Geum.ru

Статистика

Вид материалаСамостоятельная работа

Содержание


Тема 7. ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ
Виды показателей вариации
Размах колебаний
Среднее линейное отклонение
Простая дисперсия
Среднее квадратичное отклонение
Коэффициент вариации —
Контрольные вопросы.
Подобный материал:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   13

Тема 7. ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ


В некоторых случаях отдельные значения признака близко примыкают к средней арифметической и мало от нее отличаются. В таких случаях средняя хорошо представляет всю совокупность. В других, наоборот, отдельные значения совокупности далеко отстают от средней.

Для всесторонней характеристики вариационного ряда. поэтому необходимо установить степень колеблемости отдельных значений признака. Колеблемость отдельных значений характеризуют показатели вариаций. Вариация представляет собой различия в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени. Причиной вариации являются разные условия существования разных единиц совокупности. Вариация присуща всем без исключения явлениям природы и общества. Исследования вариации в статистике имеют большое значение, помогают познать сущность изучаемого явления. Измерение вариации, выяснение ее причин, выявление влияния отдельных факторов дают важную информацию для применения научно обоснованных управленческих решений.

Виды показателей вариации


Для измерения вариации признака применяются абсолютные и относительные показатели. К абсолютным показателям вариации относятся размах колебаний, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое (стандартное отклонение).

Размах колебаний, или размах вариации, представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности:

R = x max - x min


Безусловным достоинством этого показателя является простота расчета. Однако размах вариации зависит от величины только крайних значений признака, поэтому область его применения ограничена достаточно однородными совокупностями.

Точнее характеризует вариацию признака показатель, основанный на учете колеблемости всех значений признака. К таким показателям относятся среднее линейное отклонение.

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической. Так как алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической (согласно нулевому свойства) всегда равна нулю, то для расчета среднего линейного отклонения используется арифметическая сумма отклонений то есть суммируются абсолютные значения независимо от знака.(при этом всегда предполагают, что среднюю вычитают из варианта). Оно определяется по следующим формулам:

Для не сгруппированного ряда:





Для сгруппированного ряда:




Преимущество среднего линейного отклонения как меры рассеивания перед показателем размаха вариации очевидно, потому что эта мера основана на учете всех возможных отклонений от среднего. Однако этот показатель имеет существенные недостатки. Произвольные отбрасывания алгебраических знаков отклонений приводят к тому, что математические свойства этого показателя являются далеко не элементарными.

Среднее линейное отклонение рассчитывается из отклонений в первой степени,

Дисперсия и среднее квадратическое — из отклонений во второй степени.

Дисперсия — это средний квадрат отклонения индивидуальных значений признака от средней арифметической. В зависимости от исходных данных она вычисляется по формулам простой и взвешенной дисперсий:

1. Простая дисперсия (для несгруппированных данных) вычисляется по формуле:


σ2 =Σ(x i - x )2/n


2. Взвешенная дисперсия (для вариационного ряда):


σ2 =Σ(x i - x )2x fi/∑ fi


Среднее квадратичное отклонение представляет собой обобщающую характеристику размеров вариации признака в совокупности. Оно равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической и может быть вычислено следующим образом:

σ = √σ2


Среднее квадратичное отклонение показывает, на сколько, в среднем, отклоняются конкретные варианты от их среднего значения, а также является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому хорошо интерпретируется.

Порядок расчета среднего квадратического отклонения на основе вариационного ряда таков:

1) находим среднюю арифметическую ряда ( х );

2) находим отклонение каждого варианта от средней арифметической

(x i - x );

3) возводим каждое отклонение в квадрат: (x i - x )2,

4) умножаем каждый квадрат отклонений на соответствующие веса:

(x i - x )2 x fi

5) суммируем все произведения: Σ(x i - x )2х fi

6) разделив указанную выше сумму произведений на сумму весов (частот или частостей), получаем дисперсию .

σ2=Σ(x i - x )2 fi/∑ fi

7) извлекая квадратный корень из дисперсии, получаем стандартное отклонение

___

σ = √σ2


Таким образом, основой для расчета стандартного отклонения является дисперсия:


Пример 7.1.

Рассчитаем стандартное отклонения по данным примера 6.3.


Группы вкладчиков по размеру вклада, руб.
Число вкладчиков fi
Середина интервала хi
_

(x i - x )2
_

(x i - x )2• fi

300- 600

10
450
311364
3113640

600-900

20
750
66564
1331280

900-1200

50
1050
1764
88200

1200-1500
14
1350
116964
1637496

1500-1800

6
1650
412164
2472984

Итого
100
-
-
8636600


Средний размер вклада был получен: х = 1008 руб.

Определим среднее квадратическое отклонение и его произведение на соответствующую частоту, добавив в таблицу расчетные колонки.

σ2 = 8636600/100 = 86366

_______

σ = √σ2 = √86366 = 294 руб.


Вывод: Отклонение от среднего составляет 294 руб.

Относительными показателями вариации. Эти показатели вычисляются как отношение абсолютных показателей вариации к соответствующей характеристике центра распределения — средней арифметической или медиане.

Наиболее часто применяемый показатель относительной колеблемости — коэффициент вариации. Его используют не только для сравнительной оценки вариации разных признаков или в различных совокупностях, но и для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

Коэффициент вариации — это отношение среднего квадратичного отклонения к средней арифметической, выраженное в процентах. Обозначается коэффициент вариации буквой «кси» - υ.

_

υ = (σ/ x )  100 %


Пример 7.2.

По данным примера 7.1. определить коэффициент вариации.

.

υ = 294/1008  100 % = 29,2 %


Вывод: Коэффициент вариации составляет 29,2%<33%, то есть изучаемая совокупность однородна и группировка произведена верно.


КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.


7.1. Что такое вариация признака и чем обусловлена необходимость ее изучения?

7.2. Какими показателями измеряется вариация?

7.3. Как вычисляется дисперсия ?

7.4. Как вычисляется среднее квадратичное отклонение для сгруппированных и несгруппированных данных?

7.5 Для каких целей вычисляют коэффициент вариации ?