприятия, представление, предпонятие, понятие, В) Значение, знак, смысл понятия.

3. Из анализа первых двух подзаданий задания 4 сделайте еще один важный вывод, в какой последовательности дисциплин нужно изучать «понятие» в методике обучения математике.

Ответ к заданию 4.

1. 1-А-б, 2-Б-а, 3-В-в.

2.


Рис. 2


3. Из анализа первых двух подзаданий задания 4 можно сделать вывод: «понятие» в методике обучения математике нужно изучать в следующей последовательности дисциплин – философия, психология, логика.

А не обладает ли «понятие» какими-то общими для всех этих дисциплин характеристиками? Есть ли какая-то связь между этими характеристиками и субъектным опытом человека?

Целью задания 5 является выявление общих характеристик «понятия» вне зависимости от опыта человека и придаваемого им смысла понятия.

Задание 5. Проанализировав трактовки термина «понятие» с точки зрения субъектного опыта и различных дисциплин (философии, логики, психологии, педагогики, методики обучения математике), назовите его характеристики вне зависимости от точек зрения или укажите, что таких характеристик нет. Ответ обоснуйте.

Ответ к заданию 5.

«Анализ результатов нашего исследования показал, что интегрирование жизненного понятия влияет на процесс усвоения научного понятия: часто содержание научного понятия, не совпадающее со смыслом понятия у человека, не усваивается. Это связано с формированием смысла понятия. Любое понятие (научное) представляет собой, согласно Г. Фреге, логический треугольник, вершинами которого являются термин понятие, смысл понятия и значение понятия. Следуя Г. Фреге, под термином понятия будем понимать его языковое выражение, обозначающее понятие; под значением – определение понятия, обозначенного этим именем (в математике, в основном, это будут идеи); под смыслом – совокупность способов, которыми термин может обозначать понятие» [9].

Схематически это можно представить рисунком 3.




Рис. 3


В каждой из рассмотренных трактовок термина «понятие» указано, что понятие имеет две характеристики: 1). «Каждое понятие характеризует какие-то объекты, предметы или явления
(в указанных трактовках используются следующие термины: «явления», «процессы», «предметы»). 2). В каждом таком понятии перечислены существенные признаки предметов, явлений, объектов, характеризуемых данным понятием (в указанных трактовках используются термины – «существенные свойства», «признаки»).

Эти характеристики имеют специальные названия. Первую принято называть – объемом понятия, а вторую – содержание понятия» [3].

Итак, всякое понятие имеет объем и содержание. Так как эти характеристики имеют отношение к одному и тому же объекту – «понятию», то они взаимосвязаны (в противном случае они не могут относиться к одному и тому же объекту). Связь между объемом и содержанием понятия выражается в следующем.

1. Чем больше объем понятия, тем меньше его содержание, и наоборот: чем меньше объем, тем больше содержание понятия.

2. Объем понятия определяет значимость его содержания: если объем какого-то «понятия» пустое множество, то содержание бессмысленно, а, следовательно, оно не требует изучения.

3. Объем и содержание понятия определяют взаимозначимость, а значит, и взаимосвязь друг с другом. Изменение в содержании понятия влечет за собой изменение в объеме понятия, и наоборот.

Задание 6 направлено на то, чтобы закрепить полученные знания об объеме и содержании понятия, а также связи между ними.

Задание 6. Проиллюстрируйте на понятиях «треугольник», «равнобедренный треугольник», «49-ти градусный треугольник» связь между объемом и содержанием понятия.

Ответ к заданию 6.

1. Так, например, объем понятия «равнобедренный треугольник» меньше объема понятия «треугольник», так как «равнобедренных треугольников» меньше, чем «произвольных треугольников». К объектам первой группы выдвигается «больше» требований, чем к объектам второй группы. А вот содержание первого понятия, очевидно, больше содержания второго – «требований» – свойств больше: равнобедренный треугольник обладает не только всеми свойствами треугольника, но и особыми свойствами, присущими только равнобедренным треугольникам. 2. Если рассматривать трактовку понятия «49-ти градусный треугольник» следующим образом «49-ти градусный треугольник - это треугольник, у которого все углы равны 49°», то можно считать, что содержание понятия, вроде бы, задано, но нетрудно видеть, что объем данного понятия – пустое множество. Возникает вопрос: значим ли (необходим ли, целесообразен ли) данный термин, а значит и понятие? Отвечая на этот вопрос, напрашивается вывод, что поскольку нет ни одного объекта с указанным содержанием, то, наверное, содержание не имеет смысла. 3. Если рассматривать трактовку понятия «49-ти градусный треугольник» следующим образом – «49-ти градусный треугольник – это треугольник, содержащий один угол в 49°», то, очевидно, что объем данного понятия непустое множество, так как существуют треугольники содержащие угол 49⁰. И, казалось бы, в этом случае, что содержание является значимым. Но возникает вопрос: «Почему данного понятия нет ни в одном учебном пособии по математике?». Отвечая на этот вопрос, приходим к выводу, что никаких других особых интересных свойств, кроме указанных в определении, у данного понятия нет. У понятия «49-ти градусный треугольник» основное содержание совпадает со всем содержанием понятия. В этом случае содержание понятия «не дает право» во множестве всех треугольников выделить объем данного понятия. Другими словами, «узость» содержания понятия не дает право выделить объем данного понятия с целью его целенаправленного изучения. Вывод из этого рассуждения устанавливает связь между содержанием понятия и его объемом.

Как видно из вышесказанного, вопрос о взаимосвязи между объемом и содержанием понятия целиком зависит от содержания понятия. В содержание же понятия входит много различных существенных признаков объектов. Существенными признаками называется такая группа признаков объекта, каждый из которых, отдельно взятый, необходим, а все вместе взятые, достаточны, чтобы отличить данный объект от всех остальных, чтобы опознать его. Выделение существенных признаков и обозначение их словами, приводит к определению понятия.

Итак, представленные в данной статье материалы позволяют сделать ряд выводов. В организацию изучения методических понятий с помощью методико-математических заданий целесообразно включение этапа мотивации. Мотивация студента на изучение методических понятий не может проходить вне опоры на субъектный опыт студента, а, следовательно, в группе заданий должны присутствовать задания, активизирующие профессиональные компоненты субъектного опыта студента. В ходе методической подготовки субъектный опыт студента должен пополняться не столько новым «знаком-термином», а новым смыслом. В связи с этим мотивация изучения нового понятия заключается в необходимости выбора смысловой трактовки термина из набора определений и описаний, имеющихся в общественно-историческом опыте.

Представленный набор методико-математических заданий задает необходимый уровень мотивации, способствует изучению выбранной трактовки термина «понятие» и его конкретизации – «математическое понятие».


БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Геометрия: учебник для 7-9 кл. сред. шк. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кодомцев и др. 4-е изд. М.: Просвещение, 2002. С. 32.
   
2. Горский Д.П., Ивин А.А., Никифоров А.Л. Краткий словарь по логике / под ред. Д.П. Горского. М.: Просвещение, 1991.С. 150.
   
3. Макарченко М.Г. Задачи, определения и теоремы как понятия методики обучения математике: учеб. пособие / в авт. редакции Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та, 2004. С. 72.
   
4. Методика и технология обучения математике: курс лекций / под науч. ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой. М.: Дрофа, 2005. С. 117.
   
5. Научно-практический журнал для учащихся старшего и среднего возраста. Математика для школьников. 2010. № 3. С. 56.
   
6. Новейший философский словарь / сост. А.А. Грицанов. Мн.: Изд-во В.М. Скакун, 1998. С. 533.
   
7. Педагогика: Большая современная энциклопедия / сост. Е.С. Рапацевич. Мн.: Современ. слово, 2005. С. 447.
   
8. Профессионально-педагогическая направленность математической подготовки учителя математики в педвузах и университетах в современных условиях: мат-лы 29-го Всерос. науч. семинара преподавателей математики вузов (23-24 сентября 2010 г.) / отв. ред. В.И. Глизбург. М.: Изд-во МГПУ, 2010. С. 23.
   
9. Фреге Г. Логика и логическая семантика: учеб. пособие для студ. вузов: пер. с нем. Б.В. Бирюкова / под ред. З.А. Кузичевой. М.: Аспект Пресс, 2000.
   
10.  Фреге Г. Смысл и денотат // Семиотика и информатика. М., 1977. Вып. 8. С. 181-210.
    
11.  Фридман Л.М. Теоретические основы методики обучения математике: учеб. пособие. 2-е изд., испр. и доп. М.: Едиториал УРСС, 2005. С. 27.
    
12.  Энциклопедия профессионального образования: в 3 т. / под ред. С.Я. Батышева. М.: АПО. 1999. Т. 2. С. 291.