Два сообщения, читанные 27 февраля и 23 марта 1882г

Вид материала

Подобный материал:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 15

§ 7. Исследование полученной нами пары основных формул. Полные и точные определения

Вопрос о недостаточности получаемого Джевонсом определения классов и о необходимости предлагаемого нами добавочного их определения можно считать исчерпанным^²⁵.

Так как наша пара формул a=aM(1), a₁=a₁M(0) представляет вполне натуральное и полное решение вопроса, то в ней мы должны искать критерии для оценки не только формулы Джевонса, но и всяких других формул определения классов, напр. формулы Шредера. Для достижения этой последней цели, а также в интересах дальнейшего развития вашего способа, нам необходимо заняться исследованием полученного нами определения.

Прежде всего мы докажем, что упомянутая пара формул вполне тождественно с равенством: 1=M(a.b.c.d…)=aM(1)+a₁M(0). Для этого достаточно обнаружить, что обе первые формулы суть следствия 3-ей, и обратно: третья есть следствие двух первых. А это именно так и есть, причём первая формула выводится из 3-ей через умножение сей последней на a; вторая получается из третьей после умножения ее на a₁; наконец третья есть сумма двух первых. Предложение доказано сполна. Логическое его значение таково: пара наших формул определения a вполне выражает все сведения, заключенные в посылках задачи, вполне заменяет систему посылок. Другими словами, отрывочные сведения об отношениях между классами, предлагаемые нам в посылках, могут быть сконцентрированы в двух простых формулах, предназначенных к тому, чтобы изобразить полную картину той роли, которую играет каждый данный класс, напр. a, в ряду всех прочих^²⁶.

Спрашивается теперь, есть ли необходимость, чтобы определение класса a было основано на всех сведениях, заключенных в посылках? Не достаточно ли для этой цели одних тех сведений, которые прямо касались бы самого a? Нельзя ли исключить остальные сведения, рисующие взаимные отношения всех прочих классов, помимо a? С целью ответить на эти вопросы, мы покажем, что между обоими определениями a, доставляемыми нашими формулами, заключается некоторое частное противоречие. В самом деле, если M₁(0) логически содержится в a и само a логически содержится в M(1), тои подавно M₁(0) должно содержаться логически в M(1), т.е.

M₁(0)=M₁(0)M(1).

Если же функция M(1) и M₁(0) мы напишем в следующем виде:

M(1)=M(1)[M(0)+M₁(0)]=M(1)M(0)+M(1)M₁(0)

M₁(0)=M₁(0)[M(1)+M₁(1)]=M₁(0)M(1)+M₁(0)M₁(1),

то не трудно усмотреть, что функция M₁(0) целиком не может быть частью функции M(1), потому что ее члена M₁(0)M₁(1) нет в составе функции M(1)^²⁷. В этом и заключается упомянутое частное противоречие наших формул, и для устранения этого противоречия необходимо потребовать, чтобы удовлетворялось условие

M₁(0)M₁(1)=0,

в силу которого написанный здесь член функции M₁(0) должен быть одним из частных логических нулей задачи. Чтобы исключить это противоречие из самых формул определения a, вполне достаточно вместо функции M₁(0) брать только ту ее часть, которая отлична от логического нуля, т.е. M₁(0)M(1). После этого наши формулы принимают вид: a=aM(1), a=a+M₁(0)M(1). В этом виде формулы определения уже не выражают всех условий задачи, и понятно, им недостает только указания, что остальная часть функции M₁(0), т.е. M₁(0)M₁(1) есть логический нуль. Присоединяя к ним это условие, мы получим 3 равенства: a=aM(1), a=a+M₁(0)M(1), 0=M₁(0)M₁(1), совокупность которых вполне выражает все условие задачи. Отсюда видим, что все сведения посылок можно распределить по трем формулам, две из которых представляют освобожденное от противоречия определение a двумя функциями, тогда как треть изображает некоторое отношение между прочими классами b, c, d… независимо от класса a. Это последнее условие, называемое результатом исключения a из данных посылок, и представляет собрание всей той доли сведений посылок, которая не касается непосредственно самого a. Если же так, то делается понятным что пара формул: a=aM(1), a=a+M₁(0)M(1), вновь нами полученных, представляет определение a, основанное только на тех сведениях, которые прямо касаются этого класса. Понятно также и то, что первоначальная пара формул потому собственно и заключает в себе противоречие, что из нее не исключены сведения, не предназначенные к характеристике самого a.

Подводя итог тому, что найдено нами относительно определения классов, можем сказать, что, во 1-х, в противоположность Булю, Шредеру и Джевонсу, для определения какого угодно класса a мы получили не одну формулу, а две, вполне независимые одна от другой и предназначенные для характеристики a в двух противоположных направлениях, и во 2-х, мы построили даже не одну, а две пары формул для этой цели, а именно пару: a=aM(1), a=a+M₁(0), обнимающую все сведения задачи, и пару: a=aM(1), a=a+M₁(0)M(1), основанную только на тех сведениях, которые прямо предназначены к характеристике a.

Спрашивается теперь, какое же определение a должно быть предпочтено: первое или второе? Категорически отвечать на этот вопрос в общем виде мы находим неудобным, потому что в одних случаях и для одних целей может быть предпочтена одна пара формул, в других – другая. Для отличия мы будем называть первую пару полным, а вторую точным определением a.

Для примера обратимся к той самой задаче, которую мы уже решали по способам Буля, Джевонса и Шредера, т.е. задаче с посылкой x=y(z+ω), к которой должна быть прибавлена добавочная посылка 0=zω. В силу этих посылок: 1) ответственны (x) разумные существа (y), обладающие свободою (z), или отказавшаяся от нее (ω), обладали бы ею (z). Найдем сначала полный логический мир речи этих посылок. В единичных формах обе посылки будут: 1=xy(z+ω)+x₁(y₁+z₁ω₁) и 1=z₁+ω₁. Произведение этих равенств есть:

1=M(x.y.z.ω)=zyωz₁+ xyzω₁+x₁y₁z₁+x₁y₁ω₁+x₁z₁ω₁=zy(ωz₁+zω₁)+

+x₁(y₁z₁+y₁ω₁+z₁ω₁).

След. в силу данных посылок возможны только: 1) ответственные разумные существа, которые или, отказавшись от свободы, не обладают ею, или же, обладая свободою, не отказывались от нее, и 2) такие безответственные существа, которые или неразумны и несвободны, или неразумны и не отказывались от свободы, или наконец несвободны и не отказывались от свободы. – Желая определить y, спросим, во 1-х, в чем содержится этот класс, т.е. вычислим формулу: y=yM(x.1.z.ω). Принимая y=1 и y₁=0, находим:

y=y[x(ωz₁+zω₁)+x₁z₁ω₁],

формулу очень близкую к результатам, полученным по способам Буля, Джевонса и Шредера. (Истолковать эту формулу не представляет труда). А затем, во 2-х, спросим себя: что содержит в себе y, т.е. вычислим или формулу y₁=y₁M(0) (для полного определения), или же формулу y=y+M₁(0)M(1) (для точного определения). Для M(0) имеем: M(0)=x₁(z₁+ω₁+z₁ω₁)=x₁(z₁+ω₁). След. для полного определения имеем: y₁=y₁x₁(z₁+ω₁), откуда, по отрицании, находим:

y=y+x+zω=y+x,

т.е. к разумным относятся все (допускаемые задачей) ответственные существа. Наоборот, при точном определении мы получим: M₁(0)=x+zω=x; M₁(0)M(1)=x(ωz₁+zω₁) и след.

y=y+x(ωz₁+zω₁),

т.е. к разумным относятся такие ответственные существа, которые или, оказавшись от свободы, не обладают ею, или же, обладая свободой, не отказывались от нее.

Изложенный пример наглядно показывает логическое преимущество нашего способа определения классов двумя формулами перед способами Буля, Джевонса и Шредера.

§ 8. Результаты исключения из посылок простых классов

Возвращаясь несколько назад, остановим наше внимание на результате исключения a. Этот результат мы получим выше под двумя формами: 1) под формою:

M₁(0)=M₁(0)M(1),

выражающей, что функция M₁(0) логически подчинена функции M(1), и 2) под формою:

0=M₁(0)M₁(1),

Указывающей, что часть функции M₁(0), не содержащаяся в функции M(1), должна быть отбрасываема в качестве одного из частных логических нулей задачи. Таково логическое значение обоих форм результата исключения. А что обе написанные здесь формулы тождественны между собою, легко видеть из того, что нулевая форма первой есть вторая формула. Взяв теперь отрицание последней, получим еще одну форму того же результата исключения a, именно:

1=M(1)+M(0).

И легко оправдать это равенство чисто логическими соображениями. Если M(a.b.c…) есть логическая единица, т.е. aM(1)+a₁M(0)=1, то подавно M(1)+M(0) должно быть тоже -1, потому что aM(1) и a₁M(0) суть только части от M(1) и M(0).

Обращаясь к основной теореме Шредера, по которой, при наших обозначениях, равенство 0=aM₁(1)+a₁M₁(0) тождественно с парой равенств: 0=M₁(1)M₁(0) и a=M(1)[a+M₁(0)], убеждаемся, что, из найденных нами помощью логических соображений трех форм для результата исключения a, вторая есть та самая, которую получал и Шредер на основании чисто формальных процессов.

Мы уже указали (см. § 4), что Шредер оставил без разъяснения: нужно, или нет, при определении a по его формулам, брать во внимание результат исключения a с целью преобразования или упрощения полученного определения. Постараемся ответить на этот вопрос.

Вторая часть результата исключения a, т.е. формула 0=M₁(1)M₁(0), показывает нам, что в пределах задачи все независящая от a функция, могущая обращаться в логические нули, суть подклассы, как функции M₁(1), так и функции M₁(0). На этом основании, ни в составе функция M(1), ни в составе функция M(1)M₁(0), никаких логических нулей, не зависящих от a, быть не может. (Ниже мы докажем, что зависящее от a логические нули содержатся в формуле Шредера, здесь же идет речь только о нулях, не зависящих от a). А потому можем сказать, что в том (первом) варианте формулы Шредера, который написан выше, т.е. формуле a=M(1)[a+M₁(0)], не заключается никаких логических нулей, независящих от буквы a, а след. при употреблении этого варианта нет надобности обращать внимание на результат исключения a.

Иное дело со вторым вариантом формулы Шредера, т.е. формулой: a=aM(1)+M₁(0), где второй член M₁(0) содержит все независящие от a логические нули задачи. Результат, доставляемый этим вторым вариантом формулы Шредера, не может представлять окончательного определения a и должен быть упрощаем на основании результата исключения a.

Обратимся к нашим формулам. Мы уже знаем, что вторая формула полного определения, т.е. a=a+M₁(0), содержит все независящие от a логические нули задачи, а теперь можем прибавить, что первая формула того же определения, т.е. a=aM(1), и обе формулы точного определения, т.е. a=aM(1) и a=a+M₁(0)M(1) не содержит никаких логических нулей, независящих от буквы a.

А теперь оборотим вопрос и, зная, что единичная форма результата исключения a есть 1=M(1)+M(0), спросим себя: следует, или нет, принимать во внимание это равенство для упрощения вида функций, входящих в формулы определения a? Что эти функции могут сводиться на частные логические единицы задачи, нет сомнения, но обращать на это внимание не следует, и заменять такие функции единицами отнюдь не должно. (В противном случае, и полную логическую единицу задачи мы должны были бы заменять единицею). Если бы например M(1) было единицей тождественной, то формула a=aM(1) была бы тождеством a=a и отпадала бы сама собою, но коль скоро M(1) есть единица логическая, то, формула a=aM(1) имеем определенное логическое значение, и отбрасывать ее значило бы отказаться от указания на классы, к которым принадлежит a. Отбрасывать помянутую формулу значило бы признать, что не существует функции, содержащей в себе a. В данном же случае она существует и если обнимает весь мир, то это не есть универсальный мир, а только логический мир речи. Следовательно вопрос о том, служит или нет какая-либо из функций, входящих в формулы определения a, одною из логич. единиц задачи, можно при определении классов совсем оставлять без исследования. И так, результат исключения a, рассматриваемый в качестве средства для преобразования формул определения a, может служить только для выключения независящих от a логических нулей из функции M₁(0). После такого выключения функция M₁(0) переходит в M₁(0)M(1), и след., сделать подобное замещение, мы можем более не обращать никакого внимания на упомянутый результат при определении класса a.

§ 9. Совмещение каждой пары формул полного и точного определения в одну формулу. Сопоставление нашей формулы с формулами Шредера и Джевонса

Переходим к весьма важному вопросу. Нами были указаны 3 случая, когда две формулы полного определения a сводятся на одну. Именно, если тождественно M(1)=1, то a=a+M₁(0); если тождественно M(0)=1, то a=aM(1); наконец, если M(1)=M₁(0), то a=M(1)=M₁(0). А теперь поставим общий вопрос: нельзя ли и вообще найденные нами две пары формул определения заменить отдельными формулами, ими равнозначными. В результате моих изысканий по этому вопросу оказалось, что пара формул полного определения a вполне тождественно с формулой:

a=aM(1)+a₁M₁(0);

пара же формул точного его определения вполне тождественна с формулой:

a=M(1)[a+M₁(0)],

т.е. с первым вариантом формулы Шредера. В самом деле, единичная форма первой из этих формул есть:

1=a[aM(1)+a₁M1(0)]+a₁[1M₁(1)+a₁M(0)]=aM(1)+a₁M(0)=M.

И так действительно формула a=aM(1)+a₁M₁(0) вполне тождественна со всей системой посылок задачи, а след. и с парой формул полного определения a. С другой стороны, в единичной форме обе формулы точного определения суть:

1=a₁+M(1), 1=a+M₁(1)+M(0),

и произведение их будет:

1=aM(1)+a₁M₁(1)+a₁M(0)+M(0)M(1)=aM(1)+a₁M₁(1)+a₁M(0)+

+aM(0)M(1)+a₁M(0)M(1)=aM(1)+a₁[M₁(1)+M(0)+M(0)M(1)]=aM(1)+

+a₁[M₁(1)+M(0)].

Но логическая единица первого варианта формулы Шредера есть:

1=aM(1)[a+M₁(0)]+a₁[M₁(1)+a₁M(0)]=aM(1)+aM(1)M₁(0)+a₁M₁(1)+

+a₁M(0)=aM(1)+a₁[M₁(1)+M(0)].

Отсюда и обнаруживается тождественность этого первого варианта с парой формул точного определения. Понятно, что отныне предлагаемую мною формулу a=aM(1)+a₁M₁(0) можно называть формулой полного определения a; первый же вариант формулы Шредера точным определением a.

Логическое значение коэффициентов нашей формулы в высшей степени отчетливо, и читается они так: a содержится в M(1) и содержит в себе M₁(0). Для определения a₁я имел бы формулу: a₁=a₁M(0)+aM1(1), т.е. a₁ содержится в M(0) и содержит в себе M₁(1). (Как и следует, вторая формула есть простое отрицание первой и след. тоже тождественна с равенством 1=M). Что же касается формулы Шредера (1-го варианта), то теперь мы видим логическое значение ее членов и знаем, что ее можно читать так: a содержится в M(1) и содержит в себе M₁(0)M(1). Сам Шредер читает ее несколько иначе, именно так: к a относятся: 1) все, что есть M₁(0)M(1), и 2) часть того, что есть M(1). Если этой формуле дать вид: a=M(1)[aM(0)+M1(0)], то она причтется так: к a относятся: 1) все такие предметы класса M(1), которые отличны от M(0), и 2) часть тех M(1), которые суть M(0). Наконец, формула, отвечающая идеям Джевонса, т.е. a=aM(1), читается так: всякое a принадлежит к классу M(1). И во всех тех задачах, когда M(1) тождественно сводится на 1, она не представляет никакого определения a, тогда как наша формула и формула Шредера соответственно принимают в этих случаях вид: a=a+a₁M₁(0) и a=M₁(0)+aM(0)=a+M₁(0), т.е. обе отчетливо указывают, что к a относится всякое M₁(0).

Остается оценить второй вариант формулы Шредера, т.е. формулу a=aM(1)+M₁(0). Эта формула выводится из первого варианта a=aM(1)+M₁(0)M(1) через присложение к нему формулы 0=M₁(0)M₁(1). Логическое значение коэффициентов 2-го варианта формулы Шредера тоже, что и в нашей формуле; однако, этот вариант не выражает всех сведений задачи ( тогда как наша формула выражает). В самом деле логическая единица этого варианта есть:

1=a[aM(1)+M₁(0)]+a₁[a₁+M₁(1_]M(0)=a[M(1)+M₁(0)]+a₁M(0),

т.е. не совпадает с логической единицей задачи. Мы знаем, что пара формул: a=M(1)[a+M₁(0)], 0=M₁(0)M₁(1) вполне тождественна с равенством 1=M, а теперь убедились, что простого сложения этих двух формул недостаточно для получения одной формулы, с ними тождественной. (В своем месте нами будет доказано, что сумма равенств тождественна с их системой только в известных случаях, под которым данный случай не подходит). И так мы видим, что второй вариант формулы Шредера содержит в своем составе логический нуль, не содержащийся в первом варианте, и не смотря на то, все таки не может быть признан за полное определение a. Поэтому второй вариант формулы Шредера должен быть признан уступающим первому, и отныне под именем формулы Шредера мы будем всегда разуметь лучший, т.е. первый ее вариант: a=M(1)[a+M₁(0)] или a=M₁(0)M(1)+aM(0)M(1).

Возвращаясь к нашей формуле: a=aM(1)+a₁M₁(0), считаем долгом заметить следующее. Если смотреть на эту формулу, как на одну из форм равенства 1=M, то она должна представлять большой интерес в след. отношении. Она (вместе с другими ей подобными формулами полного определения прочих классов) нам показывает, что для каждого равенства A=B, зависящего от n классов a, b, c, d…, существует, кроме первоначальной формы и всех тех, которые будут указаны нами впоследствии, кроме единичной и нулевой форм, еще 2n форм, представляющих полные определения каждого из данных классов и их отрицаний. Таково математическое значение нашей формулы. Если же рассматривать помянутую формулу, как формулу логического определения класса a, то необходимо сделать некоторые разъяснения. Дело в том, что a логически не может выражаться через a₁. По этому в формуле a=aM(1)+a₁M₁(0) второй член есть собственно логический нуль, т.е. формула распадается на две формулы: a=aM(1) и 0=a₁M₁(0), или a=a+M₁(0), которые и суть пара формул полного определения a^²⁸. И так, хотя в формуле a=aM(1)+a₁M₁(0) второй член есть логический нуль, и хотя в нее входит a₁, тем не менее, в виду того, что эта формула тождественно с равенством 1=M и логически распадается на пару формул полного определения a, мы не видим причины, почему нельзя было бы рассматривать ее, как формулу определения a. Отныне мы будем называть ее схематическим определением a.

Интересно следующее сопоставление 3-х формул определения a (нашей, Шредера и Джевонса):

a=aM(1)+a₁M₁(0)

a=aM(1)+M₁(0)M(1)

a=aM(1).

Только что мы видели, что если мы примем в первой из этих формул второй член нулем, то получим пару формул: a=aM(1), a=a+M₁(0), тождественную с равенством 1=M. Во вторую из этих формул опять входит логический нуль, по исключении которого мы получаем систему: a=aM(1), a=a+M₁(0)M(1), уже не тождественную с равенством 1=M. Последняя пара формул, как мы доказали, тождественна с формулой Шредера: a=M₁(0)M(1). А теперь мы покажем, что и в формуле Шредера содержится логический нуль. В самом деле M₁(0)M(1)=aM₁(0)M(1)+ +a₁M₁(0)M(1), и вот здесь второй член есть логический нуль, потому что a₁M₁(0)=0^²⁹. Исключая этот логический нуль из формулы шредера, мы должны вместо M₁(0)M(1) взять aM₁(0)M(1); получим: a=aM₁(0)M(1)+aM(0)M(1)=aM(1), т.е. формулу Джевонса, которая не только не тождественна с равенством 1=M, но иногда не представляет даже вовсе никакого определения a. Отсюда заключаем, что, само по себе, исключение логических нулей из формул определения еще не представляется существенно выгодным и что, наоборот, оно сопровождается потерею в цельности и полноте определения.

В заключение дадим следующее мнемоническое правило. Для получения схематического определения какого угодно класса a из равенства 1=M достаточно развернуть функцию M относительно a, т.е. построить равенство 1=aM(1)+a₁M(0) и заменить в нем левой части 1 через a, а в правой части коэффициент при a₁ его отрицанием. Обратно, имея схематическое определение a, т.е. формулу a=aM(1)+a₁M₁(0), для получения полной логической единицы задачи достаточно заменить в левой части a единицей, а в правой части коэффициент при a₁ его отрицанием.

Blog

Два сообщения, читанные 27 февраля и 23 марта 1882г