Два сообщения, читанные 27 февраля и 23 марта 1882г

1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   15

a=aM(1) и a=a+M₁(0), их с удобством можно было бы представить в виде пары неравенств

aM₁(0).

Однако мы предпочитаем остаться при прежних обозначениях. Ещё одно существенное замечание: в логике слово содержится имеет совсем не то значение, что в математике. А именно, если p содержится в q, то в математике это значит, что число p есть один из множителей числа q; наоборот, в логике это значит, что класс p есть одно из слагаемых (подклассов) класса q.

25 Считаем долгом прибавить, что хотя пара формул a=aM(1), a₁=a₁M(0) построена нами совершенно самостоятельно, на основании тех теоретических соображений, которые изложены в предыдущем §, однако легко убедиться, что обе эти формулы были известны и Шрудеру. В самом деле, (см. § 4 нашей статьи) при доказательстве основной своей теоремы, по которой равенство 0=ax+a₁y тождественно с парой равенств: 0=xy, а=х₁(и+y), Шредер имел равенства 0=ax, 0=а,y и, решая их относительно а и а₁ получал а=vх₁, а₁=и₁y₁ т..е. в сущности те же равенства a=aM(1) b a₁=a1M(0). Однако, во 1-х, эти равенства Шредера обременены присутствием определенных символов v и и, второй из которых автор считает даже производным, а во 2-х, (и это главное), у Шредера эти равенства суть только промежуточные на пути к определению а, а у нас они суть окончательные, и объяснение логического их значения, в качестве различных и существенных частей полного определения, принадлежит лично нам.

26 Вот другое доказательство той же истины. В единичной форме обе упомянутой формулы суть: 1=a₁+M(1), 1=a+M(0), откуда по перемножении получаем:

1=aM(1)+a₁M(0)+M(0)M(1)=aM(1)+a₁M(0)+(a+a₁)M(0)M(1)=a[M(1)+M(0)M(1)]+

+a₁[M(0)+M(0)M(1)]=aM91)+a₁M(0)=M,

т.е. логическая единица системы этой пары формул есть логическая единица задачи.

27 Необходимо отличать логическое содержание одного класса в другом от тождественного содержания. Тождественное содержится только подкласс в классе (напр. pq в p или в q). С другой стороны подкласс (pq) не может содержаться в отрицании своего класса, равносильно допущению этого подкласса логическим нулем. На этом основании, коль скоро u логически должно содержаться в v, то все подклассы 1-й функции, встречаемые между подклассами отрицания 2-ой, надо считать логическими нулями.

28 Интересно, что в этом случае сложение формул a=aM(1), 0=a₁M₁(0) дает одну формулу, вполне с ними тождественную: a=aM(1)+a₁M₁(0).

29 Это следует из того, что полный логический нуль задачи есть 0=M₁=aM₁(1)+a₁M₁(0).

30 В изложенном доказательстве есть допущение, которое может показаться произвольным, а именно, что тождественное равенство вида Aa+Ba₁=Ca+Da₁ равносильно паре равенств: A=C, B=D. Однако, допущение это есть прямое следствие теоремы Буля, по которой всякая функция f(a) может быть разложена относительно a только одним образом, а именно по формуле f(a)=af(1)+a₁f(0).

31 Другое средство заключается в разложении pa+r=θ(a) по формуле Буля: θ(a)=aθ(1)+a₁θ(0). Но применение этой формулы всегда равносильно умножению θ(a) на a+a₁, ибо aθ(a)=aθ(1) и a₁θ(a)=a₁θ(0).

32 Легко доказать, что и вообще наша формула M=gv+hv₁=(Mv)v+(Mv₁)v₁ есть только обобщение формулы Буля M(a)=aM(1)+a₁M(0). В самом деле, при v=a, мы имеем: Mv=aM=aM(1), Mv₁=a₁M(0), т.е. действительно первая формула сводится на вторую.

33 Справедливость требует прибавить, что при переходе от нашей формулы a=aM(1)+a₁M₁(0) к формуле Шредера a=M(1)[a+M₁(0)] мы отбрасываем логический нуль 0=M₁(0)M₁(1), независящий от a, т.е. не необходимый для характеристики a, тогда как для превращения формулы Шредера в формулу Джевонса a=aM(1) через отбрасывание логических нулей приходится отбрасывать выражение 0=a₁M₁(0)M(1), содержащее букву a, т.е. существенно необходимое для определения a.

34 На наш взгляд, то обстоятельство, что в данном случае, как мы доказали (см. § 11), простое равенство b=ac₁ вполне выражает все условия задачи, также весьма интересно и гораздо более важно, чем результат, полученный самим Венном.

35 Джевонс, изложив свой способ определения классов, тоже переходить к обратной задаче и посвящает ему целую 7-ую главу (об индукции) своего сочинения «Основы науки». Однако, эта его «обратная» задача не имеем ничего общего с нашей задачей, только что установленной. По нашему мнению, в «обратной» задаче Джевонса идет речь об определении числа и вида всевозможных функций данных классов. Когда-нибудь впоследствии, на досуге, мы предполагаем заняться этой задачей.

36 Элементарные конституанты и продуценты суть элементы речи (т.е. классов), а элементарные посылки суть элементы задачи (т.е. посылок).

37 Число это есть только схематическое, т.е. некоторые из посылок могут оказаться тождествами 0=0.

38 Напр., при двух классах a и b, сумма продуцента a+b с конституантом a₁b₁ равна 1. И вообще всякий продуцент s, сложенный с его отрицанием, которое есть некоторый конституант t, составляет l.

39 Заметим вообще, что когда логическая единица есть элементарная (в роде s⁽ⁱ⁾), то из двух функций u и u₁, служащих отрицанием друг друга, одна обязательно содержится в s⁽ⁱ⁾ тождественно, тогда как другая только логически. Наоборот, во всякой другой логической единице 1=M, не представляющей простого элементарного продуцента данных классов, обе функции u и u₁ вообще содержатся только логически.

40 В самом деле, имея в равенстве 1-M функцию M разбитой на элементарные конституанты, достаточно заместить в нем 1 через 0, чтобы иметь готовыми все элементы обратной задачи 0=M.