Два сообщения, читанные 27 февраля и 23 марта 1882г

Вид материалаДокументы

Содержание


A=B тождественна не только с нулевою своею формою 0=AB
Подобный материал:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15
§ 5. Усовершенствование первой части способа Джевонса

Вот мы рассмотрели 3 способа решения систем логических равенств. Из них способов Буля, как основанный на гипотезе и аналогии, мы оставляем в стороне, признавая его вне сферы нашей компетенции. Что же касается прочих двух способов, Джевонса и Шредера, то они представляют две противоположные крайности: в чем хорош и силен один из них, в том плох и слаб другой. Сила и обаяние способа Джевонса заключается в отчетливой постановке вопроса, в стремлении получить ответ путем исследования сущности задачи. Его слабость – полное отсутствие математического прием решения, примитивности и сложность избранного пути. Наоборот, сила, а в тоже время и слабость способа Шредера заключается в слишком формальном, слишком общем, слишком математичном решении задачи. У него речь идет об одной внешней оболочке дела, сущность которого совершенно игнорируется; кроме того, формула Шредера не представляет гарантий относительно отсутствия в них лишних членов.

В виду такого, не совсем удовлетворенного, состояния учения о способах решения логических равенств, я счел необходимым сделать попытку построения нового способа, который не уступал бы способу Джевонса в отчетливости получаемого решения, - и так как предлагаемый мною способ есть простое видоизменение ни способа Джевонса, ни способа Шредера, и выражается совершенно новою формулой, то я и позволяю себе назвать его собственным способом. Мы изложим свой способ так, как он был нами получен, т.е. путем критики и последовательных усовершенствований способа Джевонса.

В той постановке задачи, которая принадлежит Джевонсу, надо различить две отдельные части: 1) исключение из логического алфавита всех альтернатив, несогласных с посылками задачи, и 2) определении из упрощенного таким образом алфавита какого-нибудь из данных классов.

Что касается первой из этих операций, то, как мы видели, Джевонс даже вовсе не подозревал возможности построения теоретических для нее правил и занимался изобретением особых механизмов для ее выполнения. В противоположность этому убеждению Джевонса, мною выше указано, что такие теоретические правила существуют и что они заключаются в превращении посылок в нулевые формы. Стоит только превратить каждую посылку в нулевую форму и затем каждый член каждой посылки порознь приравнять нулю, и мы будем иметь данные для непосредственного построения всех альтернатив, подлежащих исключению из алфавита. Но постановку рассматриваемой нами первой части способа Джевонса мне удалось усовершенствовать, задавшись вопросом: нельзя ли прямо, т.е. минуя непосредственное исключение невозможных альтернатив, строить выражение для упрощенного алфавита? Полученный мною ответ на этот вопрос был таков: вполне и всегда возможно; и хотя у Буля и Шредера нет формул, отвечающих этой цели, но построить необходимую формулу оказалось делом не трудным. В самом деле, если посылка A=B тождественно заменяется равенством 0=AB1+A1B; если цель посылок A=B, A’=B’, A”=B”,…. тождественна с системой 0=AB1+A1B, 0=A’B’1+A’1B’, и т.д., а эта последняя с одним равенством

0=(AB1+A1B)+(A’B’1+A’1B’)+)A”B”1+A”1B”)+…..,

должно быть также тождественно с первоначальной цепью посылок. Это и есть искомая формула. В ней левая часть есть 1, т.е. логический алфавит, а правая часть, будучи отрицанием суммы всех противоречащих посылкам альтернатив, должна представлять собрание всех альтернатив, совместных с посылками; другими словами, это и есть тот самый упрощенный алфавит, которого искал Джвонс. Таким образом, сложная задача, поставленная Джевонсом и обязывающая нас к масс кропотливого труда, решается небольшою выкладкой.

Только что построенную нами основную формулу можно получить несколько иначе. Каждая посылка A=B тождественна не только с нулевою своею формою 0=AB1+A1B, но и с единичною 1=AB+A1B1. И вот если все данные посылки мы переведем к единичной форме и полученные равенства перемножим, то и получим непосредственно помянутую основную формулу. А что эта формула тождественно заменяет данную систему посылок, явствует из аксиомы по которой всякое произведение может равняться единице только тогда, когда каждый множитель порознь=1.

Здесь будет уместно сделать маленькое отступление с целью установить некоторые термины, без которых дальнейшее изложение сделалось бы затруднительным. Мы знаем что все логическое содержание каждой посылки A=B вполне исчерпывается равенством 0=AB1+A1B. Это значит, что все альтернативы алфавита, противоречащие этой посылке, должны быть подклассами функции AB1+A1B. На этом основании мы и предлагаем называть эту функцию полным логическим нулём посылки A=B, при чем каждый член этой функции взятый порознь, будет одним из частных логических нулей той же посылки. Понятно, что сумма полных логических нулей всех посылок может быть названа полным логическим нулем данной задачи, и что каждый из частных нулей каждой посылки служит также частным нулем всей задачи. С другой стороны, зная, что та же посылка A=B тождественна также с равенством 1=AB+A1B1, мы предлагаем назвать функцию AB+A1B1 полной логической единицей этой посылки. В случае, если бы эта функция распадалась на известные множители (в своем месте мы увидим, что каждая функция разбивается на простейшие множители), и каждый из этих множителей порознь должен быть=1, т.е. представляется частной логической единицей той же посылки. Понятно, что произведение полных логических единиц всех посылок следует называть полной логической единицей той же посылки. Понятно, что произведение полных логических единиц всех посылок следует называть полной логической единицей задачи, и что каждая частная единица каждой посылки служит частной единицей всей задачи. Для краткости, мы будем иногда опускать характеристику «полный», когда будет идти речь о полных логических единицах и нулях отдельных посылок или целых задач. В случае же, если нуль или единица суть частные, то это всегда будет определенно высказано.

Полезно установить также и сокращенные символические изображения для предложенных нами терминов. Полный логический нуль задачи, т.е. функцию

(AB1+A1B)+(A’B’1+A’1B’)+….…,

отныне мы будем изображать символом N(a,b,c,d,…), где a,b,c,d,… суть те классы, о которых идет речь в данных посылках. Функцию же

(AB+A1B1)(A’B’+A’1B’1)…….,

т.е. полную логическую единицу задачи, мы будем изображать символом M(a,b,c,d,…). Буквы N и M избраны нами на том основании, что ими начинаются латинские названия nihil и mundus (ничто и все). Понятно, что для каждой задачи функции N и M будут особые, но всегда (в пределах каждой задачи) они служат отрицаниями друг друга.

Правила для непосредственного вычисления функции N и M крайне просты. А именно, для вычисления N надо: 1) всякую посылку A=B заменить равенством 0=A1B+AB1; если же посылка имеет форму C=CD, то равенством 0=CD1, и 2) сложить итоги; а для вычисления M надо: 1) каждую посылку A=B заменить равенством 1=AB+A1B1, если же она имеет форму C=CD, то равенством 1=C1+D, и 2) перемножить результаты.

Подводя итог, можем сказать, что каждая задача, состоящая из ряда посылок A=B,A’=B’,…., можем быть символически выражена, как равенством 0=N, так и равенством 1=M.

Продолжая начатое отступление несколько далее, заметим, что, кроме логических единиц и нулей (полных или частных, для отдельных посылок или целых задач), встречаются еще тождественные единицы и нули. А именно, таковы должны быть признаваемы всякие функции, которые сводятся на 1 или 0 на основании одних законов поглощения, т.е. независимо от каких бы то ни было посылок. Тождественные единицы (и нули) тоже могут быть или частными, т.е. так сказать случайные (например, m+m1=1,+m1+p=qq1=0,rqq`1=0 и пр.), или же полные, и эти последние мы предлагаем назвать универсальными. Для n классов a,b,c,d,… универсальная 1 состоит всегда из n множителей, именно она есть 1=(a+a1)(b+b1)(c+c1)(d+d1)….; универсальный же нуль этих классов, состоящий из n слагаемых будет 0=aa1+bb1+cc1+dd1+…. Универсальная единица (и нуль) n классов одна и та же для всех задач об этих классах, она не зависит ни от числа, ни от содержимого посылок. Это есть общий мир речи всех задач о данных n классах. Понятно, что такой общий мир речи должен обнимать собою все подклассы, характеризуемые присутствием или отсутствием каждого термина, т.е. здесь предполагаются равновозможными всяческие отношения между данными терминами. По отношению же к каждой данной логической задаче о тех же n классах, универсальная единица этих классов должна быть замещена полной логической единицей этой задачи, т.е. тем же миром речи, но разбитым на категории, сообразно с теми действительными а не только возможными отношениями между терминами, которые нам указаны в посылках данной задачи.

И так мы предлагаем: 1) заменить довольно странный термин Джевонса «логический алфавит» термином мир речи, т.е. единица; 2) первоначальный алфавит называть универсальной единицей данных классов и 3) упрощенный посылками алфавит называть полной логической единицей данной задачи. Наконец, что касается «альтернатив», то для них мы имеем превосходный термин «конституант», предложенный еще Булем.

Возвращаясь к прерванной нити изложения, приведем пример, показывающий, что действительно полная логическая единица задачи есть упрощенный посылками алфавит Джевонса. Пусть имеет задачу о двух посылках

a=a(bc1+b1c), b=ab,

где a члены совета, b владельцы акций, c владельцы облигаций23. Первая посылка гласит, что совет состоял из владельцев одних акций и владельцев одних облигаций, а вторая, что все владельцы акций был членами совета. Логический алфавит классов a,b,c есть:

1=abc+abc1+ab1c+ab1c1+a1bc+a1bc1+a1b1c+a1b1c1.

Так как в данном случае обе посылки имеют форму C=CD, то их логические нули найдутся по сокращенному правилу 0=CD1, т.е. будут соответственно:

0=a(bc1+b1c)=a(b1+c)(b+c1)=a(bc+b1c1); 0=ba1.

След. в данном случае все невозможные альтернативы будут

0=abc, 0=ab1c1 и 0=ba1,

и для упрощенного алфавита получаем:

1=abc1+ab1c+a1b1c+a1b1c1.

Вычисляя теперь логические единицы посылок на основании сокращенного правила 1=C1+D, получим:

1=a1+bc1+b1c, 1=b1+a.

Перемножая эти единицы, получим полную логическую единицу всей задачи, именно:

1=(a1+bc1+b1c)(a+b1)=abc1+ab1c+a1b1+b1c=abc1+ab1c+a1b1(c1+c)+

+b1c(a+a1)=abc1+ab1c+a1b1c+a1b1c1+ab1c+a1b1c=abc1+ab1c+a1b1c+

+a1b1c1,

т.е. совершенно тоже, что найдено выше для алфавита.

Прибавим, что мы упрощали посылками алфавит по рецепту самого Джевонса (а этот рецепт не содержит ни каких правил, кроме общего и неопределенного требования сравнивать посылки с алфавитом), но пользуясь указанным нами же приемом превращения посылок в нулевую форму выбрасывания из алфавита всех полученных таким образом частных логических нулей.

Считаем полезным прибавить, что вычисленная по нашим правилам полная логическая единица задачи, вполне соответствуя по своему логическому значению упрощенному алфавиту Джевонса, имеет перед сим последним громадное формальное преимущество. У Джевонса, при n классе первоначальный алфавит состоит из 2n членов n-го измерения, (т.е. содержащих по n множителей), и алфавит упрощенный всегда состоит из таких же членов n-го измерения, число которых, будучи хотя и меньше 2n, все таки должно быть вообще очень значительно. Другими словами у Джевонса оба алфавита (первоначальный и упрощенный) суть всегда однородные функции n-го измерения. Что же касается логической единицы, построенной по предыдущему, то она только в исключительных случаях получается однородной; все же она содержит члены всякого измерения от 1-го до n-го т.е. вообще она должна быть много проще, чем тождественный с нею упрощенный алфавит. Одним словом, логическая единица задачи есть упрощенный алфавит Джевонса в котором сделаны дальнейшие упрощения по правилам, отвечающим приведению в Алгебре. Например, на сколько универсальная единица 4-х классов

1=(a+a1)(b+b1)(c+c1)(d+d1)

изображается проще, чем отвечающий ей первоначальный алфавит (состоящий из 16 членов 4-го измерения)

1=abcd+abcd1+abc1d+…….+a1b1c1d1,

на столько же логическая единица

1=ab+cd

Проще, чем отвечающий ей упрощенный алфавит:

1=ab(c+c1)(d+d1)+cd(a+a1)(b+b1)=abcd+abcd1+abc1d+abc1d1+

+ab1cd+a1bcd+a1b1cd,

И так, применяя правило вычисления логической единицы к приему Джевонса, мы не только избегаем необходимости непосредственного вычисления и выбрасывания из алфавита всех нелепых альтернатив, но и получаем прямо такое выражение для упрощенного алфавита Джевонса, которое могла бы получиться из последнего только после дальнейших возможных упрощений по правилам приведения членов, (т.е. на основании законов поглощения).

Что касается процедуры вычисления полной логической единицы, то если число посылок задачи есть m, нам необходимо перемножить между собою m многочленов, изображающих логические единицы отдельных посылок. Однако необходимость такого умножения не должна особенно пугать. Во 1-х,употребление логической единицы не всегда требует непосредственного совершения перемножений на самом деле. А во 2-х, правила умножения в логике много проще, чем в алгебре. Отсутствие коэффициентов, экспонентов и отрицательных членов позволяет перемножать замечательно быстро и без малейших затруднений. Далее, то обстоятельство, что произведение aa1 есть нуль, позволяет вовсе не перемножать членов, один из которых зависит от a, а другой от a1. Наконец предложенное Булем сокращенное правило умножения, выражаемое формулой

(P+Q)(P+R)=P+QR,

позволяет очень часто миновать необходимость перемножения каждого члена множимого с каждым членом множителя. Вследствие соединения всех этих условий операций логического умножения почти всегда оказывается гораздо более легкой, чем можно было ожидать. Следующий пример покажет нам случай, когда произведение четырнадцати четырехчленных многочленной, которое в алгебре требует 414, т.е. более двух членов и может быть получено в несколько минут.

Вообразим задачу между 4-мя классами, состоящую из 14 посылок, логические единицы которых суть:
  1. 1=a+b+c+d
  2. 1=a+b+c+d1
  3. 1=a+b+c1+d
  4. 1=a+b+c1+d1
  5. 1=a+b1+c+d
  6. 1=a+b1+c1+d
  7. 1=a+b1+c1+d1
  8. 1=a1+b+c+d
  9. 1=a1+b+c+d1
  10. 1=a1+b+c1+d1
  11. 1=a1+b1+c+d
  12. 1=a1+b1+c+d1
  13. 1=a1+b1+c1+d
  14. 1=a1+b1+c1+d1.

Вычислим логическую единицу всей задачи. Произведение 1

1 и 2:

3 и 4:

1, 2, 3 и 4:

11, 12, 13 и 14:

1, 2, 3, 4, 11, 12, 13 и 14:

6 и 7:

8 и 9:

5, 6 и 7:

8, 9 и 10:

1=a +b+c

1=a+b+c1

1=a+b

1=a1+b1

1=ab1+a1b

1=a+b1+c1

1=a1+b+c

1=a+b1+c1d

1=a1+b+cd1.

Следующая искомая логическая единица будет:

1=(ab1+a1b)(a+b1+c1d)(a1+b+cd1)=
(ab
1+a1bc1d)(a1+b+cd1)=ab1cd1+a1bc1d.

Вычисление логической единицы задачи позволяет нам судить о достоинствах посылок и отличать бессмысленные задачи от возможных. Если какой-либо из множителей, составляющих полную единицу задачи, сводятся на 0, то это означает, что посылка, отвечающая этому множителю, заключает в себе какую-нибудь нелепость. Если все множители отличны от нуля, а произведения их все-таки сводится на 0, то это служит признаком противоречия между посылками, и всегда легко проследить, между каким именно. Если какой-либо множитель тождественно сводится на 1, то соответственная посылка есть тождество, т.е. не имеет никакого логического значения, представляя простую игру слов. Наконец, если какой-либо класс и его отрицание совсем не входят в выражение логической единицы, то этот класс играет роль балласта в посылках и с успехом может быть выпущен из них.

§ 6. Исправление второй части того-же способа

Доселе мы занимались усовершенствованием первой части способа Джевонса, состоящей в получении упрощенного алфавита, взамен которого мы предложили более простую функцию, логическую единицу, с указанием общих и весьма нетрудных правил ее построения. Переходим к исправлению второй части того же способа, состоящей в определении какого угодно класса a из упрощенного алфавита.

Имея упрощенный алфавит под формою однородной функции n-го измерения (n есть число классов), Джевонс утверждает, что та часть этого алфавита, которая зависит от a, должна представлять полное определение a, остальная же часть полное определение a1. Несколько ниже мы убедимся, что такое определение a и a1 только в известных случаях может быть признано полным. А теперь обратим внимание на то обстоятельство, что получаемое Джевонсом определение классов всегда представляется под тою же сложной формой однородных функций n-го измерения. Уже одно это обстоятельство должно представлять крупное несовершенство решения, получаемого Джевонсом. Мы имеем полную возможность устранения этого недостатка; стоит только выводить определение классов не из упрощенного алфавита, а из гораздо более простой функции, тождественной с этим алфавитом, из логической единицы задачи. При этом, оставаясь на точке зрения Джевонса, нам придется несколько видоизменить указанное им правило определения классов, так сказать, приспособив его к случаю неоднородности состава логической единицы. Если, при n классах, в упрощенном алфавите Джевонса каждый член состоит из n множителей, меж которыми всегда встречается a или a1, то в логической единице могут существовать члены всевозможных измерений от 1-го до n-го и след. могут встречаться члены, не содержащие вовсе ни a, ни a1. Другими словами, по отношению к классу a, логическая единица вообще имеет такую форму

M(a.b.c.d…)=aφ(b.c.d…)+a1θ(b.c.d…)+ψ(b.c.d…).

Здесь Ψ(b.c.d…)и есть сумма всех таких членов логической единицы, которые не содержат ни a, ни a1. Однако эту функцию легко представить под формой (a+a1)ψ(b.c.d…) после чего предыдущее выражении для M принимает вид

M(a.b.c.d…)=af(b.c.d…)+a1F(b.c.d…),

т.е. делается однородным в отношении класса a. Здесь для простоты принято, что

f(b.c.d…)=φ(b.c.d…)+ψ(b.c.d…),

F(b.c.d…0=θ(b.c.d…)+ψ(b.c.d…).

Только что полученная нами форма логической единицы вполне достойна для возможности непосредственного применения к ней предложенного Джевонсом правила определения a. В самом деле, мы получили тот же алфавит Джевонса (однако под формой все еще более простой, а именно в форме однородной функции одного a, а не всех классов b, c, d…) и имеем его разбитым на две части: часть, зависящую от a, и часть, зависящую от a1. А потому первая из этих частей и будет представлять определение a, отвечающее идеям Джевонса, а именно:

a=af(b.c.d…)=aφ(b.c.d…)+aψ(b.c.d…).

След. в общем случае, т.е. когда логическая единица иметь форму

M=aφ+a1θ+ψ,

правило Джевонса делается таково: для определения a надо к части, зависящей от a (т.е. ), прибавить умноженную на a часть, не содержащую ни a, ни a1 (т.е. ). И очевидно, что та же цель будет вполне достигнута, если мы выражение логической единицы умножим на a, потому что при таком умножении часть, зависящая от a1, сама собою отпадает, и остается та же самая сумма aφ+aψ, которая была получена выше. И так, если логическая единица задачи есть M(a.b.c.d…), то определение a, вполне отвечающее правилу Джевонса, будет:

a=aM(a.b.c.d…).

Также точно получается:

a1=a1M(a.b.c.d…)

b=bM(a.b.c.d…)

и т.д. Вот какую простую форму принимает правило Джевонса, приспособленное к той более простой функции, которую мы заменяем его логический алфавит, а именно: для определения какого угодно класса достаточно умножить этот класс на логическую единицу задачи.

Найденное правило можно подвергнуть дальнейшему изменению, при котором словесное изложение его сделается несколько сложнее, но зато символическое его изображение будет зависеть от еще более простой функции. В самом деле, мы знаем, как доказал Буль, что разложение какой угодно функции F(a.b.c.d…) в отношении класса a таково:

F(a.b.c.d…)=aF(1.b.c.d…)+a1F(0.b.c.d…).

На этом основании

M(a.b.c.d…)=aM(1.b.c.d…)+a1M(0.b.c.d…),

вследствие чего

aM(a.b.c.d…)=aM(1.b.c.d…)

a1M(a.b.c.d…)=a1M(0.b.c.d…)

и следовательно:

a=aM(a.b.c.d…)=aM(1.b.c.d…)

a1=a1M(a.b.c.d…)=a1M(0.b.c.d…).

Точно также мы нашли бы

b=bM(a.1.c.d…)

b1=b1M(a.0.c.d…)

и т.д. Правило Джевонса принимает такой вид: для определения какого угодна класса, надо умножить его или на саму логическую единицу, или, еще проще, на такую функцию, которая выводится из логической единицы после допущения в ней определяемого класса равным 1, а следов. его отрицания равным 0.

Не заходя пока далее, покажем на примере, что действительно применение этого правила доставляет результат тождественный с результатом Джевонса, но только под формой более простой. Пусть логическая единица Пусть логическая единица некоторой задачи есть

1=a1b+c1d=M(a.b.c.d).

Отсюда для a по только что изложенному правилу имеем:

a=aM(1.b.c.d)=a(0+c1d)=ac1d.

С другой стороны, так как логический нуль в данном случае есть

0=(a+b1)(c+d1)=ac+ad1+b1c+b1d1,

то все возможные альтернативы будут:

0=ac=ac(b+b1)(d+d1)=abcd+ab1cd+abcd1+ab1cd1

0=ad1=ad1(b+b1)(c+c1)=abcd1+abc1d1+ab1cd1+ab1c1d1

0=b1c=b1c(a+a1)(d+d1)=ab1cd+ab1cd1+a1b1cd+a1b1cd1

0=b1d1=b1d1(a+a1)(c+c1)=ab1cd1+ab1c1d1+a1b1cd1+a1b1c1d1.

Число всех различных невозможных альтернатив будет 9, прочие семь (из общего числа 16) возможны; они составляют упрощенный алфавит, для которого таким образом получаем:

1=a1bcd+a1bcd1+a1bc1d1+abc1d+ab1c1d+a1bc1d+a1b1c1d.

Так как здесь зависят от a только два члена, то их сумма, по Джевонсу, и послужит выражением для a, т.е. будет:

a=abc1d+ab1c1d.

То же, что и выше, но в форме несколько более сложной. Для a1 Джевонс получил бы:

a1=a1bcd+a1bcd1+a1bc1d1+a1bc1d+a1b1c1d,

а из логической единицы мы имели бы:

a1-a1M(0.b.c.d)=a1(b+c1d),

результат, значительно более простой. Что оба выражения для a1 тождественны, легко убедиться из следующей простой выкладки:

a1=a1(b+c1d)=a1b(cd+cd1+c1d+c1d1)+a1c1d(b+b1)=a1bcd+a1bcd1+

+a1bc1d+a1bc1d1+a1b1c1d.

И так, построенная нами формула не только вполне отвечает правилу Джевонса, но и доставляет результаты в более простой форме.

Интересно сравнить полученную нами формулу, отвечающую взглядам Джевонса, именно:

a=aM(1.b.c.d…),

с формулой Шредера, которая, как мы видели, есть:

a=N1(1.b.c.d…)[u+N(0.b.c.d…)].

Здесь N есть логический нуль задачи, и след.

N(0.b.c.d…)=M1(0.b.c.d…)

N1(1.b.c.d…)=M(1.b.c.d…).

Переходя в формуле Шредера от функции N к функции M и заменяя произвольный класс u его подлинным значением a, будет иметь:

a=M(1.b.c.d…)[a+M1(0.b.c.d…)].

Откуда заключаем, что получаемое Джевонсом определение a отвечает одному первому члену формулы Шредера.

Сделав, в первый раз подобное сравнение обеих формул и вспомнив, что формула Шредера, благодаря искусственности ее построения, дает повод к подозрению относительно возможности присутствия в ней лишних членов, я заключил было, что второй член формулы Шредера всегда лишний. Однако, впоследствии, под влиянием частного примера, когда формула, отвечающая идеям Джевонса, не доставляет никакого определения, кроме a=a, формула же шредера дает для a некоторую функцию, я должен был переменить свой взгляд, т.е. признать, что в суждениях Джевонса должна быть ошибка, и что, наоборот, второй член формулы Шредера если и не всегда, то в известных случаях, необходим для полного определения a. Легко видеть, что всякий раз, когда функция M(1.b.c.d…) тождественно сводится на 1, формула a=aM(1.b.c.d…) сводится на тождество a=a, т.е. вовсе не определяет a, тогда как формула Шредера доставляет нам a=a+M1(0.b.c.d…). Интересно, что в подобных случаях пользуясь своим алфавитом, сам Джевонс получает для а однородную функцию n-го измерения, иногда очень сложную и, не подозревая ошибки в своих суждениях, воображает будто получил действительное определения a.

Что определение классов по Джевонсу должно быть признано неполным, можно судить также из следующего. Вообразим ряд задач, которых логические единицы суть:

1=ma+n´a1, 1=ma+n´´a1, 1=ma+n´´´a1,…

Для всех этих задач, существенно отличающихся один от другой, по идеям Джевонса получается одно и тоже определение a, именно: a=am, чего, конечно, быть не может и не должно.

В чем же состоит теоретическая ошибка в суждении Джевонса при определении классов? Проследить эту ошибку умозрительно и с очевидностью ее обнаружить не особенно легко, так как суждения самого Джевонса по-видимому совершенно безукоризненны. Только в виду несомненного факта неудовлетворенности формулы a=aM(1.b.c…) в известного рода случаях, мне пришлось отказаться от убеждения в ее полноте и общности. По крайнему моему разумению, ошибка Джевонса может быть доказана так. Хотя для образования упрощенного алфавита Джевонса отбрасываются только одни невозможные альтернативы, но невозможность этих последних, будучи невозможностью в силу своей совокупности отношений между классами, данных нам в посылках, может и не быть невозможностью по отношению к значению какого-либо данного класса a. Все такие альтернативы, нелепые по отношению ко всей задаче, в отношении же одного a вовсе не представляющие нелепости, должны быть принимаемы в расчет, если желаем получить полное определение a. Этого именно и не делает Джевонс. Как же пополнить этот пробел? Восполнять его в прямом смысле мы и не беремся, а предпочитаем продолжать суждения далее. Коль скоро альтернатив, зависящих от a, в составе упрощенного алфавита, недостаточно для полного определения a, то мы должны обратиться для этой цели к остальным альтернативам, т.е. зависящим от a1. Определив из них непосредственно a1, и взяв отрицание этого определения, мы получим еще одно определение a, и вот это второе определение a, поскольку оно не представляет повторения прежде полученного определения, и должно послужить к восполнению упомянутого пробела. Как видим, ошибка Джевонса состоит в том, что он упустил из виду зависимость a и a1, и для устранения этой ошибки необходимо и достаточно воспользоваться этой зависимостью, т.е. делать двукратное определение a: раз непосредственное и затем еще раз через посредство a1. Как мы видели, первое определения было таково:

a=aM(1.b.c.d…).

Для получения второго мы дожны построить формулу

a1=a1M(0.b.c.d…)

и взять ее отрицание, т.е.

a=a+M1(0.b.c.d…).

также точно, для полного определения b должна служить пара формул:

b=bM(a.1.c.d…), b=b+M1(a.0.c.d…).

Тоже и в отношении прочих классов.

Как видим, в случае, который был указан нами выше. Т.е. когда тождественно M(1.b.c.d…)=1, наша формула доставляет нам: a=aM(1.b.c.d…)=a, a=a+M1(0.b.c.d…), т.е. совершенно тоже, что и формула Шредера.

Не довольствуясь предыдущими суждениями, мы дадим еще прямое толкование логического значения обеих формул служащих к определению a. Формула

a=am(1.b.c.d…)

указывает, что умножение a на M(1.b.c.d…) не изменяет a, т.е. все, что есть общего между M(1.b.c.d…) и a, сводится на само a; другими словами: a содержится в M(1.b.c.d…). Наоборот, формула

a=a+M1(0.b.c.d…)

показывает, что прибавление к a функции M1(0.b.c.d…) не изменяет a, т.е. a содержит в себе функцию M1(0.b.c.d…). След. наша пара формул определяет a указанием на две функции: на функцию, содержащую a, и на функцию, содержащуюся в a, т.е. определяет, к каким категориям принадлежит класс a, какие категории он сам в себе содержит. Полнее подобного определения невозможно себе представить. Как видим, Джевонс определяет только категории содержащие a, и такое определение надо признать на столько же неполным, как если бы кто-нибудь вздумал определить a одними категориями, в нем содержащиеся24.

Выше мы указали случай, когда формула, отвечающая взглядам Джевонса, т.е. a=aM(1), не представляет для a никакого определения, кроме тождества a=a. Это бывает всякий раз, когда M(1.b.c.d…) сводятся тождественно на 1. А теперь можем добавить, что наоборот, формула эта вполне определяет a всякий раз, когда вторая из формул определения a, т.е. a=a+M1(0), сводится на тождество a=a, для чего достаточно, чтобы M1(0.b.c.d…) сводилось на тождественный нуль, или M(0.b.c.d…) было тождественной единицей. Если припомним, что M(1.b.c.d…) и M(0.b.c.d…) суть коэффициенты разложения функции M(a.b.c.d…) относительно класса a, что видно из формулы Буля: M(a)=aM(1)+a1M(0), то можем высказать следующее общее правило: если, раньше определения класса a, мы приведем логическую единицу задачи к однородному относительно a виду, и после того окажется, что логическая единица принимает или вид 1=a+a1f(b.c.d…), или же вид 1=a1+aF(b.c.d…), то для полного определения a вполне достаточно одной формулы, а именно: формулы a=a+f1(b.c.d…) в 1-м случае и формулы a=aF(b.c.d…) во втором. (Эти же заключения можно было бы вывести иначе, из сравнения формул 1=a+a1f и 1=a1+aF с тождеством 1=a+a1 ).

Во всех прочих случаях, т.е. когда ни M(1.b.c.d…), ни M(0.b.c.d…) не есть тождественная единица, ни одна из предложенный нами формул: a=aM(1), a1=a1M(0) не превращается в тождество, и следовательно получаемые Джевонсом результаты должны быть признаны неполными. Во всех таких случаях необходимо делать двукратное определение a из логической единицы M(a.b.c.d…): сначала непосредственное по формуле a=aM(1), а потом через посредство a1, для чего надо или брать отрицание значения a1, найденного из формулы: a1=a1M(0), или же прямо применить формулу a=a+M1(0).

Как видим, для второго определения a перед нами открываются два пути. Который из них выгоднее? Небольшого размышления достаточно, чтобы убедиться, что брать отрицание результата, найденного по формуле a1=a1M(0), вообще должно быть много удобнее, чем применение формулы a=a+M1(0), при употреблении которой приходится составлять отрицание самой логической единицы, т.е. функции гораздо более сложной, чем предыдущий результат. И так, одна и та же пара формул: a=aM(1), a1=a1M(0) может служить нам для полного определения не только a, но и a1. Определяется ли a или a1, надо непосредственно применить обе эти формулы, и затем, когда определяется a, взять отрицание найденного a1; когда же определяется a1; взять отрицание полученного a.

Приведем несколько простых примеров:
  1. Из равенства 1=a+b=M(a.b) для определения a имеем: a=aM(1.b)=a.1=a; a1=a1M(0.b)=a1(0+b)=a1b. Первый результат есть тождество, т.е. нисколько не определяет a, отрицание же второго доставит нам: a=a+b1, т.е. a содержит в себе b1. Джевонс в этом случае получает фиктивное определение a. Его упрощенный алфавит получим, сделав логическую единицу a+b однородной функцией 2-го измерения, т.е. этот алфавит будет:

1=a(b+b1)+b(a+a1)=ab+ab1+a1b.

Отсюда для a он получает: a=ab+ab1. Подобного рода результат Джевонс обыкновенно читает так: a есть или b1 или не-b, не подозревая всей несообразности подобного определения. Такой ответ не устанавливает никакого отношения между a и b, ибо, помимо всяких посылок, всегда a=ab+ab1. Однако, в данном случае между a и b существует вполне определенное отношение: a содержит в себе все, что не есть b.
  1. Из равенства 1=a1+b=M(a.b) мы получаем: a=aM(1.b)=a(0+b)=ab; a1=a1M(0.b)=a1(1+b)=a1.1=a1. Следовательно, для a мы имеем: a=ab, и для a1: a1=a1+b1, тогда как Джевонс имел бы алфавит:

1=a1(b+b1)+b(a+a1)=ab+a1b+a1b1

и след. получил бы для a: a=ab, и для a1: a1=a1b+a1b1.

Первый ответ Джевонса совпадает с нашим, а второй есть замаскированное тождество.
  1. Из равенства 1=abc+a1(b1+c1)=M(a.b.c) Джевонс для a нашел бы: a=abc, тогда как по нашим формулам выходит:

a=aM(1.b.c)=a(bc), a1=a1M(0.b.c)=a1(b1+c1).

Отрицание второй из этих формул есть: a=a+bc.Следов. в настоящем случае a не только содержится в bc, как нашел и Джевонс, но, сверх того, само содержит в себе bc, т.е. в данном случае a=bc.
  1. Из равенства 1=ab+a1c=M(a.b.c) для результата, отвечающего взглядам Джевонса, мы получаем: a=aM(1.b.c)=a(b)=ab. С целью же получить дополнительное определение a, мы вычисляем еще: a1=a1M(0.b.c)=a1c, откуда a=a+c1. След. к ответу Джевонса: «a содержится в b» надо добавить поправку: «и содержит в себе c1».

Оставим внимание на 3-м из только что приведенных примеров. Пример этот относится к тому общему случаю, когда M(1)=M1(0), т.е. когда, по приведении логической единицы к однородному относительно a виду, оказывается, что коэффициент при a есть отрицание коэффициента при a1, и обратно. В этом случае результат, получаемый Джевонсом, отвечая одной формуле: a=aM(1), гласит только, что a содержится в M(1). Если же мы возьмем отрицание дополнительной формулы, то получим еще: a=a+M1(0). Но обе функции: M(1) и M1(0), по условию, равны между собою. Следов. a, содержась в M(1) и содержа в себе M1(0), в данном случае тождественно с каждой из этих функций, т.е. a=M(1)=M1(0). Этот случай особенно замечателен с точки зрения логики, потому что здесь мы имеем не простое описание предмета a признаками прочих предметов, а полное его логическое определение. Как видим, случай этот неуловим по способу Джевонса.