Два сообщения, читанные 27 февраля и 23 марта 1882г

Вид материала

Содержание

Подобный материал:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 15

§ 3. Способ Джевонса и некоторое к нему дополнение

Предложенный Джевонсом способ решения логических равенств отличается определенностью и отчетливостью постановки вопроса. Тем не менее, во 1-х, получаемое им решение не есть общее и полное, а во 2-х, рекомендуемых им для этой цели средства, как и следует ожидать со стороны лица, не употребляющего простейших операций над равенствами (сложения и умножения), вполне примитивны и крайне сложны.

Пусть для простоты имеем логическую задачу всего о трех классах a,b,c. Джевонс начинает с составления следующей таблицы:

abc,abc₁,ab₁c,ab₁c₁,a₁bc,a₁bc₁,a₁b₁c,a₁b₁c₁,

называемой им логическим алфавитом данных трех классов. (При n классах таблица должна содержать 2ⁿ членов, каждый из которых состоит из n множителей). Таблица алфавита вполне исчерпывает весь мир вещей; каждый ее член изображает какую-либо из возможных альтернатив. Каждый предмет в мире непременно принадлежит к одному из написанных выше 8 классов. Так, например, если класс a₁b₁c₁ не имеет ничего общего с классами a,b,c, то он целиком содержится в классе a₁b₁c₁.

Пока мы не знаем никаких отношений между классами a,b,c, все 8 альтернатив надо считать равновозможными. Но коль скоро даны посылки, т.е. зависимость между a,b,c, те некоторые из этих альтернатив делаются противоречащими посылкам и должны быть выброшены из алфавита. После такого выбрасывания, алфавит будет состоять только из таких альтернатив, которые возможны при условии всей совокупности данных посылок.

Что касается самой операции выбрасывания из алфавита альтернатив, противоречащих посылкам задачи, то Джевонс по-видимому даже вовсе не допускал возможности теоретической разработки этого вопроса и более десяти лет трудился над упрощением механических приемов его решения. На пути к этой цели он последовательно изобретал особые механизмы, названные им логическая доска, логические счеты и наконец, логическая машина. Описание этой машины нами будет сделано ниже (ч.1, §15). Здесь же для нас важно именно то обстоятельство, что Джевонс в своем методе обязательно требует непосредственного выбрасывания из алфавита всех тех его членов, которые противоречат посылкам. Поэтому, если в нашем распоряжении нет созданного им механизма, который облегчил бы нашу работу, то мы должны последовательно сравнить каждый член алфавита с каждой посылкой. Таким образом, если число классов есть p, т.е. алфавит содержит 2^p членов, а число посылок есть q, то нам предстоит сделать 2^p×q отдельных сравнений. Если же посылки достаточно сложны и запутаны, то каждый отдельный акт сравнения может сделаться настолько трудным, что, пожалуй мы даже вовсе будем не в состоянии решить, совместен ли данный член алфавите с данной посылкой или нет. А между тем теоретическое решение рассматриваемого вопроса вполне возможно, а именно оно может быть основано на одной из теорем Буля. Правда, Буль вовсе не рассматривал алфавита Джевонса и не занимался исключением из него невозможных альтернатив. Кроме того, теорема, о которой мы говорим, дана у Буля в крайне сложной и запутанной форме, (хотя и независимо от каких бы то ни было гипотез). Этим только и можно объяснить то обстоятельство, что Джевонс, изучавший Буля, не обратил внимания на помянутую теорему, не смотря на всю ее неоценимую важность для собственного способа Джевонса. Теорема, о которой идет речь, в том упрощенном виде, какой придал ей Шредер, состоит в следующем: всякое логическое равенство A=B может приведено к нулевой форме

0=AB₁+A₁B

с полным сохранением всего объема логического его значения^¹⁹. Мысль о применении этой теорему к способу Джевонса принадлежит мне, и образовалась, с одной стороны, вследствие сознания логической важности общей точки зрения Джевонса в учении о логических равенствах, а с другой, вследствие желания достигнут теоретического приема для исключения из алфавита невозможных альтернатив.

Если равенство 0=AB₁+BA₁тождественно с посылкой A=B, то следовательно все, что невозможно в силу этой посылки, должно содержаться в функции AB₁+BA₁. Если же принять во снимание логическую аксиому, по которой сумма может быть =0 только тогда, когда, каждое слагаемое порознь =0, то, предполагая, что функция AB₁=BA₁, будучи вычислена на самом деле, обращается в сумму

u’+u’’+u’’’+…+u⁽^m⁾,

мы получим, вместо данной посылки A=B, ряд равенств:

u=0, u’’=0, u’’’=0,….u⁽^m⁾=0,

из которых без труда выводятся все альтернативы логического алфавита, совместимые с посылкой A=B. Если, например и=ab₁, то все альтернативы, в составе которых встречается произведение ab₁, суть нули, т.е. должны быть выброшены из алфавита. И т.д.

Приводя последовательно все посылки к упомянутой нулевой форме и затем, приравняв каждый член каждой посылки нулю, мы и получим сразу весь арсенал нулей которые останется только выбросить из алфавита.

Когда алфавит, так или иначе, освобожден от всех альтернатив, невозможных при условиях данной задачи Джевонс ставит вопрос об определении какого-нибудь класса a посредством прочих классов и решает этот вопрос следующим образом. Выражение для a получим, если выделим из алфавита все его члены, куда входить само a, и соединим их знаком ÷, т.е. попросту сложим их. Нить суждений Джевонса для оправдания этого правила заключения в след. Возможное выражение для a должно состоять только из возможных альтернатив, и притом только таких, которые зависят от самого a, потому что каждая зависящая от a альтернатива есть часть a. Прочие альтернативы, зависящие от а₁, к составу a не относятся. Следовательно, если из полного собрания всех возможных альтернатив мы отберем все те, которые суть части a, то от такого соединения получим возможно полное определение a. Для определения a₁,b,b₁ и прочее надо взять сумму возможных альтернатив, зависящих от a₁,b,b₁ и т.д. В своем месте нами будет доказано, что получаемое Джевонсом, согласно с упомянутым правилом, определение a только в исключительных случаях может быть название полным; вообще же оно недостаточно; и что бывают даже такие случаи. Когда оно вовсе не может быть названо определением.

Не приступая пока к пояснению приема Джевонса на примере, заметим с сожалением, что напрасно Джевонс пишет свой алфавит в виде бессвязной серии членов. Если, по смыслу идей Джевонса: все альтернативы алфавита своей совокупностью обнимают весь мир вещей, в том его виде, какой он имел бы при отсутствии всяких отношений между классами a,b,c…., то, набрав для изображения мира какой-нибудь символ, например 1, мы вместо бессвязного логического алфавита получаем в случае 3-х классов тождественное равенство:

1=abc+abc₁+ab₁c+ab₁c₁+a₁bc+a₁bc₁+a₁b₁c+a₁b₁c₁.

которое также можно еще сокращеннее представить под формой

1=(a+a₁)(b+b₁)(c+c₁).

Вот, так сказать, ключ к алфавиту Джевонса. Пользуясь им, при n классах, вместо 2ⁿсложных и бессвязныхчленов, достаточно написать формулу, состоящую из n очень простых множителей, именно:

1=(a+a₁)(b+b₁)(c+c₁)(d+d₁)….

Которую потом, если нужно, останется только развернуть. Заметив еще, что когда речь идет об определении одного только класса, например a, то нет надобности иметь дело с полным алфавитом

1=(a+a₁)(b+b₁)c+c₁)….,

а достаточно обратиться к той его части, которая зависит от a, т.е. к тождеству

a=a(b+b₁)(c+c₁)(d+d₁)….

Вследствие этого труд сравнения альтернатив с посылками сократится ровно на половину. Для определения одного b достаточно упрощать формулу:

b+b(a+a₁)(c+c₁(d+d₁)….

и т.д. И только в том случае, когда надо определить последовательно несколько классов, может быть выгоднее иметь дело с самим алфавитом.

Еще одно замечание. Джевонс вовсе не касается вопроса об определении классов в связи с исключением некоторых из них. Но так как этот вопрос особенно важен в логике, то еще раз нельзя не выразить сожаления о том, что Джевонс не воспользовался и здесь формулами Буля, вполне пригодными для этой цели. Как мы уже показали в конце Введения, эти формулы таковы. Для всякого равенства

0=N(a.b.c.d…)

результат исключения одного класса, например a, есть

0=N(1.b.c.d…)N(0.b.c.d…);

результат исключения двух классов, например a и b, есть:

0=N(1.1.c.d…)N(1.0.c.d…)N(0.1.c.d…)N(0.0.c.d…)…

и т.д. (Когда исключается m классов, формула состоит из 2^m множителей). Применяя эти формулы к занимающему нас вопросу, мы должны поступать так. Пусть, например, надо определить a, помимо b, через прочие классы c,d… В таком случае изо всех посылок, придав им предварительно нулевую форму, надо исключить класс b. Приравняв нулю каждый член каждого из этих результатов исключения, мы и получим все те члены, которые должны быть выброшены из алфавита, не содержащего b, т.е. из формулы:

1=(a+a₁)(c+c₁)(d+d₁)….,

или, еще проще, из тождества, определяющего a, помимо b, т.е. формулы:

a=a(c+c₁)(d+d₁)…

В общем случае, если бы надо было определить a независимо от нескольких классов, то все эти классы надо было бы исключить на самом деле из посылок и на основании полученных равенств упрощать или алфавит, не содержащий эти классы, или же формулу определения a, независящую от тех же классов.

Вот необходимые дополнения к методу Джевонса. Однако, даже при этих дополнениях, метод Джевонса представляет: 1) теоретический промах, в силу которого получаемые решения не суть полные, и 2) практическое неудобство, состоящее в необходимости на самом деле выбрасывать нули из логического алфавита. Предлагаемый нами ниже собственный способ направлен к устранению обоих этих недостатков. А теперь приложим распространенный нами метод Джевонса к тому самому примеру, который мы уже решали по способу Буля.

Здесь всего одна посылка о 4 классах, именно: x=y(z+ω), где x существа ответственные, y разумные, z обладающие свободою действия, ω добровольно пожертвованные этой свободой. (Гласит эта посылка следующее: ответственны те разумные существа, которые или свободны, или сами отказались от свободы). Независимо от этой посылки, весь мир существ содержит 16 альтернатив, которые получаются от развертывания формулы: 1=(x+x₁)(y+y₁)(z+z₁)(ω+ω₁). Пусть, как и прежде, идет речь об определении y через все прочие классы. В таком случае, независимо от условий задачи, для определения y должно служить тождество: y=y(x+₁)(z+z₁)(ω+ω₁), а чтобы получить определение y, отвечающее данной задаче, надо упростить это тождество на основании данной посылки. Нулевая форма посылки есть: 0=x₁[y(z+ω)]+x[y(z+ω)]₁=x₁yz+x₁yω+x(y₁+ +z₁ω₁)=x₁yz+x₁yω+xy₁+z₁ω₁x. Поэтому все несовместимые с посылкой классы существ суть: x₁yz=0, x₁yω=0, xy₁=0, xz₁ω₁=0. При определении y нам надо иметь в виду только те из этих классов, которые сами зависят от y, т.е. прежде всего классы: 0=x₁yz и 0=x₁yω, и кроме того ту часть класса xz₁ω₁=0, которая содержится в y, т.е. класс xyz₁ω₁=0. Умножая 1-ое из этих условий сначала на ω, а потом на ω₁, а 2-ое сначала на z и потом на z₁, получим вместо них след. 4 альтернативы, равные нулю, именно: 0=x₁yzω, 0=x₁yzω₁, 0=x₁yzω и 0=x₁yz₁ω. (Здесь 1-ая и 3-я альтернативы суть одна и та же). К ним надо прибавить условие 0=xyz₁ω₁. И так из общего выражения для y: y=y(x+x₁)(z+z₁)(ω+ +ω₁)=y(xzω+xzω₁+xz₁ω+xz₁ω₁+x₁zω+x₁zω₁+x₁z₁ω+x₁z₁ω₁) надо выбросить 4 альтернативы, несовместные с посылкой. Останется:

y=y(xzω+xzω₁+xz₁ω+x₁z₁ω₁).

Это и есть искомое определение y. Если бы мы захотели иметь дело прямо с логическим алфавитом, то надо было бы развернуть формулу: 1=(x+x₁)(y+y₁)(z+z₁)(ω+ω₁) и упрощать ее на основании всей совокупности условий: x₁yz=0, x₁yω=0, xy₁=0, xz₁ω₁=0. В силу 1-го из этих условий невозможны две альтернативы: x₁yzω и x₁yzω₁; в силу 2-го невозможны тоже две альтернативы: x₁yzω и x₁yz₁ω; в силу 3-го невозможны 4 альтернативы: x₁yzω, xy₁zω₁, xy₁z₁ω, xy₁z₁ω₁; наконец в силу 4-го невозможны еще 2 альтернативы: xyz₁ω₁, xy₁z₁ω₁. Некоторые из написанных здесь альтернатив суть одни и те же. Все различные альтернативы, противоречащие задаче, будут: 0=x₁yzω, 0=x₁yzω₁, 0=x₁yz₁ω, 0=x₁yzω₁, 0=xy₁zω₁, 0=xy₁z₁ω, 0=xy₁z₁ω₁, 0=xyz₁ω₁. Остальные 8 альтернатив должны быть возможны, и упрощенный алфавит принимает вид: 1=xyzω+ xyzω₁+ xyz₁ω+ x₁yz₁ω₁+ x₁y₁zω+ x₁y₁zω₁+ x₁y₁z₁ω+ x₁y₁z₁ω₁. Отсюда выражение для y получится, если взять только сумму тех членов, которые зависят от букв y, именно: y=y(xzω+xzω₁+xz₁ω+x₁z₁ω₁), т.е. тоже, что и выше. Заметим, что сравнение альтернатив с посылкой мы делали гораздо проще, чем сам Джевонс, а именно пользуясь нулевой формой посылки.

Задача, которую мы сейчас решали, взята нами у Буля, причем мы сохранили принятые им обозначения классов и дали посылке то же самое символическое изображение, какое построено Булем. Однако это изображение, при наших взглядах на сложение в логике, не вполне соответствует посылке. У Буля сумма z+ω всегда означает, что z и ω дизъюнктны, т.е. zω=0, а след. также z=zω₁ и ω=ωz₁. Не делая никаких ограничений сложения, мы должны или присоединить к исходной посылке добавочную посылку 0=zω, или же соответственно видоизменить полученное определение y (т.е. попросту выбросить из него 1-й член), после чего получается для y формула, весьма близкая к результату, доставленному способом Буля (см. § 1).

§ 4. Способ Шредера и его оценка

Переходим к способу Шредера. Способ Шредера заключается в следующем установленной и доказанной им теореме:

Равенство

0=ax+a₁y,

где x и y не зависят ни от a, ни от a₁, тождественно с парой равенств

0=xy,a=x₁(u+y),

Где u неопределенный класс^²⁰.

Желая применить эту теорему, вообразив ряд посылок A=B, A’=B’, A’’=B’’,…. Превращая из в нулевые формы: 0=AB₁+A₁B, 0=A’B’₁+A’₁B’, и т.д., и взяв сумму итогов, после чего получается одно равенство 0=N(a.b.c.d….), тождественное с данной системой посылок; наконец разлагая функцию N относительно a по формуле, построенной Булем, будем иметь: 0=aN(1.b.c.d…)+a₁N(0.b.c.d…), откуда, на основании упомянутой теоремы Шредера, и получим след. определение a:

a=N₁(1.b.c.d…)[u+N0.b.c.d…)],

где u есть неопределенный класс.

В применении к предыдущей задаче с посылкой х=y(z+ω), нулевая форма которой есть 0=N(x.y_.z.ω)= x₁yz+x₁yω+ xy₁+ xz₁ω₁, мы будем иметь: N(x.y_.z.ω)=(x+y₁+z₁)( x+y₁+ω₁)( x₁+y) (x₁+z+ω).

Для упрощения этого выражения воспользуемся следующим очевидным правилом сокращенного умножения (k+p)(k+q)=k+kp+kq+pq=k+pq. Будем иметь: N₁(x.y_.z.ω)=(x+y₁+z₁)(x₁+yz+yω)= x₁y₁+x₁z₁ω₁+xyz+ xyω.
Следовательно, N₁(x.1.z.ω)=x₁z₁ω₁+xz+xω. Кроме того, N(x.0.z.ω)=x+xz₁ω₁=x. Формула определения y будет: y=(x₁z₁ω₁+ z+xω)(u+x)=xz+xω+ux₁z₁ω₁. В силу той поправки, которая указана в предыдущем §, ω есть в сущности ωz₁ и z есть zω₁, почему эта формула принимает вид:

y=xzω₁+xz₁ω+ux₁z₁ω₁,

т.е. делается сходной с теми, которые были построены нами по способам Буля и Джевонса.

Когда определяется какой-нибудь класс через все, кроме некоторых, эти последние надо исключить из основной формулы 0=N(a.b.c.d…), и результат исключения решать в упомянутой теореме Шредера совершенно так же, как выше мы решали первоначальное равенство^²¹.

Что касается оценки способа Шредера, то без сомнения, способ этот вполне достигает цели и имеет тем большее значение, что представляет первое вполне общее независящее ни от каких гипотез решение вопроса. Тем не менее, нельзя не признать за способом Шредера довольно крупного недостатка, это именно: формальность и искусственность решения. Формула Шредера не выведена, как бы следовало, из анализа существа дела, а искусственно подогнана и оставляет место для сомнения в том, не заключается ли в ней лишних членов. В своем месте нами будет доказано, что решение, получаемое Джевонсом, отвечает только одному первому члену формулы Шредера, а потому следует ожидать, что во всех тех случаях, когда решение Джевонса есть истинное, 2-й член формулы Шредера должен представляться совершенно лишним. – Кроме того, логическое значение членов своей формулы Шредер оставил без разъяснения. – Далее, предложив пару формул

0=xy, 0=x₁(u+y),

заменяющих равенство 0=ax+a₁y, он не объяснил, следует или нет (и как именно) брать в расчет 1-ю из этих формул, при определении a по второй.

Надо заметить также, что сам Шредер делает крайне неправильное толкование значение найденной им формулы.

Построив формулу a=x₁(u+y), где u есть собственно неопределенный класс, и не видя никаких условий к определению u, Шредер начинает считать этот класс произвольным, допускающим всевозможные значения от 0 до 1, и объявляет, что его формула, при изменении u от 0 до 1, доставляет всевозможные корни a уравнения 0=ax+a₁y. Здесь, можно сказать, каждое слово есть ошибка, а причина всех этих ошибок есть недостаточное внимание к различию между понятиями неопределенного и произвольного. Этого мало. Можно доказать, что вовсе нет даже надобности считать u неопределенным классом, потому что можно доказать, что u=a. В этом отношении мы вполне разделяем мнение Джевонса, по которому во всех тех случаях, когда класс m содержится в классе n, нет надобности писать, подобно Булю и Шредеру, равенство m=vn, где v неопределенный класс; достаточно писать так: m=mn. Например, фразу «Москва есть город» нет надобности передавать непременно так: «Москва есть некоторый город»: вполне достаточно будет сказать: «Москва есть тот город, которые есть Москва». Сказать же, будто «Москва есть какой угодно город», будет положительной нелепостью.

Если бы Шредер не употреблял неопределенных классов, а брал их подлинное значение, то доказательство его фомулы сделалось бы крайне простым. Именно, так как равенство 0=ax+a₁y тождественно с парой равенств 0=ax, 0=a₁y, из которых первое показывает, что a содержится в x₁, т.е. a=ax₁, в 2-ое, что y содержится в a, т.е. a=a+y, то легко заключить, что a=ax₁=(a+y)x₁.

Это и есть формула Шредера, в которой u заменено ее подлинным значением, т.е. через a. После этого делается вполне очевидным, что ни о различных значениях u, ни всевозможных корнях a уравнения 0=ax+a₁y, не может быть и речи^²².

Заметим кстати, что если бы Шредер не употреблял неопределенных классов, то он мог бы для известной группы случаев построить сокращенное правило превращения посылок в нулевую форму. Общее правило таково, что для посылки A=B нулевая форма есть 0=AB₁+A₁B. Вообразим случай когда C не равно D, а содержится в нем. В таком случае Шредер пишет C=vD, где v неопределенный класс и, применяя сюда общее правило, получает для нулевой формы этого равенства 0=C(v₁+D)+C₁vD. А затем он требует исключения v, для чего надо в последней формуле сделать сначала v=1, а потом v=0, результаты перемножить и произведение прировнять к нулю. А если бы он написал про C=CD, то через применение общего правила получил бы 0=C(C₁+D₁)+C₁CD=CD₁, т.е. 0=CD₁. Результат крайне простой. След. в рассматриваемом случае операция превращения посылки в нулевую форму не только не сложнее, чем в общем случае, как это выходит у Шредера, а много проще. Правило, заключающееся в только что построенной нами формуле, на столько важно, что полезно его заметить.

Чтобы покончить с изложением способа Шредера, прибавим, что своей формуле определения a Шредер придает следующие 4 формулы:

a=x₁(u+y), a=ux₁+y,

a=x₁(y+uy₁), a=ux₁y₁+y,

не сопровождая их оценкою относительного их достоинства. Такую оценку мы предлагаем от себя ниже. А теперь заметим, что 4 варианта, предложенные Шредером для определения a, в сущности сводятся только на два, потому что два выражения a+b и a+a₁b нельзя считать различными. На этом основании, 3-ю и 4-ую из предложенных им формул совсем надо отбросить, потому что 3-ья получается из 1-ой заменою суммы y+u суммою y+y₁u, а 4-ая из второй заменою суммы y+ux₁ суммою y+y₁ux₁. Отбрасывая сказанные две формулы, мы получаем всего два варианта формулы Шредера, а именно:

a=x₁(u+y), a=ux₁+y,

которые надо считать различными, потому что они выводятся один из другого только при помощи отношения 0=xy, или y=yx₁. Понятно, что класс u должен быть замещен в этих формулах классом a.

Blog

Два сообщения, читанные 27 февраля и 23 марта 1882г

Содержание