Два сообщения, читанные 27 февраля и 23 марта 1882г

Вычислим логическую единицу всей задачи. Произведение 1

Следующая искомая логическая единица будет:

1=(ab₁+a₁b)(a+b₁+c₁d)(a₁+b+cd₁)=
(ab₁+a₁bc₁d)(a₁+b+cd₁)=ab₁cd₁+a₁bc₁d.

Вычисление логической единицы задачи позволяет нам судить о достоинствах посылок и отличать бессмысленные задачи от возможных. Если какой-либо из множителей, составляющих полную единицу задачи, сводятся на 0, то это означает, что посылка, отвечающая этому множителю, заключает в себе какую-нибудь нелепость. Если все множители отличны от нуля, а произведения их все-таки сводится на 0, то это служит признаком противоречия между посылками, и всегда легко проследить, между каким именно. Если какой-либо множитель тождественно сводится на 1, то соответственная посылка есть тождество, т.е. не имеет никакого логического значения, представляя простую игру слов. Наконец, если какой-либо класс и его отрицание совсем не входят в выражение логической единицы, то этот класс играет роль балласта в посылках и с успехом может быть выпущен из них.

§ 6. Исправление второй части того-же способа

Доселе мы занимались усовершенствованием первой части способа Джевонса, состоящей в получении упрощенного алфавита, взамен которого мы предложили более простую функцию, логическую единицу, с указанием общих и весьма нетрудных правил ее построения. Переходим к исправлению второй части того же способа, состоящей в определении какого угодно класса a из упрощенного алфавита.

Имея упрощенный алфавит под формою однородной функции n-го измерения (n есть число классов), Джевонс утверждает, что та часть этого алфавита, которая зависит от a, должна представлять полное определение a, остальная же часть полное определение a₁. Несколько ниже мы убедимся, что такое определение a и a₁ только в известных случаях может быть признано полным. А теперь обратим внимание на то обстоятельство, что получаемое Джевонсом определение классов всегда представляется под тою же сложной формой однородных функций n-го измерения. Уже одно это обстоятельство должно представлять крупное несовершенство решения, получаемого Джевонсом. Мы имеем полную возможность устранения этого недостатка; стоит только выводить определение классов не из упрощенного алфавита, а из гораздо более простой функции, тождественной с этим алфавитом, из логической единицы задачи. При этом, оставаясь на точке зрения Джевонса, нам придется несколько видоизменить указанное им правило определения классов, так сказать, приспособив его к случаю неоднородности состава логической единицы. Если, при n классах, в упрощенном алфавите Джевонса каждый член состоит из n множителей, меж которыми всегда встречается a или a₁, то в логической единице могут существовать члены всевозможных измерений от 1-го до n-го и след. могут встречаться члены, не содержащие вовсе ни a, ни a₁. Другими словами, по отношению к классу a, логическая единица вообще имеет такую форму

M(a.b.c.d…)=aφ(b.c.d…)+a₁θ(b.c.d…)+ψ(b.c.d…).

Здесь Ψ(b.c.d…)и есть сумма всех таких членов логической единицы, которые не содержат ни a, ни a₁. Однако эту функцию легко представить под формой (a+a₁)ψ(b.c.d…) после чего предыдущее выражении для M принимает вид

M(a.b.c.d…)=af(b.c.d…)+a₁F(b.c.d…),

т.е. делается однородным в отношении класса a. Здесь для простоты принято, что

f(b.c.d…)=φ(b.c.d…)+ψ(b.c.d…),

F(b.c.d…0=θ(b.c.d…)+ψ(b.c.d…).

Только что полученная нами форма логической единицы вполне достойна для возможности непосредственного применения к ней предложенного Джевонсом правила определения a. В самом деле, мы получили тот же алфавит Джевонса (однако под формой все еще более простой, а именно в форме однородной функции одного a, а не всех классов b, c, d…) и имеем его разбитым на две части: часть, зависящую от a, и часть, зависящую от a₁. А потому первая из этих частей и будет представлять определение a, отвечающее идеям Джевонса, а именно:

a=af(b.c.d…)=aφ(b.c.d…)+aψ(b.c.d…).

След. в общем случае, т.е. когда логическая единица иметь форму

M=aφ+a₁θ+ψ,

правило Джевонса делается таково: для определения a надо к части, зависящей от a (т.е. aφ), прибавить умноженную на a часть, не содержащую ни a, ни a₁ (т.е. aψ). И очевидно, что та же цель будет вполне достигнута, если мы выражение логической единицы умножим на a, потому что при таком умножении часть, зависящая от a₁, сама собою отпадает, и остается та же самая сумма aφ+aψ, которая была получена выше. И так, если логическая единица задачи есть M(a.b.c.d…), то определение a, вполне отвечающее правилу Джевонса, будет:

a=aM(a.b.c.d…).

Также точно получается:

a₁=a₁M(a.b.c.d…)

b=bM(a.b.c.d…)

и т.д. Вот какую простую форму принимает правило Джевонса, приспособленное к той более простой функции, которую мы заменяем его логический алфавит, а именно: для определения какого угодно класса достаточно умножить этот класс на логическую единицу задачи.

Найденное правило можно подвергнуть дальнейшему изменению, при котором словесное изложение его сделается несколько сложнее, но зато символическое его изображение будет зависеть от еще более простой функции. В самом деле, мы знаем, как доказал Буль, что разложение какой угодно функции F(a.b.c.d…) в отношении класса a таково:

F(a.b.c.d…)=aF(1.b.c.d…)+a₁F(0.b.c.d…).

На этом основании

M(a.b.c.d…)=aM(1.b.c.d…)+a₁M(0.b.c.d…),

вследствие чего

aM(a.b.c.d…)=aM(1.b.c.d…)

a₁M(a.b.c.d…)=a₁M(0.b.c.d…)

и следовательно:

a=aM(a.b.c.d…)=aM(1.b.c.d…)

a₁=a₁M(a.b.c.d…)=a₁M(0.b.c.d…).

Точно также мы нашли бы

b=bM(a.1.c.d…)

b₁=b₁M(a.0.c.d…)

и т.д. Правило Джевонса принимает такой вид: для определения какого угодна класса, надо умножить его или на саму логическую единицу, или, еще проще, на такую функцию, которая выводится из логической единицы после допущения в ней определяемого класса равным 1, а следов. его отрицания равным 0.

Не заходя пока далее, покажем на примере, что действительно применение этого правила доставляет результат тождественный с результатом Джевонса, но только под формой более простой. Пусть логическая единица Пусть логическая единица некоторой задачи есть

1=a₁b+c₁d=M(a.b.c.d).

Отсюда для a по только что изложенному правилу имеем:

a=aM(1.b.c.d)=a(0+c₁d)=ac₁d.

С другой стороны, так как логический нуль в данном случае есть

0=(a+b₁)(c+d₁)=ac+ad₁+b₁c+b₁d₁,

то все возможные альтернативы будут:

0=ac=ac(b+b₁)(d+d₁)=abcd+ab₁cd+abcd₁+ab₁cd₁

0=ad₁=ad₁(b+b₁)(c+c₁)=abcd₁+abc₁d₁+ab₁cd₁+ab₁c₁d₁

0=b₁c=b₁c(a+a₁)(d+d₁)=ab₁cd+ab₁cd₁+a₁b₁cd+a₁b₁cd₁

0=b₁d₁=b₁d₁(a+a₁)(c+c₁)=ab₁cd₁+ab₁c₁d₁+a₁b₁cd₁+a₁b₁c₁d₁.

Число всех различных невозможных альтернатив будет 9, прочие семь (из общего числа 16) возможны; они составляют упрощенный алфавит, для которого таким образом получаем:

1=a₁bcd+a₁bcd₁+a₁bc₁d₁+abc₁d+ab₁c₁d+a₁bc₁d+a₁b₁c₁d.

Так как здесь зависят от a только два члена, то их сумма, по Джевонсу, и послужит выражением для a, т.е. будет:

a=abc₁d+ab₁c₁d.

То же, что и выше, но в форме несколько более сложной. Для a₁ Джевонс получил бы:

a₁=a₁bcd+a₁bcd₁+a₁bc₁d₁+a₁bc₁d+a₁b₁c₁d,

а из логической единицы мы имели бы:

a₁-a₁M(0.b.c.d)=a₁(b+c₁d),

результат, значительно более простой. Что оба выражения для a₁ тождественны, легко убедиться из следующей простой выкладки:

a₁=a₁(b+c₁d)=a₁b(cd+cd₁+c₁d+c₁d₁)+a₁c₁d(b+b₁)=a₁bcd+a₁bcd₁+

+a₁bc₁d+a₁bc₁d₁+a₁b₁c₁d.

И так, построенная нами формула не только вполне отвечает правилу Джевонса, но и доставляет результаты в более простой форме.

Интересно сравнить полученную нами формулу, отвечающую взглядам Джевонса, именно:

a=aM(1.b.c.d…),

с формулой Шредера, которая, как мы видели, есть:

a=N₁(1.b.c.d…)[u+N(0.b.c.d…)].

Здесь N есть логический нуль задачи, и след.

N(0.b.c.d…)=M₁(0.b.c.d…)

N₁(1.b.c.d…)=M(1.b.c.d…).

Переходя в формуле Шредера от функции N к функции M и заменяя произвольный класс u его подлинным значением a, будет иметь:

a=M(1.b.c.d…)[a+M₁(0.b.c.d…)].

Откуда заключаем, что получаемое Джевонсом определение a отвечает одному первому члену формулы Шредера.

Сделав, в первый раз подобное сравнение обеих формул и вспомнив, что формула Шредера, благодаря искусственности ее построения, дает повод к подозрению относительно возможности присутствия в ней лишних членов, я заключил было, что второй член формулы Шредера всегда лишний. Однако, впоследствии, под влиянием частного примера, когда формула, отвечающая идеям Джевонса, не доставляет никакого определения, кроме a=a, формула же шредера дает для a некоторую функцию, я должен был переменить свой взгляд, т.е. признать, что в суждениях Джевонса должна быть ошибка, и что, наоборот, второй член формулы Шредера если и не всегда, то в известных случаях, необходим для полного определения a. Легко видеть, что всякий раз, когда функция M(1.b.c.d…) тождественно сводится на 1, формула a=aM(1.b.c.d…) сводится на тождество a=a, т.е. вовсе не определяет a, тогда как формула Шредера доставляет нам a=a+M₁(0.b.c.d…). Интересно, что в подобных случаях пользуясь своим алфавитом, сам Джевонс получает для а однородную функцию n-го измерения, иногда очень сложную и, не подозревая ошибки в своих суждениях, воображает будто получил действительное определения a.

Что определение классов по Джевонсу должно быть признано неполным, можно судить также из следующего. Вообразим ряд задач, которых логические единицы суть:

1=ma+n´a₁, 1=ma+n´´a₁, 1=ma+n´´´a₁,…

Для всех этих задач, существенно отличающихся один от другой, по идеям Джевонса получается одно и тоже определение a, именно: a=am, чего, конечно, быть не может и не должно.

В чем же состоит теоретическая ошибка в суждении Джевонса при определении классов? Проследить эту ошибку умозрительно и с очевидностью ее обнаружить не особенно легко, так как суждения самого Джевонса по-видимому совершенно безукоризненны. Только в виду несомненного факта неудовлетворенности формулы a=aM(1.b.c…) в известного рода случаях, мне пришлось отказаться от убеждения в ее полноте и общности. По крайнему моему разумению, ошибка Джевонса может быть доказана так. Хотя для образования упрощенного алфавита Джевонса отбрасываются только одни невозможные альтернативы, но невозможность этих последних, будучи невозможностью в силу своей совокупности отношений между классами, данных нам в посылках, может и не быть невозможностью по отношению к значению какого-либо данного класса a. Все такие альтернативы, нелепые по отношению ко всей задаче, в отношении же одного a вовсе не представляющие нелепости, должны быть принимаемы в расчет, если желаем получить полное определение a. Этого именно и не делает Джевонс. Как же пополнить этот пробел? Восполнять его в прямом смысле мы и не беремся, а предпочитаем продолжать суждения далее. Коль скоро альтернатив, зависящих от a, в составе упрощенного алфавита, недостаточно для полного определения a, то мы должны обратиться для этой цели к остальным альтернативам, т.е. зависящим от a₁. Определив из них непосредственно a₁, и взяв отрицание этого определения, мы получим еще одно определение a, и вот это второе определение a, поскольку оно не представляет повторения прежде полученного определения, и должно послужить к восполнению упомянутого пробела. Как видим, ошибка Джевонса состоит в том, что он упустил из виду зависимость a и a₁, и для устранения этой ошибки необходимо и достаточно воспользоваться этой зависимостью, т.е. делать двукратное определение a: раз непосредственное и затем еще раз через посредство a₁. Как мы видели, первое определения было таково:

a=aM(1.b.c.d…).

Для получения второго мы дожны построить формулу

a₁=a₁M(0.b.c.d…)

и взять ее отрицание, т.е.

a=a+M₁(0.b.c.d…).

также точно, для полного определения b должна служить пара формул:

b=bM(a.1.c.d…), b=b+M₁(a.0.c.d…).

Тоже и в отношении прочих классов.

Как видим, в случае, который был указан нами выше. Т.е. когда тождественно M(1.b.c.d…)=1, наша формула доставляет нам: a=aM(1.b.c.d…)=a, a=a+M₁(0.b.c.d…), т.е. совершенно тоже, что и формула Шредера.

Не довольствуясь предыдущими суждениями, мы дадим еще прямое толкование логического значения обеих формул служащих к определению a. Формула

a=am(1.b.c.d…)

указывает, что умножение a на M(1.b.c.d…) не изменяет a, т.е. все, что есть общего между M(1.b.c.d…) и a, сводится на само a; другими словами: a содержится в M(1.b.c.d…). Наоборот, формула

a=a+M₁(0.b.c.d…)

показывает, что прибавление к a функции M₁(0.b.c.d…) не изменяет a, т.е. a содержит в себе функцию M₁(0.b.c.d…). След. наша пара формул определяет a указанием на две функции: на функцию, содержащую a, и на функцию, содержащуюся в a, т.е. определяет, к каким категориям принадлежит класс a, какие категории он сам в себе содержит. Полнее подобного определения невозможно себе представить. Как видим, Джевонс определяет только категории содержащие a, и такое определение надо признать на столько же неполным, как если бы кто-нибудь вздумал определить a одними категориями, в нем содержащиеся²⁴.

Выше мы указали случай, когда формула, отвечающая взглядам Джевонса, т.е. a=aM(1), не представляет для a никакого определения, кроме тождества a=a. Это бывает всякий раз, когда M(1.b.c.d…) сводятся тождественно на 1. А теперь можем добавить, что наоборот, формула эта вполне определяет a всякий раз, когда вторая из формул определения a, т.е. a=a+M₁(0), сводится на тождество a=a, для чего достаточно, чтобы M₁(0.b.c.d…) сводилось на тождественный нуль, или M(0.b.c.d…) было тождественной единицей. Если припомним, что M(1.b.c.d…) и M(0.b.c.d…) суть коэффициенты разложения функции M(a.b.c.d…) относительно класса a, что видно из формулы Буля: M(a)=aM(1)+a₁M(0), то можем высказать следующее общее правило: если, раньше определения класса a, мы приведем логическую единицу задачи к однородному относительно a виду, и после того окажется, что логическая единица принимает или вид 1=a+a₁f(b.c.d…), или же вид 1=a₁+aF(b.c.d…), то для полного определения a вполне достаточно одной формулы, а именно: формулы a=a+f₁(b.c.d…) в 1-м случае и формулы a=aF(b.c.d…) во втором. (Эти же заключения можно было бы вывести иначе, из сравнения формул 1=a+a₁f и 1=a₁+aF с тождеством 1=a+a₁ ).

Во всех прочих случаях, т.е. когда ни M(1.b.c.d…), ни M(0.b.c.d…) не есть тождественная единица, ни одна из предложенный нами формул: a=aM(1), a₁=a₁M(0) не превращается в тождество, и следовательно получаемые Джевонсом результаты должны быть признаны неполными. Во всех таких случаях необходимо делать двукратное определение a из логической единицы M(a.b.c.d…): сначала непосредственное по формуле a=aM(1), а потом через посредство a₁, для чего надо или брать отрицание значения a₁, найденного из формулы: a₁=a₁M(0), или же прямо применить формулу a=a+M₁(0).

Как видим, для второго определения a перед нами открываются два пути. Который из них выгоднее? Небольшого размышления достаточно, чтобы убедиться, что брать отрицание результата, найденного по формуле a₁=a₁M(0), вообще должно быть много удобнее, чем применение формулы a=a+M₁(0), при употреблении которой приходится составлять отрицание самой логической единицы, т.е. функции гораздо более сложной, чем предыдущий результат. И так, одна и та же пара формул: a=aM(1), a₁=a₁M(0) может служить нам для полного определения не только a, но и a₁. Определяется ли a или a₁, надо непосредственно применить обе эти формулы, и затем, когда определяется a, взять отрицание найденного a₁; когда же определяется a₁; взять отрицание полученного a.

Приведем несколько простых примеров:

1. Из равенства 1=a+b=M(a.b) для определения a имеем: a=aM(1.b)=a.1=a; a₁=a₁M(0.b)=a₁(0+b)=a₁b. Первый результат есть тождество, т.е. нисколько не определяет a, отрицание же второго доставит нам: a=a+b₁, т.е. a содержит в себе b₁. Джевонс в этом случае получает фиктивное определение a. Его упрощенный алфавит получим, сделав логическую единицу a+b однородной функцией 2-го измерения, т.е. этот алфавит будет:
   

1=a(b+b₁)+b(a+a₁)=ab+ab₁+a₁b.

Отсюда для a он получает: a=ab+ab₁. Подобного рода результат Джевонс обыкновенно читает так: a есть или b₁ или не-b, не подозревая всей несообразности подобного определения. Такой ответ не устанавливает никакого отношения между a и b, ибо, помимо всяких посылок, всегда a=ab+ab₁. Однако, в данном случае между a и b существует вполне определенное отношение: a содержит в себе все, что не есть b.

2. Из равенства 1=a₁+b=M(a.b) мы получаем: a=aM(1.b)=a(0+b)=ab; a₁=a₁M(0.b)=a₁(1+b)=a₁.1=a₁. Следовательно, для a мы имеем: a=ab, и для a₁: a₁=a₁+b₁, тогда как Джевонс имел бы алфавит:
   

1=a₁(b+b₁)+b(a+a₁)=ab+a₁b+a₁b₁

и след. получил бы для a: a=ab, и для a₁: a₁=a₁b+a₁b₁.

Первый ответ Джевонса совпадает с нашим, а второй есть замаскированное тождество.

3. Из равенства 1=abc+a₁(b₁+c₁)=M(a.b.c) Джевонс для a нашел бы: a=abc, тогда как по нашим формулам выходит:
   

a=aM(1.b.c)=a(bc), a₁=a₁M(0.b.c)=a₁(b₁+c₁).

Отрицание второй из этих формул есть: a=a+bc.Следов. в настоящем случае a не только содержится в bc, как нашел и Джевонс, но, сверх того, само содержит в себе bc, т.е. в данном случае a=bc.

4. Из равенства 1=ab+a₁c=M(a.b.c) для результата, отвечающего взглядам Джевонса, мы получаем: a=aM(1.b.c)=a(b)=ab. С целью же получить дополнительное определение a, мы вычисляем еще: a₁=a₁M(0.b.c)=a₁c, откуда a=a+c₁. След. к ответу Джевонса: «a содержится в b» надо добавить поправку: «и содержит в себе c₁».
   

Оставим внимание на 3-м из только что приведенных примеров. Пример этот относится к тому общему случаю, когда M(1)=M₁(0), т.е. когда, по приведении логической единицы к однородному относительно a виду, оказывается, что коэффициент при a есть отрицание коэффициента при a₁, и обратно. В этом случае результат, получаемый Джевонсом, отвечая одной формуле: a=aM(1), гласит только, что a содержится в M(1). Если же мы возьмем отрицание дополнительной формулы, то получим еще: a=a+M₁(0). Но обе функции: M(1) и M₁(0), по условию, равны между собою. Следов. a, содержась в M(1) и содержа в себе M₁(0), в данном случае тождественно с каждой из этих функций, т.е. a=M(1)=M₁(0). Этот случай особенно замечателен с точки зрения логики, потому что здесь мы имеем не простое описание предмета a признаками прочих предметов, а полное его логическое определение. Как видим, случай этот неуловим по способу Джевонса.