Geum.ru

История возникновения тригонометрии

Вид материалаРеферат

Содержание


Теория пределов
Лишь в XIX веке в работах
Метод координат
Работы Декарта были подготовлены работами его соотече­ственника
Теоремы, аксиомы, определения
Крест под квадратным камнем —
Напротив, крест над квадратным
Индо-буддистские символы медитации
Подобный материал:
1   2   3   4

Теория пределов


Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось еще учеными Древней Греции при вычислении площадей и объемов раз­личных геометрических фигур. Методы решения таких задач в основном были развиты Архимедом.

При создании дифференциального и инте­грального исчислений математики XVII века (и, прежде всего, И. Нью­тон) также явно или неявно использовали понятие предельного перехода. Впервые определение понятия предела было введено в работе Дж. Валлиса «Арифметика бесконечных величин» (XVII век), однако истори­чески это понятие не лежало в основе дифференциального и интеграль­ного исчислений.

Лишь в XIX веке в работах О. Коши теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа. Дальнейшей разработкой теории пределов занимались К. Вейерштрасс и Б. Больцано.

С помощью теории пределов во второй половине XIX века было, в частности, обосновано использование в анализе бесконеч­ных рядов, которые явились удобным аппаратом для построения новых функций.


Метод координат


Понятие прямоугольной системы координат на плоскости впервые появилось в геометрии еще до начала нашей эры. С ее помощью мате­матик Александрийской школы Аполлоний определял и изучал кривые второго порядка — эллипс, гиперболу и параболу.

В XVIII веке французский философ и математик Р. Декарт (и одновременно с ним П. Ферма) ввел правило выбора знаков в прямоугольной системе координат и заложил основы аналитической геометрии на плоскости — раздела математики, устанавливающего связь между алгеброй и гео­метрией.

Работы Декарта были подготовлены работами его соотече­ственника Ф. Виета, который впервые ввел в алгебру буквенные обозначения (как известных, так и неизвестных величин).

Аналити­ческая геометрия сыграла важную роль в развитии понятия числа: благодаря правилу выбора знаков координат отрицательные числа, которые не признавало большинство математиков средневековья по­лучили наглядное изображение и окончательно утвердились в мате­матике. В последующем применение прямоугольной декартовой си­стемы координат сыграло решающую роль при утверждении в мате­матике комплексных чисел.


Теоремы, аксиомы, определения


Рассуждение, устанавливающее какое-либо свойство, называется доказательством. Доказываемое свойство называется теоремой. При доказательстве геометрической теоремы мы опираемся на ранее установленные свойства. Некоторые из них в свою очередь являются теоремами; некоторые же считаются в геометрии основными и принимаются без доказательства. Свойства, принимаемые без доказательства, называются аксиомами.

Аксиомы возникли из опыта, и опыт же проверяет истинность аксиом в их совокупности. Проверка состоит в том, что все теоремы геометрии оказываются согласными с опытом; этого не случилось бы, если бы система аксиом была ложной.

Ни одно геометрическое свойство, взятое в отдельности, не является аксиомой, так как его всегда можно доказать на основании других свойств. Так, в геометрии обычно принимается за аксиому следующее свойство параллельных прямых: через одну и ту же точку нельзя провести две различные прямые, параллельные одной и той же прямой (аксиома параллельности). На основании этой аксиомы (и ряда других) доказывается, между прочим, такое свойство треугольника: сумма углов треугольника равна 180°. Между тем мы могли бы последнее свойство принять за аксиому вместо аксиомы параллельности (оставив остальные аксиомы прежними). Тогда упомянутое свойство параллельных прямых можно доказать и оно станет теоремой.

Таким образом, систему аксиом можно выбирать различными способами. Нужно только, чтобы взятых аксиом было достаточно для вывода всех прочих геометрических свойств. В геометрии стремятся число аксиом по возможности уменьшить. Это делается для того, чтобы уяснить логические, связи между отдельными свойствами.

Аксиомы предпочтительно выбираются из числа простейших геометрических свойств. Впрочем, по вопросу о простоте того или иного свойства мнения могут быть различны. Некоторые понятия в геометрии мы принимаем за начальные, их содержание можно выяснить только из опыта (таково, например, понятие точки). Все остальные понятия мы выясняем, опираясь на начальные. Такие объяснения называются определениями. Каждое геометрическое определение опирается либо непосредственно на начальные понятия, либо на понятия, определенные прежде.

Одно и то же геометрическое понятие можно определять различно. Например, диаметр окружности можно определить как хорду, проходящую через центр, или как хорду наибольшей длины. Приняв за определение одно из этих свойств, можно доказать другое. Предпочтительно взять за определение простейшее свойство; впрочем, и здесь невозможно обеспечить всеобщее согласие.

Геометрические фигуры, как символы

Квадрат



Квадрат, иногда называется «четырехугольником» (греч. тетрагон). Геометрический символ, выражающий ориентацию человека в пространстве и направление относительно жизненной сферы света и их сверхъестественных стражей в смысле «четырехкратного определения местоположения». Так же, как и в случае креста, в квадрате на первом месте находится желание сориентироваться в мире, кажущемся хаотическим, посредством введения направлений и координат. Квадрат охотно применяют как знак материального мира, составленного из четырех стихий, которые, в свою очередь соответствуют четырем сторонам света. Изображение трактуемой таким образом материи становится еще более убедительным, если внутрь квадрата вписать крест, в такой форме оно будет напоминать нам о кресте на могиле, об окне тюрьмы, о том, что все проходит.

Крест под квадратным камнем — символ тяжести земли, представления, что нет в мире ничего иного, кроме прихотливой игры стихий, что мир — ад, безнадежная пропасть, темница, Тартар.

Напротив, крест над квадратным камнем — символ надежды, это дерево жизни, которое пробилось из могилы, это возможность искупления, воскресения. Нередко этим знаком обозначали «философский камень», который будто бы может дарить бессмертие и вечную молодость. Квадратура несет в себе принцип упорядочивания и в дуалистической системе является противоположностью кругу, который считается верным сторонником небесных сил. Легендарная «квадратура круга» (а именно — превращение круга с помощью геометрических инструментов в равный по площади квадрат) символизирует желание свести оба элемента, «небесное» и «земное», в одну идеальную гармонию (лат. concidentia oppositorum, конциденция оппозиторум).

Многие храмы имеют в основании квадратный план и своей ступенчатой архитектурой должны соответствовать космической горе, таковы, например, сооружения храмов Ангкор в Камбодже. В сочетании с кругом квадрат нашел выражение в плане храма Неба в Пекине (Бей-джин) или в яванском Боробудуре. Таинственные города, как, например, «небесный Иерусалим» в Апокалипсисе Иоанна или «Христианополис» Й. В. Андреса (XVII в.), отражают тип идеального города, на который ориентировалось еще древнеримское градостроительство с его регулярными городскими кварталами. Оно считалось олицетворением соответствующего человеку космоса, в центре которого представляется небесный столп (мировая ось). В Древнем Китае, Персии и Месопотамии земля мыслилась квадратной, в Древней Индии она называлась «хатуранта» (четырехконечная). По древнекитайскому преданию, некогда квадрат, разделенный на девять полей, «План реки», хоту, космологический «магический квадрат» вышел из Хуанхэ. Такие квадраты в Древнем мире по разному поводу конструировались из букв и чисел, при этом гармония конечных сумм или заменяемая читаемость букв символизировали созвучие с законами архитектуры миров.

Четырехкратная ориентация картины мира находит выражение и в играх, например в древнемексиканской игре патолли или в древних как мир шахматах. Но еще отчетливее она проявляется в игре в «мельницу», поле которой состоит из трех концентрических нарисованных квадратов с соединительными перекладинами (иногда в точках углов, а обычно только в центре отдельных сторон) и встречается в виде высеченных наскальных рисунков в альпийском регионе (Австрия, Италия), во Франции, Англии (остров Мэн), на Балканах, в Афганистане (область Памира), а также на доисторической керамике (культура Виллановы и Эсты, Италия) и на беотийских фигурах идолов. В виде наскального рисунка ее находят не только на горизонтальных поверхностях, но и на отвесных стенах и поэтому в нее не всегда можно «играть». Поэтому символическая ценность, превышающая значение игровой доски, неопровержима и распознается только в связи со старыми картинами-космограммами.

Индо-буддистские символы медитации мандалы в большинстве случаев соединяют в себе круг как символ озарения (бодхи) с направлением взгляда на общину (сангха) и с квадратом в гармоничную целостную фигуру (янтра)