Два сообщения, читанные 27 февраля и 23 марта 1882г

Вид материала

Документы

Подобный материал:

• Россия, 191186 Санкт-Петербург, Невский пр., 30, оф., 63.98kb.
• Руководитель управления образования, 85.22kb.
• Курс с 6 февраля по 1 марта, 205.63kb.
• Вед. 1- сегодня 14 февраля, 124.74kb.
• Информационный бюллетень местного самоуправления Издается асдг по с окмо с февраля, 1928.61kb.
• Информационный бюллетень местного самоуправления Издается асдг по с окмо с февраля, 1285.61kb.
• Информационный бюллетень местного самоуправления Издается асдг по с окмо с февраля, 1763.83kb.
• Информационный бюллетень местного самоуправления Издается асдг по с окмо с февраля, 1671.53kb.
• Информационный бюллетень местного самоуправления Издается асдг по с окмо с февраля, 1139.9kb.
• Информационный бюллетень местного самоуправления Издается асдг по с окмо с февраля, 1335.2kb.

§ 12. Упращение общего приёма

Только что изложенный способ построения максимальной системы в единичной форме может быть подвергнут упрощению. А именно, нет надобности вычислять все 2ⁿ символов, а достаточно ограничиться только теми из них, которые сводятся на 0. Здесь мы имеем дело с задачей, противоположной той, которую мы решали в § 4, но только гораздо более сложной. А именно, нам предстоит, имея какую угодно функцию n классов f(a,b,c,d…), и замещая в ней все классы: одни единицами, другие нулями, определить все результаты, равные нулю, и притом так, чтобы не делать этих замещений на самом деле. Чтобы сказанными замещениями превратить функцию f в 0, необходимо обратить в 0 сразу все ее члены, для чего достаточно заместить нулем по одному множителю каждого члена. След., чтобы исчерпать все символы, сводящиеся на 0, надо перебрать всевозможные комбинации случаев одновременного обращения в 0 сказанными замещениями по одному множителю каждого члена данной функции. Нельзя не сознаться, что применение этого правила должно быть сложным и затруднительным, а потому будет гораздо удобнее составить по правилу § 4 все символы, сводящиеся на 1, после чего все прочие символы и будут те, которые сводятся на 0.

Для примера возьмем 3-э задачу § 16 первой части (о девицах данного бала). Полная логическая единица этой задачи есть:

1=ab₁cd₁+a₁bc₁d=M(a,b,c,d).

Пусть требуется найти элементарные логические единицы, минуя непосредственное вычисление символов.

В данном случае n=4, и оба члена функции M элементарны, т.е. 4-го измерения. А потому каждому из этих членов отвечает всего один символ, сводящийся на 1. Таким образом, в данной задаче есть только два символа, сводящихся на 1, именно M(1,0,1,0) и M(0,1,0,1), а потому только два элементарных продуцента: a₁+b+c₁+d и a+b₁+c+d₁ не входят в разложение функции M на множители. Остальные 14 продуцентов доставят нам следующую систему 14-ти элементарных единиц: 1=a+b+c+d; 1=a+b+c+d₁; 1=a+b+c₁+d; 1=a+b+c₁+d₁; 1=a+b₁+c+d; 1=a+b₁+c₁+d; 1=a+b₁+c₁+d₁; 1=a₁+b+c+d; 1=a₁+b+c+d₁; 1=a₁+b+c₁+d₁; 1=a₁+b₁+c+d; 1=a₁+b₁+c+d₁; 1=a₁+b₁+c₁+d; 1=a₁+b₁+c₁+d₁.

§ 13. Происхождения функций из логического «ничто»

Разложение какой угодно функции f на множители можно рассматривать не только как средство для получения различных систем, отвечающих равенству f=1, но и как указание происхождения этой функции из различных универсальных нулей. Формулы определения различных универсальных единиц суть:

1=a+a₁

1=ab+ab₁+a₁b₁

1=abc+abc₁+ab₁c+ab₁c₁+a₁bc+a₁bc₁+a₁b₁c+a₁b₁c₁.

И т.е. Отрицания этих формул, т.е. формулы:

0=aa₁

0=(a+b)(a+b₁)(a₁+b)(a₁+b₁)

0=(a+b+c)(a+b+c₁)(a+b₁+c)(a+b₁+c₁)(a₁+b+c)(a₁+b+c₁)(a₁+b₁+ +c)(a₁+b₁+c₁)

и т.д., должны представлять всевозможные универсальные нули. Легко понять, что, например, разложение

f(a.b.c.d…)=[a+b+f(0.0.c.d…)][a+b₁+f(0.1.c.d…)][a₁+b+f(1.0.c.d…)][a₁+b₁+f(1.1.c.d…)]

определяет нам, какими функциями надо увеличить продуценты универсального нуля двух классов a и b для того, чтобы их произведение могло доставить данную функцию f(a.b.c.d…). При полном разложении данной функции f по всем классам, все эти функции, прикладываемые к продуцентам, сводятся частью на 1, частью же на 0, а потому полное разложение представляет нам указание, какие продуценты универсального нуля всех данных n классов должны быть перемножены для получения дано функции.

Сопоставляя этот результат с тем, который был нами получен в § 9 этой главы, можем высказать следующее. Оба полные разложения одной и той же функции f(a,b,c,d…),зависящей от n классов a,b,c,d…, на элементарные конституанты и продуценты суть:

f(a,b,c,d…)=f(1,1,1,1…)abcd…+f(0,1,1,1…)a₁bcd…+…+ +f(0,0,0,0…)a₁b₁c₁d₁….

f(a,b,c,d…)=[a+b+c+d+…+f(0,0,0,0,…)][a₁+b+c+d+…+ +f(1,0,0,0…0]…[a₁+b₁+c₁+d₁+…+f(1,1,1,1…)].

Обе эти формулы суть схематические, состоящие 1-ая из 2ⁿ членов, 2-я из 2ⁿ множителей. В обеих мы видим одни и те же 2ⁿ символов, из которых одни должны сводиться на 1, другие на 0. Предполагая, что число первых есть m, а следов. число вторых есть 2ⁿ ─m, мы получим функцию f в двух видах: 1) в виде простой суммы m элементарных конституантов и 2) в виде простого произведения 2ⁿ ─m элементарных продуцентов. (Эти продуценты суть отрицания всех конституантов, не входящих в данную функцию). Таково происхождение всякой данной функции n классов: 1) из универсальной единицы этих классов и 2) из универсального их нуля. И так, всевозможные функции n классов могут быть выведены: 1) из универсальной их системы через отбрасывание одного или нескольких элементов ее членов и 2) из универсально их нуля через отбрасывание одно или нескольких из элементарных его множителей.

§ 14. Общие свойства продуцентов

Приведенные в предыдущем § формулы определения тождественных (универсальных) нулей одного, двух, трех и т.д. классов позволяют нам установить следующие два основные свойства продуцентов одного и того же порядка, составленных из одних и тех же классов. А именно: 1) произведение всех таких продуцентов всегда =0 и 2) сумма двух (и более) из них всегда =1. В силу этих свойств, продуценты одного и того же порядка, составлены из одних и тех же классов, не зависят друг от друга и не выражаются одни через другие. Наоборот, продуценты различных порядков выражаются одни через другие, а именно, мы видели, что для замещения какого-либо продуцента парою продуцентов порядка на единицу высшего может служить формула a=(a+b)(a+b₁).

§ 15. Сопоставление конституантов и продуцентов и простыми классами

Интересно сделать следующее сопоставление элементарных конституантов и продуцентов, т.е. элементов объема с элементами содержания речи.

Элементы объёма суть такие подклассы мира речи, которые характеризуются максимальным числом признаков (т.е. присутствием или отсутствием каждого из данных n признаков) и минимальным числом принадлежащих к ним предметов. Наоборот, элементы содержания суть самые объемистые подклассы мира речи, но за то они отличаются минимальным количеством, характеризующим из признаков. Объем элементов содержания столь велик, что не только сумма двух из них, взятых наудачу, но даже сумма всякого отдельного продуцента с прилично избранным одним конституанто³⁸, вполне исчерпывает весь мир речи. Наоборот, в элементах объема объем столь незначителен, что в двух из них, изображенных на удачу, нет никаких общих предметов мира речи. С другой стороны, элементарные продуценты столь объемисты, что произведение их в каком угодно числе, меньшем 2ⁿ, всегда отлично от нуля, и только все они, будучи перемножены, дают в произведении 0. Наоборот, элементарные конституанты столь незначительны по объему, что только все они будут соединены вместе, в состоянии образовать весь мир речи.

Что элементарные конституанты и продуценты действительно элементарны, т.е. неразложимы, можно убедиться из того, что применение всех известных нам формул разложения на суммы и произведения к элементу объема или содержания не в состоянии доставить нам ничего другого, кроме этого самого элемента.

Следует добавить, что элементы остаются таковыми только в пределах данного мира речи и что они могут сделаться разложимыми при переходе к другому миру речи. Такая относительность этого понятия вполне натуральна и нисколько не мешает представлению об абсолютных логических элементах, за какие могли бы быть приняты элементы такого мира речи, который обнимал бы собою все мыслимое, сущее или возможное.

Прибавим еще, что простые классы a,b,c,d… и их отрицания отнюдь не суть элементы какой-либо задачи об этих классах. Простыми же мы их называем по следующим причинам: 1) символическое их обозначение проще, чем у всех прочих классов задачи; 2) они одни суть первоначальные классы задачи, все же прочие производятся от них; наконец 3) в пределах задачи возможная их зависимость от каких-либо других классов a’,b’,c’,…, не рассматриваемых задачей, должна быть оставляема без внимания. Можно еще прибавить, что простые классы a,b,c,d… и их отрицания a₁,b₁,c₁,d₁… представляют единственное место сопротивления противоположных понятий конституанта и продуцента, а именно все простые классы суть в одно и тоже время и конституанты и продуценты 1-го порядка.

§ 16. Пример анализа обоих способов происхождения функций

Приведём пример обоих полных разложений (т.е. на элементарные конституанты и продуценты) одной и той же функции и покажем, как она может быть выведена из универсальных единицы и нуля.

Пусть дана функция трех классов:

ab₁+bc₁+ca₁,

и допустим для определенности, что a,b,c суть некоторые классы из мира существ чувствующих, т.е. пусть напр. a есть существо любящее, b верящее, c надеющееся. Отрицания a₁,b₁,c₁ будут обнимать прочие чувствующие существа, напр. наделенные корыстью, доверием, завистью и т.д. объем этих отрицаний буде шире или уже, смотря потому, в связи с каким логическим миром речи должна быть рассматриваема взятая нами функция. Пока эта функция рассматривается изолированно, т.е. не входит в состав какого-либо равенства, нет данных для определения размеров логического мира речи, и отрицания a₁,b₁,c₁ должны быть считаемы неопределенными, а след. всевозможные их конституанты и продуценты равно возможными. Другими словами, данная изолированная функция может быть относима только к универсальному миру речи существ чувствующих, а также к универсальному нулю речи, что и достигается обоими её полными разложениями. Прибавим, что данная функция означает такой класс чувствующих существ, куда относятся: 1) существа любящие, но не верящие, 2) верящие, но не надеющиеся , и 3) надеющиеся, но не любящие. В данном случае, т.е. при 3 классах a,b,c, универсальный мир чувствующих существ есть:

1=abc+abc₁+ab₁c+ab₁c₁+a₁bc+a₁bc₁+a₁b₁c+a₁b₁c₁,

т.е. к нему принадлежат существа, наделенные: 1) любовью, верой и надеждой, 2) любовью и верой без надежды, 3) любовью и надеждой без веры, и т.д.

Полное разложение данной функции на элементы объема буде:

ab₁+bc₁+ca₁=ab₁(c+c₁)+bc₁(a+a₁)+ca₁(b+b₁)=ab₁c+ab₁c₁+abc₁+a₁bc₁+ +a₁bc+a₁b₁c.

Вот данная функция и разбита на такие же элементарные части, как и вест предыдущий универсальный мир речи.

Как видим, для перехода от последнего к нашей функции достаточно опустить в нем только два элемента: abc и a₁b₁c₁. Таким образом, в составе данной функции нет только двух из всевозможных 8 элементов классов, а именно: 1) существ, обладающих совпадением любви, веры и надежды и 2) существ, характеризуемых одновременным отсутствием этих трех чувств.

А теперь возьмем универсальный нуль тех же классов a,b,c, т.е.

0=(a+b+c)(a+b+c₁)(a+b₁+c)(a+b₁+c₁)(a₁+b+c)(a₁+b+c₁)(a₁+b₁+c)(a₁+ +b₁+c₁).

Здесь мы имеем такие классы, которых выше не рассматривали, а именно: 1) класс существ, каждое из которых обладает или любовью, или верой, или надеждой; 2) класс, куда относится все любящее, все верящее и все ненадеющееся, и т.д. число таких классов (элементов содержания) есть тоже 2³, т.е. 8. Между этими классами, взятыми по 2, по 3 и т.д., есть много общих предметов, но такого существа, которое сразу относилось бы ко всем им, нет и быть не может.

Желая объяснить, какие из этих элементов, будучи перемножены, составят данную функцию ab₁+bc₁+ca₁, мы должны разбить ее на элементарные множители. С этою целью заметим, что, разложенная на элементарные слагаемые, функция эта состоит из 6 членов, а потому в ее составе должно быть 2³─6, т.е. всего 2 элементарных множителя. И понятно, что эти множители должны быть отрицаниями недостающих элементов объема. Но данной функции недостает только двух таких элементов: abc и a₁b₁c₁, а потому разложение ее на элементарные множители будет:

ab₁+bc₁+ca₁=(a+b+c)(a₁+b₁+c₁).

Таким образом, для получения данной функции из универсального нуля, надо опустить в нем 6 множителей, остальные же перемножить на деле и затем сделать приведение. Как видим, данная функция должна быть довольно объемиста, потому что она происходит от совмещения (перемножения) всего двух элементов содержания, т.е. обнимает все существа, общие только двум их 8-ми классов с наибольшим объемом.

§ 17. О парах логически-противоположных задач

После всего изложенного оказывается возможным установить следующее общее предложение: каждая логическая функция f(a,b,c,d…) может быть рассматриваема: 1) как логическая единица всех задач на тему 1=f(a,b,c,d…) и 2) как логический нуль всех задач на противоположную тему 0=f(a,b,c,d…). Доказательство этого предложения совершенно излишне, потому что коль скоро функция эта отлична от тождественных 1 и 0, то всегда могут быть построены схематически-максимальные системы 2ⁿ равенств, отвечающих каждой из указанных тем, после чего может быть сделан переход к фактически-максимальным, а от сих последних и к каким угодно другим системам.

Схематически максимальные системы будут:

1. Для 1-ой темы: