Geum.ru

Два сообщения, читанные 27 февраля и 23 марта 1882г

Вид материалаДокументы

Содержание


ЧАСТЬ I. О способах решения логических равенств.
A содержится в B, вместо равенства Буля A=vB
Подобный материал:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15

ЧАСТЬ I.

О способах решения логических равенств.


Мне известны только 3 способа решения логических равенств: Буля, Джевонса и Шредера, и к ним я присоединяю от себя четвертый. Изложение этих 4-х способов и составит предмет 1-й части настоящей статьи.

§1. Способ Буля и его оценка

Начнем со способа Буля. В этом способе, как и в некоторых других частях логической системы Буля, мы встречаем приемы, отчасти произвольные, отчасти гипотетические и только отчасти вполне бесспорные и точные. Тем не менее, все эти операции весьма остроумно рассчитаны так, оказывается, насколько нам удалось подметить, всегда верными. Изложим сущность способа Буля.

Пусть дано логическое равенство:

f(a.b.c.d…)=φ(a.b.c.d…),

и требуется определить класс a посредством всех прочих классов b,c,d… Хотя это равенство есть логическое, однако Буль начинает с того, что решает его относительно a алгебраически17. Получает:

a=π(b.c.d…),

где π есть вообще дробная функция, причем, как в числителе, так и в знаменателе, могут присутствовать отрицательные члены. Затем, эту функцию π Буль разлагает по всем входящим в нее классам совершенно так же, как если бы она была чисто-логическая функция (чего, конечно, на самом деле уже нет). Получает:

a=(bcd.)π(1.1.1…)+(b1cd.)π(0.1.1…)+(1c1d…)π(1.0.1..)+…

и затем предлагает ряд правил для истолкования подобного рода разложений, правил, направленных к тому, чтобы преобразовать такие разложения опять в чисто-логические функции. После чего задача логического определения a будет вполне закончена. Упомянутые правила истолкования предложены Булем применительно к тем значениям, какие могут получать символы π(1.1.1…), π(0.1.1…) и пр. Мы знаем, что если логическая функция разложена по всем классам, то все подобные символы могут принимать только 2 значения: 0 и 1. Функция же π, полученная по предыдущему, может принимать при таком разложении гораздо более значений, а именно всевозможные значения упомянутых символов для такой функции суть:



Где m и n суть целые числа, положительные, или отрицательные. Вот каковы коэффициенты при конституантах (bcd…), (b1cd…) и пр. в получаемом Булем выражении для a. Понятно, что, если коэффициент есть 0, то соответственный член выпадает; при коэффициенте равном 1, соответственный член вполне понятен логически. Все члены, которых коэффициенты суть отрицательные, или дробные, или равные ∞, должны быть выброшены из выражения для a, т.е. приняты равными нулю; однако их коэффициенты не суть нули, а потому остальные множители (конституанты) должны быть признаны нулями, т.е. логически несовместимыми с исходным равенством. Так получается одно или несколько отношений, независящих от a и служащих следствиями первоначального равенства. Затем, все члены с коэффициентами вида 0/n? должны быть удержаны, причем эти коэффициенты надо заменить неопределенными классами u,v и пр. Наконец целые коэффициенты надо заменить повсюду единицами.

В основании изложенного метода лежит гипотеза о тесной связи между алгеброй и логикой, связи, в силу которой при известных условиях (которые Буль указывает, но повторять которые здесь было бы вполне излишне), формулы и приемы алгебры могут быть переносимы в логику, и обратно. Эта гипотеза столь невероятна (смешивает свойства количества и качества), что подрывает всякое доверие к способу и вообще ко всей логической системе Буля. Независимо от этого, в способе Буля очень странно действует на читателя чередование логических приёмов с математическими и невозможность дать себе отчет в том, какие процессы мысли отвечают различным фазисам применяемого метода. Благодаря этому обстоятельству, доступны пониманию только первоначальное равенство и окончательный результат; все же остальное загадочно и произвольно.

После изложенного, нет ничего удивительного, если учение Буля о логике, тщательно и подробно разработанное и отличающееся верностью получаемых результатов, было отвергнуто, как математиками, так и логиками. Очевидно, нужно не только уметь находить истину, но и достигать ее помощью приёмов, теоретические основания которых не подлежали бы сомнению. В настоящее время способ Буля (да и вообще все его учение) может представлять только исторический интерес, и мы привели его лишь затем, чтобы засвидетельствовать дань уважения глубокому уму, который, не имея предшественников (в сколько-нибудь серьезном смысле этого слова), положил прочное основание новой отрасли знаний, установив целый ряд бесспорных положений (независящих от упомянутой гипотезы) и указав задачи, настолько трудные и сложные, что для решения их помимо гипотезы оказалось недостаточным всего его остроумия. К счастью, другой достойный математик, Шредер, уделив часть своего досуга вопросам логики, успел разобраться среди лабиринта идей и приемов Буля, отделил в его учении произвольное от доказанного, усовершенствовал обозначения и вид формул, которые оказалось возможным удержать, и таким образом сохранил для науки те истины, которые были открыты Булем при сооружении его, хотя и блестящего, но эфемерного здания математической логики.

Для пояснения только что изложенного метода Буля возьмем из его книги пример. «Ответственные существа суть такие разумные существа, которые или обладают свободою, или добровольно от нее отказались». Пусть x существа ответственные, y разумные, z обладающие свободой, ω добровольно отказавшиеся от свободы. Получаем равенство

X=y(z+ω)=yz+yω.

Пусть требуется, на основании этого определения, описать класс существ разумных, т.е. y, качествами прочих классов x,z,ω. Алгебраическое решение относительно y упомянутого равенства будет:

y==π(x.z.ω).

Развертывая сполна функцию π, мы получаем:

y=xzωπ(1.1.1)+xzω1π(1.1.0)+xz1ωπ(1.0.1)+xz1ω1π(1.0.0)+

+x1zωπ(0.1.1)+x1zω1π(0.1.0)+x1z1ωπ(0.0.1)+x1z1ω1π(0.0.0).

В настоящем случае значения суть:

π(1.1.1)=, π(1.1.0)=1, π(1.0.1), π(1.0.0)=∞,

π(0.1.1)=0, π(0.1.1)=0, π(0.0.1)=0, π(0.0.0)==v.

Будем иметь окончательно:

y=xzω1+xz1ω+vx1z1ω1

и кроме того: xzω=0, xz1ω1.

След. на основании исходного определения ответственных существ, можно сказать, что к существам разумным относятся: 1) все ответственные существа, обладающие свободою и не отказавшиеся от нее; 2) все ответственные существа отказавшиеся от свободы и не обладающие ею, и 3) часть таких существ неответственных, которые, не обладая свободою, не отказывались от нее. Кроме того, в силу того же определения, не существует таких ответственных существ, которые: или 1) отказавшись от свободы, обладали бы ею, или 2) не обладая свободой, не отказывались бы от нее.

Прочитав эти формулы, мы убеждаемся, что действительно выполнение таинственных операций, требуемых способом Буля, приводить нас к совершенно верным заключениям.

§ 2. Отношение Джевонса к учению Буля

Изложению способа английского логика Джевонса мы предпошлем несколько общих замечаний относительно всей его системы логики. Надо заметить, что Джевонс, подобно очень немногим философам-логикам, пришел, после основательного изучения литературы своего предмета, к убеждению, что для успехов логики необходимо пособие общего, строгого точного, т.е. математического метода. С этой целью он обратился к изучению математики вообще и в частности указанного выше сочинения Буля, посвященного логике18. Однако, нельзя сказать, чтобы изучение Буля оказало особенно значительное влияние на идеи Джевонса при построении им своей системы логики. Достаточно заметить, что Джевонс операции сложения и умножения применяет только к отдельным классам, но отнюдь не к равенствам. А между тем сила математического метода заключается не столько в символических обозначениях, сколько в операциях над равенствами. Кроме того, Джевонсу не удалось оценить значение предложенных Булем правил для приведения равенств к нулевой форме, правил для разложения функций и правил для исключения классов. Поэтому с полным правом можем сказать, что Джевонс заимствовал у Буля только азбуку символизма, и, отделившись от логиков, не примкнул к математикам, остановившись у порога математического метода. Очень может быть, что такому результату способствовало в значительной степени самообольщение Джевонса, о котором мы сейчас скажем. Джевонс полагает, будто ему посчастливилось открыть некоторую универсальную логическую операцию, решающую все логические задачи об определении классов. Операция эта – замещение равных равными. Джевонс придает этому воображаемому открытию столь большое значение, что во введении к своему сочинению «Основы науки» пускается в пространные исторические исследования с целью доказать свои права на первенство открытия. К сожалению, тут, по нашему крайнему убеждению, все дело заключается в недоразумении, проистекающем от смешения понятий аксиомы, вытекающей из самого понятия о тождественности равных классов, т.е. в качестве положения, нарушать которое мы никогда не имеем права. В смысле же метода для решения логических равенств, принцип этот не играет никакой роли и гораздо ниже принципа сложения или перемножения равенств. Известен же этот принцип чуть ли не с того момента, когда впервые стал мыслить человек, и если никто из философов, раньше Джевонса, не настаивал на его значении, то вероятно только потому, что значение это крайне ограничено. Таким образом, при всем нашем уважении к заслугам Джевонса в области логики, мы никак не можем согласиться признать его изобретателем принципа замещения.

Однако, к тем, в сущности немногим, заимствованиям, какие сделал Джевонс у Буля, он отнесся крайне осмотрительно, и в самые заимствования внес некоторые поправки. Укажем 3 такие поправки.

Об одной их них мы уже упоминали, а именно: в случае, когда A содержится в B, вместо равенства Буля A=vB, Джевонс пишет A=AB. Преимущества этой последней формы равенств будут указаны нами ниже.

Вторая поправка, внесенная Джевонсом в учение Буля, также была уже указана нами, а именно: вместо операции вычитания классов, Джевонс. Подобно Шредеру, употребляет операцию отрицания и построил даже правила для получения отрицания суммы и произведения классов.

Трудно преувеличить значение для логики такого замещения бесполезного действия действием так сказать производительным. Система Буля наглядно доказывает нам, что совокупности трёх принятых им логических операций (сложения, вычитания и умножения) недостаточно для разрешения основной задачи логики (определения классов) помимо гипотезы. Тех же ресурсов, какие могли бы добавить Булю действие отрицания, он был лишен вследствие соблазна представившегося ему на первом же шагу – возможности выразить отрицание a разностью 1-a. Не случись этого, история математической логики была бы совсем не та, что теперь. Наука эта сразу получила бы право гражданства в ряду других отраслей знаний. На нее не привыкли бы смотреть, как на мертворожденного младенца. Заслужив доверие ученых, она привлекла бы к себе научные силы, и быть может, уже достигла бы значительной степени развития. В настоящее же время в ней все ещё идет речь об установлении основных ее положений, распространению которых все еще мешает раз установившееся предубеждение. Вот, например, как отзывается о математической логике наш знаменитый логик Н. Грот в своем последнем сочинении «К вопросу о реформе логики» (Лейпциг, 1882 г.). Упомянув (см. стр. 17)?) о быстром развитии новейшей математической логики в Англии, перечислив имена Буля, Джевонса, Пирса, Макферлена и Венна, он прибавляет: «К сожалению, симпатии к этому направлению оправдываются скорее его внешнею кличкою, чем внутренним содержанием, ибо представители его пробуют влить новое вино в старые меха (не хотел ли автор сказать наоборот: старое вино в новые меха?), т.е. приложить новый метод анализа к старым метафизическим понятиям. Более глубокая немецкая наука рассматривает эту математическую логику лишь как неудачный опыт нового возрождения очень старых начал. Мы же полагаем даже, что эта математическая логика есть своего рода возрождение схоластики и что она ничуть не научнее той математической психологии, какую придумала школа Гербарта». – Приговор суровый, но, надеемся не окончательный. Очень жаль, что почтенный автор не знаком с работой Шредера по этому предмету. Быть может он тогда был бы несколько снисходительнее.

Впрочем, мы должны прибавить, что не столько Джевонс сколько Шредер, воспользовался операцией отрицания для построения вполне научного способа определения классов. Способов же Джевонса, как мы далее увидим, основан на совсем иных началах.

Наконец, 3-ья поправка, предложенная Джевонсоном к основным положениям Буля, касается операции сложения классов. Интересно, что в отношении операции сложения все три рассматриваемые нами автора, Буль, Джевонс и Шредер расходятся во взглядах. Два логических класса a и b могут быть или конъюнктивными, или дизъюнктными, т.е. или содержать некоторые одни и те же общие им предметы, или же состоять из предметов, вполне отличных. Например, певцы музыканты суть классы конъюнктивные, потому что в числе певцов есть или могут быть музыканты и обратно. Наоборот, собаки и кошки суть классы дизъюнктные. И вот, Буль утверждает, что если два класса m и n соединены меж собою посредством знака +, то это всегда надо рассматривать, как признак дизъюнктности этих классов. Таким образом в формулах Буля всякая сумма A+B+C+D всегда состоит из дизъюнктных членов. Поэтому, обратно, если надо соединить в один класс предметы двух классов p и q, то Буль всегда обращает внимание на то, конъюнктны они или нет, и только когда они дизъюнктны, прямо пишет сумму p+q; если же они конъюнктны, то он их делает предварительно дизъюнктными и получает или сумму p+p1q (т.е. по его обозначениям, собственно p+(1-p)q), или же сумму q+q1p. И так, когда требуется сложить конъюктивные классы, то Буль мысленно выполняет следующую предварительную логическую операцию: оставляя один из классов, например p, без изменения, другой класс q он разбивает на подклассы pq и p1q и, зная, что в сумме p+(pq+p1q) член pq только повторяет часть содержаний члена p, он мысленно выбрасывает этот член (pq). Как видим, Буль здесь пользуется законом поглощения подкласса классом при сложении, но открыто признать его общим законом логики он не хочет, или точнее, не может, по причине, которую мы сейчас укажем. Мы уже видели, что Булю не удалось найти свободного от гипотезы способа определения логических классов. В его способе мы замечаем чередование и смешение математических операций с логическими. Для оправдания такого смешения ему необходима гипотеза о связи логики с математикой, т.е. учения о качестве с учением о количестве. Внутренней связи между этими учениями, не имеющими ничего общего, понятно, он не мог установить. Оставалось искать внешних, формальных указаний на эту связь. Такое указание Буль находит в открытом им равенстве x.x=x, выражающем единственный, по его мнению, основной закон логики. Равенство это в логике имеет место для всяких значений x, а в математике только для значений x, равных 0 и 1. Отсюда Буль вывел следующую гипотезу: с процессуальной точки зрения логика есть случай алгебры, случай, когда количественные символы трактуются равными или 0, или 1. Следовательно, при этом ограничении, формулы и приемы алгебры могут быть переносимы в логику. И обратно, формулы и приемы логики могут быть применяемы в математике в учении о нуле и единице. Понятно, что второй основной закон логики x+x=x не совместен с упомянутой гипотезой, потому что выражающая его формула уже не применима в математике для x=1, хотя и остается верной для x=0. В виду этого, Булю оставалось на выбор: или, призвав открыто оба упомянутые закона логики, несколько видоизменить свою гипотезу; или же сохраняя гипотезу неприкосновенной, отвергнуть или по крайней мере ограничить значение второго закона. Буль предпочел сделать последнее, и предпочел, надо думать, потому, что во всех построенных им формулах постоянно встречаются символы, выводимые из данных функций посредством замещения отдельных классов не только нулями, но и единицами, а может быть еще и потому, что гипотеза о применимости алгебры к логике только для тех случаев, когда количества трактуются нулями, была бы уж слишком странной, ограниченной или пожалуй даже бесплодной. И так, в интересах избранной Булем гипотезы, было полезно (или необходимо) ограничить значение второго основного закона логики (открыто отвергать его нельзя), выражаемого формулой a+ab=a, имея частным случаем a+a=a. И вот Буль переносит этот закон, совершенно умалчивая о его значении, из области математической логики в область логики умозрительной, придает ему скромную форму предварительного умственного преобразования подлежащих слоению конъюнктивных классов и классы дизъюнктные и мотивирует необходимость такого предварительного преобразования невозможностью непосредственного сложения конъюнктивных классов. И так, избранная Булем гипотеза логически привела его к необходимости не только игнорировать один из основных законов логики, но и ограничить применение операции сложения только случаем известной формы слагаемых классов.

Так как ни Джевонс, ни Шредер не разделяют упомянутой гипотезы Буля, то с их стороны было весьма естественным шагом отвергнуть установленное Булем ограничение операции сложения, т.е. начать считать эту операцию применимой ко всяким классам логики и ко всякой их форме. Кроме того, оба они открыто признали основным правилом логики формулу a+a=a.

Интересно заметить, что самому Булю приходится применять в одной части своего способа правило a+a=a. Это мы видим в конце способа, при превращении полученной ими загадочной функции в чисто логическую. Во всех тех членах этой функции, которых символические коэффициенты приняли значение целых положительных чисел, он заменяет эти коэффициенты единицами, т.е. прямо признает, что например 2a=a, но спешить делать оговорку, что это правило применимо в логике только при истолковании получаемых разложений. Так как самые правила этого толкования в сущности вполне произвольны, то присоединение к ним какого-либо ограничения едва ли может особенно вредить делу, а потому Буль без затруднения выходит из указанного самопротиворечия.

Итак 3-ья поправка, внесенная Джевонсом во взгляды Буля, состоит в восстановлении общности операции сложения, а также истинного значения правила a+a=a. В этом отношении Джевонс сделал то же самое, что и Шредер. Однако, Шредер на этом и остановился по отношению к операции сложения; что же касается Джевонса, то он, к сожалению, увлекшись ролью критика, пошел далее и впал в новую ошибку, гораздо более серьезную, нежели та, какую он исправлял у Буля. Ошибку эту мы смело можем назвать роковою для всей системы Джевонса.

Исправляя неверный взгляд Буля на сложение (а неверность эта в сущности такова, что с ней без особенного вреда можно было бы пожалуй и совсем помириться), Джевонс отнес эту ошибку не только на счет Буля (или, точнее, как мы показали, его гипотезы), но и на счет самой операции сложения; припомнил по этому поводу, что сложение классов совсем неодинаково со сложением количеств, и предложил совершенно изгнать из логики операцию сложения, а для выражения того, что Буль изображал суммой a+b, держаться нового способа обозначения, например такого: a÷b и читать это выражение так: a или b (на том основании, что каждый предмет суммарного класса a+b есть или a, или же b).

Такого отношения к делу со стороны знаменитого логика, специально изучавшего математику под руководством превосходных учителей, нельзя не признать крайне наивным. Название операции и символическое ее обозначение не имеют никакого влияния на правила, ею управляющие. Если бы дело стояло бы так, что, называя операцию сложением, мы без дальнейших рассуждений перенесли в логику все правила математического сложения, то Джевонс пожалуй был бы прав. Однако этого нет. Называя операцию сложением, мы в тоже время определяем, в чем она состоит, и все ее правила видим самостоятельно, из анализа сделанного ни на йоту от замены знака + знаком ÷. При выборе знака и названия для операции имеется в виду вовсе не возможность слепого заимствования правил, а нечто другое: ставится и решается вопрос, какому из известных математических действий всего более соответствует данная операция. И вот с этой точки зрения, которая одна только и пригодна в данном случае, Буль был как нельзя более прав, называя сложением и умножением те логические операции, которые им приняты за основные. В самой математике сложение с положительным числом совсем не то, что с отрицательным; умножение целых чисел совсем не то, что умножение дробей; умножение линий совсем не то, что чисел; сложение и умножение количеств совсем не то, что равенств, и пр. и пр. Поэтому было бы слишком странно требовать, чтобы сложения классов в логике ничем не отличалось от сложения чисел. Здесь вполне достаточно известного рода аналогии.

Нет сомнения, что Джевонсу не удалось понять причину того ограничения, которому подчинил Буль операцию сложения. Не видя же причины этого ограничения и сознавая, что булевское сложение не вполне соответствует предмету и задачам логики (потому что для сложения сплошь и рядом нам встречаются классы конъюнктивные), он вообразил, будто помянутое ограничение присуще сложению, а потому и предложил изгнать эту операцию из области логики.

Отвергнув сложение и заменив его каким-то странным действием «или», Джевонс остался без всяких операций над равенствами. В самом деле, переход от сложения классов к сложению равенств вполне натурален; применять же к равенствам помянутое действие «или» едва ли кто-нибудь мог бы предложить. Если так, то действительно систему Джевонса нельзя не признать почти вполне свободной от того самого математического метода, в пользу которого он так сильно ратовал.

А теперь переходим к изображению предложенного Джевонсом способом для решения логических равенств.