ЭЛЕМЕНТЫ КРИПТОГРАФИИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ И НЕКОТОРЫЕ КОМПЬЮТЕРНЫЕ ПРОГРАММЫ
Н. И. Мерлина, Н.С. Любимова
Чувашский государственный университет им. И. Н. Ульянова, г. Чебоксары, e-mail: merlina@cbx.ru
«Великая держава – это страна, которая владеет ядерными технологиями, ракетными технологиями и криптографией»
Дэвид Кан [4]
Криптография – наука о шифрах. На протяжении тысячи лет криптография была засекречена и использовалась только в государственных и военных целях. Однако в настоящее время эта наука широко используется в электронной почте, в системах банковских платежей, при торговле через Internet. В современном мире компьютерных технологий очень много информации финансового, коммерческого и персонального типа храниться в компьютерных банках данных. В связи с этим возникает огромная потребность в сокрытии этой информации от чужих глаз. В этом нам и помогает криптография. Но что мы знаем о криптографии?
Первые коды появились еще в глубокой древности. Уже в V веке до н. э. историк Геродот приводил примеры писем, которые мог прочитать только адресат. В том же веке, во время войны Спарты против Афин, спартанцами был изобретен специальный прибор, с помощью которого шифровалось сообщение – сцитала. Собственная секретная азбука была и у Юлия Цезаря. А такой великий человек как Леонардо да Винчи вел свои записи зеркальным образом.
Долгое время криптографией занимались только чудаки-одиночки. Это были знаменитые ученые, дипломаты и даже священнослужители. Хотя в истории известны случаи, когда занятие криптографией считалось черной магией.
С течением времени стали появляться более сложные шифры. В средние века и эпоху Возрождения разработкой новых шифров занимались такие великие люди, как философ Фрэнсис Бэкон, крупные математики Франсуа Виет, Джероламо Кардано, Джон Валлис [1]-[5].
С появлением компьютеров, криптография стала совершенно иной [7], [9]. Сегодня компьютер прочно вошел в нашу жизнь. Его изучение в школе начинается уже с начальных классов. Здесь учат печатать тексты, использовать различные программы, производить вычисления. К сожалению, наши школы не учат защищать информацию. Этой цели может служить один из элективных курсов: «Элементы криптографии в школьном курсе математики и некоторые компьютерные программы».
Курс «Элементы криптографии в школьном курсе математики и некоторые компьютерные программы» предлагается для поддержки основных дисциплин (математики, информатики). Программа курса рекомендуется в 9 – 11-х классах гуманитарного и естественно-математического профиля. Содержание курса написано простым и доступным для учащихся языком, поэтому курс можно рекомендовать для самостоятельного изучения. В процессе знакомства с содержанием курса, как учитель, так и учащиеся имеют возможность использовать различные учебники и компьютерные программы.
Элективный курс рассчитан на одно полугодие – 70 часов (2 часа в неделю). В зависимости от того, в каком профильном классе преподается курс, учитель может изменять его по своему усмотрению.
В настоящее время книг по криптографии достаточно, но большинство из них рассчитаны на учащихся технических ВУЗов. Данный элективный курс рассчитан на школьников. Для изучения этого курса достаточно элементарных математических знаний. Использование программ помогает облегчить изучение шифров.
Основной целью данного курса является обучение учащихся зашифровыванию информации, так и расшифровыванию ее. При разработке курса, помимо основной цели ставилась и побочная цель – обучить учащихся программированию.
Основные задачи изучения элективного курса:
развитие у ученика логики мышления, интуиции и творческих способностей;
овладение системой знаний и умений по криптографии для последующего обучения ее в ВУЗах;
применение компьютера для эффективного шифрования информации;
изучение математического пакета Maple для последующего его применения в шифровании данных.
Курс «Элементы криптографии в школьном курсе математики и некоторые компьютерные программы» содержит три главы: элементы истории криптографии, элементы криптографии в школьном курсе математики, использование Maple при изучении криптографии.
Первая глава посвящена элементам истории криптографии. В ней изложен вопрос возникновения первых кодов, одним из которых является шифр «Сцитала». Чтобы зашифровать текст этим кодом, спартанцами был изобретен специальный прибор – жезл, представляющий собой цилиндр. На этот цилиндр без просветов наматывалась узкая папирусная лента. Затем, вдоль оси цилиндра, на ленту записывался необходимый для передачи текст. Лента разматывалась и передавалась адресату. Тот, в свою очередь, брал точно такую же сциталу и без труда прочитывал сообщение. Если же лента попадалась в руки непосвященного, то ему казалось, что поперек ленты в беспорядке написаны какие-то буквы.
Во времена эпохи Возрождения над криптографией трудились многие известные люди. Среди них математик Джероламо Кардано, который изобрел новую систему шифрование – «решетка Кардано». Так же шифрами занимался крупный математик Франсуа Виет. Этим и многим другим ученым, которые внесли огромный вклад в криптографию, уделено большое внимание в первой главе.
В этой главе показано становление криптографии как науки, от самой глубокой древности, когда ею занимались единицы, до наших дней, когда криптография стала массовой наукой.
Вторая глава - элементы криптографии в школьном курсе математики. На изучение этой главы предусмотрено 40 часов. Она разбита на несколько основных частей: шифры замены, шифры перестановки, многоалфавитные шифры замены. Каждая часть несет в себе определенную информацию, которая учит нас обращаться с разными видами шифров.
Проиллюстрируем эту главу. Первый параграф посвящен шифрам замены. Именно эти шифры являются наиболее известными и часто используемыми. К ним относится и код Юлия Цезаря, который известен из истории как один из первых шифров. Суть этого кода состоит в том, что весь алфавит сдвигается на некоторое число букв влево или вправо. Если величина сдвига равна 3, а сам сдвиг производиться вправо, то выражение «Код Цезаря» мы можем зашифровать как «Злб Увеэнь». К сожалению, этот код легко расшифровать, поэтому в настоящее время им пользуются очень редко.
В главе также описаны шифры, используемые в художественной литературе. Все мы в детстве зачитывались приключениями великого сыщика – Шерлока Холмса. Но мало кто догадывался, что в рассказе «Пляшущие человечки» использованы элементы криптографии. А рассказ «Золотой жук» Эдгара По является ярким примером использования в литературе частотного анализа. Ученик, следуя героям литературных произведений, может шаг за шагом проследить, как производиться дешифровка текста. Это способствует лучшему развитию у учеников понятий криптографии.
Но шифры замены имеют серьезный недостаток – их очень легко расшифровать. Поэтому, их используют в комбинации с другими шифрами. Например, с шифрами перестановки, которым и посвящен следующий параграф главы. Шифрами перестановки называются шифры, преобразования из которых изменяют только порядок следования символов исходного текста, но не изменяют их самих.[5]. Зная подстановку, с помощью которой задается преобразование, можно как зашифровать, так и расшифровать текст. Если используется подстановка
то в соответствии с ней слово «перестановка» можно зашифровать как «ревкноатсепа». Этот же подход был использован Дэном Брауном в нашумевшем произведении «Код да Винчи». Один из его героев – Жак Соньер, слывший большим почитателем криптографии, зашифровал свое посмертное сообщение в виде анаграммы. Мало кто знает, что на анаграммах основывались учения каббалы, а короли эпохи Ренессанса вводили специальную должность анаграммистов.
Еще один важный параграф второй главы – многоалфавитные шифры замены. Один из таких шифров был описан Блезом де Виженером в его «Трактате о шифрах». Система Виженера похожа на систему Цезаря, но в ней ключ меняется от шага к шагу. К подобным шифрам относится и квадрат Бьюфорта. Строками этого квадрата являются строки квадрата Виженера, которые записаны в обратном порядке. Метод вскрытия таких шифров был изобретен немецким криптоаналитиком Ф. У. Казизки и получил название - метод Казизки.
Третья глава - использование Maple при изучении криптографии. На ее обучение выделено 25 часов. В этой главе содержатся некоторые сведения по математическому пакету Maple [6],[8], необходимые для создания программ. Основными параграфами главы являются: знакомство со структурой Maple, аналитические преобразования, программирование в Maple. В параграфе знакомство со структурой Maple описаны работа с Maple и ее интерфейс, основные объекты. Параграф программирование в Maple поможет ученику не только понимать программы, написанные другими людьми, но и научит составлять свои собственные программы.
Так же в главе содержаться уже готовые программы по криптографии, написанные в пакете Maple [6]. Некоторые из этих программ можно найти на сайте по адресу ссылка скрыта. Другие программы были написаны автором разработки курса. Среди них программа зашифровки и расшифровки сообщения методом Цезаря, и некоторые другие.
Эта глава предназначена в помощь в изучении криптографии. После ее прохождения, учащийся сможет самостоятельно составить программы по любой теме криптографии.
В курсе «Элементы криптографии в школьном курсе математики и некоторые компьютерные программы» приведено очень много примеров, обеспечивающих наглядность теории. Так же в курсе содержится множество задач на все темы теории. Например, задача на тему шифры перестановки.
Задача: Ключом шифра, называемого “решеткой”, является прямоугольный трафарет размера 6×10. В трафарете 15 разрезов таких, что при наложении его на прямоугольный лист бумаги четырьмя возможными способами его вырезы полностью покрывают всю площадь листа.
Буквы сообщения последовательно вписываются в вырезы трафарета при каждом из четырех его возможных положений. Прочтите исходный текст, если после зашифрования получили следующий текст:
в
а
э
л
я
т
о
ю
а
ш
я
и
л
и
р
-
е
ш
в
-
-
е
ы
ф
-
т
е
р
-
к
г
п
-
а
о
о
-
п
р
в
о
о
а
з
р
г
о
т
-
а
-
н
з
-
-
д
р
-
д
а
Ответом на этот шифр является текст “Это шифр поворотная решетка. Поздравляю, вы его разгадали”.
Правильная подборка задач помогает закрепить изученный материал и подготовить ученика к олимпиаде по криптографии. Подобные олимпиады проводятся с 1992 года в Москве. Подробности можно найти на сайте ссылка скрыта. Ежегодно, с 2001 года заочные олимпиады по криптографии и математики проводятся в Саратовском государственном университете.
Литература
Аршинов М. Н., Садовский Л. Е. Коды и математика.//Квант, 1983, выпуск 30.
Баричев С., Серов Р. Основы современной криптографии. – М.: Горячая линия – Телеком, 2001.
Берлекэмп Э. Алгебраическая теория кодирования. – М.: Мир, 1971.
Брассар Ж. Современная криптология. – М.: Издательско-полиграфическая фирма Полимед, 1999.
Введение в криптографию. Под общ. ред. Ященко В.В. – М.: Просвещение, 1999.
Говорухин В. Н., Цибулин В. Г. Введение в Maple.Математический пакет для всех. – М.: Мир, 1997.
Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. – М.: Научное изд-во ТВП, 2001.
Матросов А. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. – С.-Пб.: БХВ- Петербург, 2001.
Саломаа А. Криптография с открытым ключом. – М.: Мир, 1995.
