А. М. Мубараков

Вид материала

Содержание

3.3.2 Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа. Работа и мощность постоянного тока
Первое правило Кирхгофа
Второе правило Кирхгофа
IR входит в уравнение со знаком плюс, в противном случае произведение IR
Элементом тока
B индукции магнитного поля, как силы, которая действует на элемент длины проводника с током I
Магнитной цепью
Магнитный поток
S, расположенной перпендикулярно к вектору В

Подобный материал:

1 ... 16 17 18 19 20 21 22 23 ... 48

3.3.2 Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа. Работа и мощность постоянного тока

Законы Ома позволяют рассчитать несложные линейные цепи, состоящие из источников, проводников и потребителей электрического тока. Расчет разветвленных цепей, содержащих несколько замкнутых контуров, каждый из которых имеет несколько э.д.с, несколько потребителей электрической энергии сложен.

Разветвленные электрические цепи имеют ряд особых точек, называемых узлами электрической цепи, где соединены между собой более двух проводников. Ветвью называют участок цепи, расположенный между двумя соседними ее узлами.

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю, т. е.

∑I_k= 0,

(3.78),

где п — число токов, сходящихся в узле.

Второе правило Кирхгофа: в замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех участках контура равна алгебраической сумме электродвижущих сил, т. е.

∑I_kR_k = ∑ ε_k,

(3.79),

где I_k — сила тока на k-м участке; R_k — активное сопротивление яа k-м участке; ε_k,- э. д. с. источников тока на k -м участке, п— число участков, содержащих активное сопротивление; i — число участков, содержащих источники тока.

Рассмотрим особенности расчета разветвленных электрических цепей. В качестве примера используем схему (рисунок - 3.23), в которой два источника тока с ЭДС ε₁ и ε₂ и внутренними сопротивлениями r₁ и r₂, которые сложным образом подключены к внешнему участку цепи с сопротивлениями R₁, R₂, R₃, R₄. Необходимо определить силы токов, текущих в сопротивлениях R₂ и R₃, если ε₁ = 10 и ε₂ = 4 В, а R₁= R₄ = 2 Ом и R₂ = R₃ = 4 Ом. Сопротивлениями источников тока пренебречь.

Рисунок - 3.23

Силы токов в разветвленной цепи определяют с помощью правил Кирхгофа. Чтобы найти четыре значения силы токов, следует составить четыре уравнения.

Перед составлением уравнений по правилам Кирхгофа необходимо, во-первых, выбрать произвольно направления токов, текущих через сопротивления, указав их стрелками на чертеже, и, во-вторых, выбрать направление обхода контуров (последнее только для составления уравнений по второму закону Кирхгофа). Выберем направления токов, как они показаны на рисунке - 3.23, и.условимся обходить контуры по часовой стрелке.

По первому закону Кирхгофа следует составлять уравнение на единицу меньше, чем число узлов в схеме. Рассматриваемая в задаче схема имеет два узла: А и В. Поэтому, в нашем примере составим уравнение только для одного узла, так как составленное для второго узла уравнение будет следствием первого уравнения. При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа необходимо соблюдать правило знаков; ток, подходящий к узлу, входит в уравнение со знаком плюс, ток, отходящий от узла, — со знаком минус.

По первому закону Кирхгофа для узла В имеем I₁+ I₂+ I₃- I₄ = 0.

Недостающие три уравнения получим по второму закону Кирхгофа. Число независимых уравнений, которые могут быть составлены по второму закону Кирхгофа, также меньше числа контуров (в нашем случае контуров шесть, а независимых уравнений три). Независимыми называются контуры, которые имеют в своем составе хотя бы одну ветвь, которая не участвовала ни в одном из ранее использованных контуров. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо соблюдать следующее правило знаков:

а) если ток по направлению совладает с выбранным направлением обхода контуров, то соответствующее произведение IR входит в уравнение со знаком плюс, в противном случае произведение IR входит в уравнение со знаком минус,

б) если э. д. с. повышает потенциал в направлении обхода контура, т. е. если при обходе контура приходится идти от минуса к плюсу внутри источника, то соответствующая э. д. с. входит в уравнение со знаком плюс, в противном случае — со знаком минус.

По второму закону Кирхгофа имеем соответственно для контуров ARR.A, AR_XBR_ZA, AR₃BR_tA:

I₁R₁ – I₂R₂=ε1-ε2

I₁R₁– I₃R₃=ε1

I₃R₃ +I₄R₄=0

Подставив в полученные равенства значения сопротивлений и э. д. с, получим систему уравнений:

I₁ +I₂+ I₃ - I₄ = 0

2I₁ – 4I₂=6

2I₁ – 4I₃ =10

4I₃ +2I₄ =0

Поскольку нужно найти только два тока, то удобно воспользоваться методом определителей. С этой целью перепишем уравнения еще раз в следующем виде:

I₁ +I₂+ I₃ - I₄ = 0

2I₁ – 4I₂+0+0 =6

2I₁ +0 – 4I₃ +0 =10

0+0+4I₃ +2I₄ =0

Искомые значения токов найдем из выражений

I₂ = ∆I₂/∆ и I₃= ∆I₃/∆,

где ∆ — определитель системы уравнений;

∆_I₂и ∆_I₃ — определители, полученные заменой соответствующих столбцов определителя ∆ столбцами, составленными из свободных членов четырех вышеприведенных уравнений.

Отсюда получаем: I₂= 0, I₃= -1А. Знак минус у значения силы тока I₃ свидетельствует о том, что при произвольном выборе направления токов, указанных на рисунке, направление тока 1₃ было указано противоположно ее истинному направлению. На самом деле ток I₃ течет от узла В к узлу А.

Пусть на участке цепи при напряжении U идет ток. По определению электрического напряжения работа тока на участке цепи, совершаемая при перемещении единицы заряда через сечение проводника, равна напряжению на этом участке цепи. Если ток в участке цепи равен I то за время dt пройдет заряд Idt, и поэтому работа электрического тока на этом участке будет

dA = U I dt

(3.80).

Если сопротивление проводника R, то используя закон Ома, получим

dA = I² R dt

(3.81)..

Из этих формул мощность тока равна

Р = dA / dt. = I U= I² R= U²/R

(3.82)

Если ток проходит по неподвижному металлическому проводнику, то вся работа тока идет на его нагревание и, по закону сохранения энергии, dQ = dA. Таким образом, используя полученные выражения, получим

dQ = IU dt = I²Rdt= U²/R dt.

(3.83),

где Q — количество теплоты, выделяющееся в участках цепи за время t. Данное соотношение представляет собой закон Джоуля — Ленца, экспериментально установленный независимо друг от друга Дж. Джоулем и Э. X. Ленцем. Закон Джоуля—Ленца. Закон Джоуля—Ленца справедлив при условии, что участок цепи неподвижен и в нем не совершаются химические превращения.

Выделим в проводнике элементарный цилиндрический объем dV=dS dl (ось цилиндра совпадает с направлением тока), сопротивление которого R= ρdl/dS. По закону Джоуля— Ленца, за время dt в этом объеме выделится теплота

dQ = I²Rdt= ρdl/dS. (jdS)² dt = pj²dVdt

(3.84).

Количество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единице объема, называется удельной тепловой мощностью тока. Она равна

w = pj²

(3.85).

Используя дифференциальную форму закона Ома (j = γE) и соотношение ρ=1/γ, получим

w = jE = γE²

(3.86).

Эти формулы являются обобщенным выражением закона Джоуля — Ленца в дифференциальной форме, пригодным для любого проводника.

Тепловое действие тока находит широкое применение в технике, которое началось с открытия в 1873 г. русским инженером А. Н. Лодыгиным (1847—1923) лампы накаливания. На нагревании проводников электрическим током основано действие электрических муфельных печей, электрической дуги (открыто русским инженером В. В. Петровым (1761 —1834)), контактной электросварки, бытовых электронагревательных приборов и т. д.

3.4 Магнитное поле

3.4.1 Магнитное поле. Закон Ампера. Взаимодействие параллельных токов

Взаимодействие токов осуществляется через поле, называемое магнитным. Это название связано с опытами, которые проводил в 1820 г. Эрстед, и где обнаружил, что поле, возбуждаемое током, оказывает ориентирующее действие на магнитную стрелку. При включении тока стрелка устанавливалась перпендикулярно к проволоке. Изменение направления тока заставляло стрелку повернуться в противоположную сторону. Из опытов Эрстеда следует, что магнитное поле имеет направленный характер и должно характеризоваться векторной величиной. Эту характеристику магнитного поля назвали магнитной индукцией и обозначили буквой В.

Магнитное поле, в отличие от электрического, не оказывает действия на покоящийся заряд. Сила возникает лишь тогда, когда заряд движется. Проводник с током представляет собой электрически нейтральную систему зарядов, в которой заряды одного знака движутся в одну сторону, а заряды другого знака движутся в противоположную сторону. Отсюда следует, что магнитное поле порождается движущимися зарядами.

Итак, движущиеся заряды (токи) изменяют свойства окружающего их пространства — создают в нем магнитное поле. Таким образом, источником магнитного поля всегда является электрический ток. Это поле проявляется в том, что на движущиеся в нем заряды (токи) действуют силы со стороны электрического поля. Этим объясняется действие магнитного поля на рамку с током: вращающий момент, испытываемый рамкой, есть результат действия сил поля на ее отдельные элементы.

Изучая, как проводники различной формы, по которым протекает ток, взаимодействуют между собой, Ампер установил, что это взаимодействие может рассматриваться как совокупность взаимодействий сколь угодно малых участков этих проводников с током - элементов тока.

Элементом тока называют векторную величину Idl, равную произведению силы тока I в проводнике на длину dl данного участка проводника. Направление элемента тока совпадает с направлением тока на этом участке проводника. Обобщая результаты исследования, Ампер установил, что сила dF, с которой магнитное поле действует на элемент проводника Idl с током, находящегося в магнитном поле, прямо пропорциональна силе тока I в проводнике и векторному произведению элемента длиной dl проводника на магнитную индукцию В:

dF = I[dl, В]

(3.87).

Модуль силы Ампера вычисляется по формуле

dF_А = IBdlsinα

(3.88),

где α — угол между векторами dl и В. Силу, действующую на проводник с током (или элемент тока) в магнитном поле, называют силой Ампера.. Направление вектора dF может быть найдено по общим правилам векторного произведения, или по правилу левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор В, а четыре вытянутых пальца расположить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на проводник с током (рисунок - 3.24).

Если магнитное поле является однородным и проводник длиной l целиком находится в нем, то формула силы Ампера принимает вид

F_А = IBlsinα.

(3.89).

Отсюда найдем индукцию магнитного поля.

B = F_А/IBlsinα.

(3.90).

Это выражение раскрывает физический смысл B индукции магнитного поля, как силы, которая действует на элемент длины проводника с током I, помещенного в магнитное поле.

Закон Ампера позволяет определить силы взаимодействия двух параллельных токов. Опыт показывает, что электрические токи взаимодействуют между собой. Например, два тонких прямолинейных параллельных проводника, по которым текут токи притягиваются друг к другу, если токи в них имеют одинаковое направление, и отталкиваются, если токи противоположны (рисунок - 3.25).

Рассмотрим два бесконечных прямолинейных параллельных тока I₁ и I₂ (направления токов указаны на рисунке - 3.26), расстояние между которыми равно R. Каждый из проводников создает магнитное


Рисунок - 3.24	Рисунок - 3.25

поле, которое действует по закону Ампера на другой проводник с током. Ток I₁ создает вокруг себя магнитное поле, линии магнитной индукции которого представляют собой концентрические окружности.

Рисунок - 3.26

Направление вектора B₁ задается правилом правого винта, его модуль равен:

B = (μ₀μ/4π) 2I₁/R

(3.91).

Магнитное поле тока I₁, действуетна элемент dl второго проводника с током I₂ с силой: dF_l=I₂B₁dl. Подставляя значение для B₁, получим dF_l= (μ₀μ/4π) 2I₁ I₂ dl/R.

Рассуждая аналогично, можно показать, что сила dF₂, с которой магнитное поле тока I₂действует на элемент dl первого проводника с током I₁, направлена в противоположную сторону и по модулю равна dF₂= I₁B₂dl = (μ₀μ/4π) 2I₁ I₂ dl/R. Сравнение выражений для dF₁ и dF₂показывает, что они одинаковы, т. е. два параллельных тока одинакового направления притягиваются друг к другу с силой

dF= (μ₀μ/4π) 2I₁ I₂ dl/R

(3.92).

Если токи имеют противоположные направления, то, используя правило левой руки, можно показать, что между ними действует сила отталкивания, определяемая формулой той же формулой.

Опыты показывают, что для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: индукция магнитного поля В, порождаемое несколькими токами, равно векторной сумме полей В_i, порождаемых каждым током в отдельности:

В =∑В_i

(3.93).

Для графического изображения магнитных полей и определения направления вектора магнитной индукции вводится представление о линиях магнитной индукции. Линиями магнитной индукции называются кривые, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора В в этих точках поля. Линии магнитной индукции всегда замкнуты и охватывают проводники с токами, которые их создают. Замкнутость линий индукций является выражением отсутствия в природе свободных магнитных зарядов. Магнитное поле называется однородным, если векторы В во всех его точках одинаковы. В противном случае ноле является неоднородным.

Направление линий индукции магнитного поля тока определяется правилом Максвелла (правилом буравчика): если ввинчивать буравчик по направлению тока в проводнике, то направление движения рукоятки буравчика укажет направление линий магнитной индукции (рисунок - 3.27).

С помощью потока линий магнитной индукции Ф_Вграфически удобно выразить величину магнитного поля в той или иной точке пространства.

Магнитной цепью называется совокупность тел или областей пространства, в которых сосредоточено магнитное поле. Магнитные цепи составляют необходимую часть электрических машин и многих электрических устройств.

Магнитный поток в магнитной цепи играет роль, аналогичную силе тока в электрической цепи. Во всех сечениях неразветвленной магнитной цепи магнитный поток Ф_т должен быть одинаковым. Элементарный поток dФ_Ввектора магнитной индукции В сквозь участок поверхности с площадью dS (рисунок - 3.28):

dФ_В = В dS cos (В, n) — B_ndS = B dS_n

(3.94),

где n — единичный вектор внешней нормали к площадке dS, B_n — проекция вектора В на направление нормали.


Рисунок - 3.27	Рисунок - 3.28

Магнитный поток Ф_т сквозь произвольную поверхность S находится суммированием или интегрированием всех элементарных потоков:

Ф_т =∫BdS cos В,n) = ∫ В_п dS = \B dS

(3.95).

Для однородного поля и плоской поверхности S, расположенной перпендикулярно к вектору В: В_п = В = const, Ф_т = BS.

Теорема Остроградского—Гаусса применительно к магнитному полю утверждает: магнитный поток сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю:

∫В_п dS = 0

(3.96).

Теорема выражает отсутствие в природе магнитных зарядов и замкнутость линий индукции магнитного поля.

Blog

Содержание

3.3.2 Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа. Работа и мощность постоянного тока