Математика экономического профиля

Вид материала

Содержание

Подобный материал:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Дисциплина «Информационные ресурсы»

Цель дисциплины: дать обзор информационных ресурсов Интернета и необходимые навыки для эффективного их использования в процессе обучения в вузе и дальнейшей профессиональной деятельности.

Задачи, соответствующие цели освоения дисциплины:

познакомить студентов со структурой информационных ресурсов Интернета;
познакомить студентов с работой в стандартных браузерах;
познакомить студентов приемами поиска информации с использованием популярных информационно-поисковых систем;
познакомить студентов с правовыми проблемами Интернета.

Краткое содержание дисциплины

Навигация в Интернете. Структура адресов WWW. Проблема кодировок кириллицы. Полезные навыки при работе в Интернете: антивирусная профилактика; работа с электронной почтой; использование специализированных программ для загрузки файлов. Поиск с помощью каталогов Yahoo и Апорт; простой поиск с помощью Яндекса и Google. Основы поиска информации в Интернете: объекты поиска; обзор популярных информационно-поисковых систем; общие советы при поиске; описание языка запросов; простой и расширенный поиск. Файловые архивы: программное обеспечение, музыкальные и видео- файлы, литературные коллекции. Телеконференции Groups (Usenet). Предметные кольца. Справочная информация: энциклопедии, словари и справочники; информация властных структур; обзоры СМИ; нормативно-правовая информация; cправочные финансовые системы; адреса и телефоны; транспортные расписания; электронные переводчики; кулинарные рецепты и др. Об информационном праве и регулировании интеллектуальной собственности. Правила цитирования информации в Интернете. Сетевой этикет.

Цикл обще профессиональных дисциплин

Дисциплина «Математический анализ»

Цель освоения дисциплины - формирование математической культуры студентов, фундаментальная подготовка в области математического анализа, овладение современным аппаратом математического анализа для дальнейшего применения к решению задач прикладной математики и информатики.

Задачи, соответствующие цели освоения дисциплины:

- формирование понимания значимости математической составляющей в естественнонаучном образовании бакалавра;

- формирование представления о роли и месте математического анализа в мировой культуре;

- ознакомление с системой понятий, используемых для описания важнейших математических моделей и математических методов, и их взаимосвязью;

- формирование навыков и умений использования математических моделей и методов;

- ознакомление с примерами применения математических моделей и методов.

Для освоения дисциплины используются знания, умения и виды деятельности, сформированные в процессе изучения предметов «Математика», «Информатика» на предыдущем уровне образования. Требования к входным знаниям и умениям студента – знание элементарной математики: алгебры, элементарных функций, умение дифференцировать. Дисциплина «Математический анализ», наряду с дисциплинами «Алгебра» и «Аналитическая геометрия», является фундаментом высшего математического образования. Освоение математического анализа необходимо для изучения всех дисциплин высшей математики. Знания и умения, формируемые в процессе изучения дисциплины «Математический анализ», будут использоваться в дальнейшем при освоении следующих дисциплин математического и естественнонаучного, профессионального циклов.

Краткое содержание дисциплины

Вещественные числа. Предел числовой последовательности. Предел и непрерывность функции одной переменной. Дифференцирование функций одной переменной. Исследование функции и построение её графика. Интегрирование функций одной переменной. Определённый интеграл Римана. Приложения и приближённые вычисления интеграла Римана.

Дисциплина «Алгебра»

Ц

ель освоения дисциплины – формирование у студентов прочных знаний по теории систем линейных уравнений, матриц, определителей, колец, полей, комплексных чисел, многочленов и групп; операторов, квадратичных форм; выработка практических навыков решения однородных и неоднородных систем линейных уравнений методами Гаусса и Крамера, вычисления определителей высших порядков нахождения ранга матрицы, действий над комплексными числами, преобразований из алгебраической формы в тригонометрическую; вычисления корней многочленов; приведения квадратичных форм к каноническому виду, к главным осям; приведение  - матриц к каноническому виду нахождения жордановой формы матриц; нахождения собственных векторов, ортогонализация системы векторов; вычисление определителей; воспитание у студентов культуры мышления; развитие математической культуры и интуиции.

Задачи, соответствующие цели освоения дисциплины:

- студент обязан знать и уметь использовать теорему Безу, формулы Виета, алгоритм Евклида, теорему Лагранжа, свойства линейной зависимости векторов, ранг матрицы, определители и их свойства, квадратичные формы и приведение их к каноническому виду, критерий Сильвестра, определитель Грамма,

- студент должен владеть основными понятиями и методами фундаментальных математических дисциплин, уметь применять их для решения типовых задач,

- студент иметь представление о понятиях группы, кольца и поля, поле комплексных чисел, многочленах от одного неизвестного, системах линейных уравнений и методах их решений, векторном пространстве, билинейных и квадратичных формах, собственных векторах и собственных значениях, о жордановой нормальной форме, аффинных системах координат;

Краткое содержание дисциплины

Понятие группы, кольца и поля; поле комплексных чисел.

Группа подстановок; четность подстановки; циклические группы; разложение группы на смежные классы по подгруппе; теорема Лагранжа.

Системы линейных уравнений; свойства линейной зависимости; ранг матрицы; определители, их свойства и применение к исследованию и решению систем линейных уравнений; кольцо матриц и группа невырожденных матриц.

Кольцо многочленов; деление многочленов с остатком; теорема Безу; кратность корня многочлена, ее связь со значениями производных; разложение многочлена на неприводимые множители над полями комплексных и действительных чисел; формулы Виета; наибольший общий делитель многочленов, его нахождение с помощью алгоритма Евклида; кольцо многочлена от нескольких переменных; симметрические многочлены; рациональные дроби.

Векторные пространства; базис и размеренность; подпространства; сумма и пересечение подпространств; прямые суммы; билинейные и квадратичные формы; приведение квадратичной формы к нормальному виду; закон инерции; положительно определенные квадратичные формы; критерий Сильвестра; ортонормированные базисы и ортогональные дополнения; определители Грама и объем параллелепипеда.

Линейные операторы; собственные векторы и собственные значения; достаточные условия приводимости матрицы линейного оператора к диагональному виду; понятие о жордановой нормальной форме; самосопряженные и ортогональные (унитарные) операторы; приведение квадратичной формы в евклидовом пространстве к каноническому виду.

Аффинные системы координат; линейные многообразия, их взаимное расположение; квадрики (гиперповерхности второго порядка), их аффинная и метрическая классификация и геометрические свойства.

Примеры групп преобразований: классические линейные группы, группа движений и группа аффинных преобразований, группы симметрии правильных многоугольников и многогранников в трехмерном пространстве; классификация движений плоскости и трехмерного пространства.

Дисциплина «Аналитическая геометрия»

Цель дисциплины - формирование у студентов прочных знаний по основам аналитической геометрии, векторах, смешанном, векторном и скалярном произведениях векторов, прямой линии на плоскости и в пространстве, приведении уравнений линий второго порядка к каноническому виду, аффинных преобразованиях, классификациях движений на плоскости, поверхностях второго порядка, проективной плоскости; развитие математической культуры и интуиции.

Задачи, соответствующие цели освоения дисциплины:

- студент обязан знать и уметь использовать основные формулы и методы аналитической геометрии; геометрии на прямой и плоскости; геометрии в пространстве;

- студент должен владеть основными понятиями и методами фундаментальных математических дисциплин, уметь применять их для решения типовых задач;

- студент должен иметь представление об аффинной геометрии, проективной геометрии.

Краткое содержание дисциплины

Векторы, их сложение и умножение на число; линейная зависимость векторов и ее геометрический смысл; базис и координаты; скалярное произведение векторов; переход от одного базиса к другому; ориентация; ориентированный объем параллелепипеда; векторное и смешанное произведение векторов.

Системы координат; переход от одной системы координат к другой; уравнение прямой линии на плоскости и плоскости в пространстве; взаимное расположение прямых на плоскости и плоскости в пространстве; прямая в пространстве.

Квадратичные функции на плоскости и их матрицы; ортогональные матрицы и преобразования прямоугольных координат; ортогональные инварианты квадратичных функций; приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду; директориальное свойство эллипса, гипербола и парабола; пересечение линий второго порядка с прямой; центры линий второго порядка; асимптоты и сопряженные диаметры; главные направления и главные диаметры; оси симметрий.

Определение и свойства аффинных преобразований; аффинная классификация линий второго порядка; определение и свойства изометрических преобразований; классификация движений плоскости.

Теорема о канонических уравнениях поверхностей второго порядка (без доказательства); эллипсоиды; гиперболоиды; параболоиды; цилиндры; конические сечения; прямолинейные образующие; аффинная классификация поверхностей второго порядка.

Пополненная плоскость и связка; однородные координаты; линии второго порядка в однородных координатах; проективные системы координат; проективные системы преобразований; проективная классификация линий второго порядка.

Дисциплина «Линейная алгебра и геометрия»

Цель дисциплины - формирование у студентов прочных знаний по основам теории квадратичных форм, линейных пространств, линейных преобразований линейных пространств; выработка практических навыков приведения квадратичных форм к каноническому виду и к главным осям, нахождения жордановой формы матриц, собственных векторов, ортогонализации системы векторов, применения методов линейной алгебры в задачах дифференциальной геометрии, топологии, функционального анализа и т.д.

Задачи, соответствующие цели освоения дисциплины - студент обязан знать и уметь использовать линейную алгебру и геометрию; владеть основными понятиями и методами; уметь применять их для решения задач.

Краткое содержание дисциплины

Линейные пространства: понятие линейного пространства, зависимость векторов: размерность и базис векторного пространства; изоморфность векторных пространств одинаковой размерности; подпространства векторного пространства; линейная оболочка и ранг системы векторов; пересечение и сумма подпространств; прямая сумма; линейные функции; сопряженное пространство; дуальный базис; линейные отображения векторных пространств, их задание матрицами; ядро и образ линейного отображения; условие существование линейного отображения; линейные операторы; действия над ними; матрицы оператора в различных базисах; инвариантные подпространства; собственные векторы и собственные значения; характеристический многочлен линейного оператора; теорема Гамильтона-Кэли.

Ж

орданова клетка: корневые пространства; разложение в прямую сумму; теорема о жордановой нормальной форме матрицы линейного оператора в комплексном и в вещественном пространстве; единственность жордановой нормальной формы; необходимое и достаточное условие диагонализируемости матрицы; полилинейные функции на векторном пространстве : общее понятие о тензорах; координаты тензора; переход от одной системы координат к другой; задание тензоров типа /2.0/ (билинейных функций) матрицей; квадратичные и эрмитовы формы; приведение симметрических билинейных форм к каноническому виду; закон инерции; положительно определенные формы; критерий Сильвестра; свертка тензора; симметрические и кососимметрические тензоры; операция симметрирования и альтернатирования; внешнее умножение; внешняя алгебра; связь с определителями; ориентация конечномерного векторного пространства.

Евклидовы и унитарные векторные пространства: длина вектора и угол между векторами; неравенство Коши-Буняковского; ортонормированные базисы; процесс ортогонализации; ортогональные и унитарные матрицы; примеры; изоморфность унитарных пространств одинаковой размерности; соответствие между билинейными формами и линейными операторами; линейный оператор сопряженный к данному; симметрические и эрмитовы линейные операторы; их спектр; существование собственного ортонормированного базиса; приведение квадратичной (эрмитовой) формы к главным осям; ортогональные и унитарные линейные операторы; канонический базис для них.

Аффинные (точечные) пространства: системы координат; плоскости в аффинном пространстве; их задание системами линейных уравнений; расстояние между точками евклидового пространства; расстояние от точки до плоскости; объем в евклидовом пространстве; объем параллелепипеда и определитель Грамма; аффинные отображения: их запись в координатах; разложение аффинного преобразования в произведение сдвига и преобразования, оставляющего на месте точку; геометрический смысл определителя аффинного преобразования; движение евклидового пространства; классификация движений; теоретико-групповая точка зрения на геометрию; аффинная и евклидовая геометрия; квадрики (гиперповерхности второго порядка) в аффинном пространстве: классификация квадрик в аффинной и евклидовой геометриях; невырожденные центральные квадрики; асимптотические направления; геометрические свойства главных осей эллипсоида; проективное пространство произвольной размерности, различные модели; однородные координаты; аффинные карты проективного пространства; проективные преобразования и проективная группа; квадрики в проективном пространстве, их квалификация.

Дисциплина «Дискретная математика»

Цель освоения дисциплины – развитие логического мышления и математической культуры студентов путем исследования и разработки математических моделей, алгоритмов, методов, программного обеспечения, инструментальных средств по тематике проводимых научно-исследовательских проектов на основе знаний, умений, полученных по дискретной математике.

Задачи, соответствующие цели освоения дисциплины:

- формирование знаний по основам теории алгоритмов, кодирования, теории графов и сетей,

- выработка практических навыков построения графов и матриц графов,

- применение теории кодирования, задания булевых функций;

- воспитание культуры мышления;

- развитие математической культуры и интуиции.

Краткое содержание дисциплины

Алгебра логики: булевы функции, табличный способ задания; существенные и несущественные переменные; формулы, реализация функций формулами; эквивалентность формул; элементарные функции и их свойства; принцип двойственности; разложение булевых функций по переменным; нормальные формы; полиномы Жегалкина, представление булевых функций полиномами; полнота и замкнутость, важнейшие замкнутые классы; теорема о полноте; предполные классы; базис, примеры базисов

Графы: основные понятия; способы представления графов; перечисление графов; оценка числа неизоморфных графов с q ребрами; эйлеровы циклы; теорема Эйлера; укладки графов; укладка графов в трехмерном евклидовом пространстве; планарность; теорема Понтрягина-Кура-товского; формула Эйлера для плоских графов; раскраски графов; деревья и их свойства; оценка числа неизоморфных корневых деревьев с q ребрами.

Теория кодирования: побуквенное кодирование; разделимые коды; префиксные коды; критерий однозначности декодирования; неравенство Крафта-Макмиллана для разделимых кодов; условие существования разделимого кода с заданными длинами кодовых слов; коды с минимальной избыточностью; теорема редукции; самокорректирующиеся коды; коды Хемминга, исправляющие единичную ошибку; геометрические свойства кодов Хемминга; линейные коды и их простейшие свойства.

С

хемы из функциональных элементов (СФЭ): СФЭ в базисе (&;V;′ ); реализация функций алгебры логики схемами из функциональных элементов; сложность СФЭ; дешифратор порядка п; мультиплексор порядка п; универсальный многополюсник порядка п; схемный шифратор порядка п; сумматор, и вычитатель порядка п; умножитель порядка п , теорема Карацубы; задача построения минимальных СФЭ и подходы к ее решению; функция Шеннона, порядок функции Шеннона.

Элементы теории автоматов: Автоматные функции; их реализация СФЭ и элементов задержки. Эксперименты с автоматами. Теорема Мура.

Дисциплина «Математическая логика»

Цель освоения дисциплины - формирование прочных знаний по основам теории высказываний, исчисления предикатов, формальной арифметике и теории алгоритмов; выработка практических навыков преобразования формул логики высказываний с помощью основных равносильностей; построения вывода формул исчисления предикатов; формализации рассуждений с помощью символов математической логики и умение самостоятельно определять правильность умозаключения; воспитание культуры мышления; развитие математической культуры и интуиции.

Задачи, соответствующие цели освоения дисциплины:

- студент обязан знать приложение алгебры логики; аксиоматические теории; связь между алгеброй высказываний и исчислением высказываний; проблемы аксиоматического исчисления высказываний; теорему дедукции; свойства алгоритмов;

- студент должен уметь преобразовывать формулы алгебры высказываний с помощью равносильностей; устанавливать связи между двойственными формулами; составлять ДНФ, СДНФ, ДНФ, СДНФ; применять язык логики предикатов для записи математических предложений, определений; строить машину Тьюринга;

- студент должен иметь представление об основных разделах дисциплины, что включает: оптимальные и самокорректирующиеся коды, автоматы, машины Тьюринга, алгоритмически неразрешимые проблемы, исчисление высказываний, предикаты, исчисление предикатов.

Краткое содержание дисциплины

Алгебра логики. Понятие высказывания. Язык математических и логических законов. Логические связки. Равносильные формулы.

Алгебра Буля. Функции алгебры логики. Закон двойственности.

ДНФ, СДНФ, ДНФ, СДНФ . Проблема разрешимости.

Исчисление высказываний. Доказуемая формула. Правило вывода. Доказательство законов логики. Проблемы аксиоматического исчисления высказываний.

Формулы логики предикатов. Свободные и связные переменные. Кванторы всеобщности и существования. Проблема разрешимости для общезначимости и выполнимости. Применения языка логики предикатов для записи математических предложений, определений.

Теории первого порядка. Модель теории. Изоморфизм интерпретаций. Категоричность теории.

Непротиворечивость исчисления предикатов. Теорема Геделя о неполноте.

Алгоритмы. Вычислимые функции. Машины Тьюринга. Нормальные алгоритмы Маркова. Неразрешимые алгоритмические проблемы.

Дисциплина «Дифференциальные уравнения»

Цель дисциплины – обучение студентов фундаментальным методам современной количественной и качественной теории дифференциальных уравнений как средства математического моделирования детерминированных явлений.

Задачи, соответствующие цели освоения дисциплины:

ознакомить студентов с теорией обыкновенных дифференциальных уравнений;
выработать у студентов навыки математического моделирования реальных явлений с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений;
показать возникающие принципиальные трудности при переходе от реального объема к его математической идеализации, показать разницу между «хорошими» и «плохими» моделями;
показать, как синтез классических методов теории дифференциальных уравнений с современными идеями качественных, численных и асимптотических методов позволяет получать представление о проведении решений достаточно сложных модельных уравнений;
п

ривить студентам умение самостоятельно изучать учебную и научную литературу в области математики.

Краткое содержание дисциплины

Введение. Основные понятия и определения. Примеры возникновения дифференциальных уравнений. Математическая модель процесса или явления как объект исследования в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Задачи анализа и геометрии. Естествознание как источник основных представлений теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Математические модели детерминированных явлений. Идеология построения адекватных моделей сложных явлений.

Дифференциальные уравнения первого порядка. Поле направлений. Изоклины, ломаные Эйлера. Общее и частное решение, общий интеграл. Однопараметрические семейства интегральных кривых. Задача Коши. Существование и единственность решения задачи Коши. Ортогональная и изогональная траектории. Теоремы о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от параметров и начальных условий. Дифференцируемость решений по начальным условиям и параметрам. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним. Однородные уравнения и приводящиеся к ним. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли и Риккати, методы их решения, наличие особых решений. Уравнения в полных дифференциалах и приводящиеся к ним. Интегрирующие множители. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Постановка задачи Коши, существование и единственность ее решения. Уравнения Лагранжа и Клеро. Особые решения.

Уравнения n-го порядка. Задача Коши, граничные задачи. Общий интеграл, общее решение, промежуточные интегралы. Понижение порядка уравнения с помощью интегралов. Интегрирование уравнений. Приведение уравнения n-го порядка к системе уравнений первого порядка.

Линейные уравнения n-го порядка. Линейные модели и принцип линеаризации. Теорема Коши для линейных уравнений. Фундаментальная система решений, теорема о ее существовании. Общее решение однородных уравнений. Общее решение неоднородных уравнений. Метод вариации постоянных. Формула Остроградского-Лиувилля. Формула Абеля. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристические уравнения, построение фундаментальной системы решений. Метод неопределенных коэффициентов. Линейный осциллятор, понятие о резонансе.

Нормальные системы дифференциальных уравнений. Система уравнений высших порядков. Система уравнений первого порядка. Каноническая система уравнений высших порядков. Системы в симметрической форме. Нормальная система уравнений. Теорема Коши для нормальной системы. Свойства решений нормальной системы. Теорема о степени гладкости решений. Теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных данных и параметров. Теоремы о дифференцируемости решений по начальным условиям и параметрам. Теория интегралов нормальной системы.

Системы линейных дифференциальных уравнений. Теорема Коши для линейных систем уравнений. Фундаментальная система решений, теорема о ее существовании. Общее решение однородных систем. Общее решение неоднородных систем. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные системы с постоянными коэффициентами. Характеристические уравнения, построение фундаментальной системы решений. Метод неопределенных коэффициентов. Линейные системы с периодическими коэффициентами.

Устойчивость решений дифференциальных уравнений и систем. Определения устойчивости. Теоремы Ляпунова об устойчивости, асимптотической устойчивости, неустойчивости. Теорема Четаева о неустойчивости. Устойчивость по первому приближению. Автономные системы и ее свойства. Динамические системы, связь между фазовыми кривыми и интегральными кривыми, автономные динамические системы. Окрестности положений равновесия автономной динамической системы двух уравнений первого порядка. Фазовая плоскость. Типы особых точек на фазовой плоскости, понятие о грубой системе.

Построение приближенных решений дифференциальных уравнений. Обзор методов приближенного построения решений квазиинтегрируемых систем: прямые оценки, метод малого параметра, метод усреднения. Схема Ван-дер-Поля. Теорема Боголюбова для «стандартных» систем. Понятие об эволюционных переменных.

У

равнения с частными производными. Особенности решений, сравнение с обыкновенными дифференциальными уравнениями. Задача Коши. Уравнения первого порядка: линейные, квазилинейные уравнения. Геометрические представления в трехмерном пространстве.

Дисциплина «Дифференциальная геометрия»

Blog

Математика экономического профиля

Содержание