Два сообщения, читанные 27 февраля и 23 марта 1882г

Вид материала

Подобный материал:

1 ... 4 5 6 7 8 9 10 11 ... 15

§ 12. Наши правила для исключения классов и для определения, соединения с исключением

Переходим к исключению классов из данных посылок. Правила для исключения классов даны еще Булем и приняты Шредером без изменений. Хотя правила это довольно просты, однако формулы, им отвечающие, очень сложны и постепенно усложняются по мере увеличения числа исключаемых классов. Так, если из равенства, имеющего нулевую форму:

0=N(a.b.c.d…),

Исключить один класс, напр. a, то результат исключения будет:

0=N(1.1.c.d…)N(1.0.c.d…)N(0.1.c.d…)N(0.0.c.d…).

И т.д. Если исключить m классов, то результат содержит 2^m множителей. Употребление подобных сложных формул крайне тягостно. Дело будет несколько проще, если вместо нулевых брать единичные формы равенств.

Результат исключения a в такой форме будет: 1=M(1.b.c.d…)+M(0.b.c.d…).

При исключении двух классов a и b результат будет: 1=M(1.1.c.d…)+M(1.0.c.d…)+ +M(0.1.c.d…)+M(0.0.c.d…).
И т.д. При исключении m классов надо сделать 2^m сложений, тогда как при нулевой форме необходимо выполнить 2^m умножений. Это значительно облегчит выкладки.

Однако, мне удалось построить такие правила исключения классов, при употреблении которых формулы постепенно упрощаются по мере увеличения числа исключаемых классов, т.е. как раз наоборот тому, что мы замечаем при употреблении правила Буля. Судя à priori, так оно и должно быть, потому что отношения между не всеми классами должны быть проще отношений между всеми ими. След. правило Буля для исключения классов не ответствует существу дела. В чем же состоит предлагаемое правило? Сравнение основной формулы: 1=M=aM(1.b.c.d…)+a₁M(0.b.c.d…) с результатом исключения a из данных посылок достаточно в полной логической единице заменит a и a₁ единицами. Получается новая логическая единица задачи (уже не полная), выраженная посредством всех классов, кроме a, и представляющая (как нами было уже доказано) всю ту часть сведений задачи, которая не касается прямо самого a. Упомянутое мною правило логически совершенно понятно, потому что если части двух функций: M(1) и M(0), будучи сложены, составляют единицу, т.е. весь мир речи, то и подавно сумма самых этих функций должна быть единицею.

Можно показать, что предлагаемое мною правило имеет место для всякой формы функции M, т.е. будет ли она однородна относительно исключаемого класса a, или нет. Пусть напр., функция M неоднородна относительно a, т.е. полная логическая единица задачи есть, напр.:

1=Aa+Ba₁+C=M,

где A,B,C зависят от прочих классов b,c,d…

В данном случае M(1)=A+C, M(0)=B+C, а потому для результата исключения a получим 1=M(1)+M(0)=A+B+C, т.е. выражение, которое выводится из начальной формулы 1=M=Aa+Ba₁+C заменою a и a₁ единицами. Таким образом, наше правило для перехода от полной логической единицы к результату исключения в единичной форме имеем место вообще, будет ли C нуль или отлично от нуля, т.е. однородна или нет функция M относительно исключаемого класса a. Простыми суждениями это правило можно обобщить, т.е. доказать, что если надо исключить сразу m классов из равенства 1=M, то результат исключения получится после замещения в функции M всех исключаемых классов и их отрицаний единицами. Правило, замечательно простое, и употребление его, особенно в сравнении с правилом Буля, может быть только приятным.

Правило будет несколько сложнее, если мы пожелаем сделать переход от формулы полного (схематического) определения класса a одною формулою, т.е. a=aM(1)+a₁M₁(0), к соответственной формуле определения того же класса a через все классы, кроме одного или нескольких из прочих. Заметим, сто полное определение класса a через все классы, кроме напр. b, должно выводится из результата исключения класса b, т.е. из равенства: 1=M(a.1.c.d…)+M(a.0.c.d…), совершенно так же, как полное определение a всеми классами выводится из основного равенства 1=M. А теперь займемся построением искомого правила. Пусть функция M развернута в отношении классов a и b, т.е. приведена к виду:

1=M=Aab+Bab₁+Ca₁b+Da₁b₁.

Результаты исключения b , будет (заменяя b и b₁ единицами): 1=M´=Aa+Ba+Ca₁+Da₁= a(A+B)+ a₁(C+D).

Полные определения a, отвечающая обоим этим равенствам, будут соответственно:

a=aM(1)+a₁M₁(0)=a(Ab+Bb₁)+a₁(C₁+b₁)(D₁+b)

a=aM´ (1)+a₁M´₁(0)=a(A+B)+a₁C₁D₁.

Как видим, второе определение получается из первого следующим образом: 1) в коэффициенте при a надо заменить b и b₁ единицами; 2) в коэффициенте же при a₁, которой не следует делать однородным относительно b, заменить b и b₁ нулями. Правило это легко распространить на случай исключения двух и более классов. Однако, мы вообще не будем употреблять этого правила в виду того, что замещение формулы схематического определения соответственной парой формул полного определения позволяет нам сохранить первое, более простое, правило.

В самом деле, если формулу схематического определения: a=aM(1)+a₁M₁(0) разложить на пару отвечающих ей определений a вумя функциями и взять эти формулы в такой форме: a=aM(1), a₁=a₁M(0), то установленное выше первое правило, имеющее место для формулы 1=M, сохранится в полной силе, сколько бы классов ни было исключаемо. Так напр., в предыдущем примере, определяя a из формулы:

1=M=a(Ab+Bb₁)+a₁(Cb+Db₁)

1=M’=a(A+B)+a₁(C+D),

и пользуясь для этой цели написанной выше парой формул полного определения, будем иметь соответственно:

A=a(Ab+Bb₁), a₁=a₁(Cb+Db₁)
A=a(A+B), a₁=a₁(C+D),

т.е. вторая пара формул выводится из первой помощью простого замещения исключаемого класса b и его отрицания единицами. И легко показать, что правило останется тоже самое, сколько бы классов мы не вздумали исключить из пары формул: a=aM(1), a₁=a₁M(0), а именно все исключаемые классы и их отрицания надо заменить единицами. Понятно, что это же правило остается в полной силе и для определения Джевонса, т.е. для одной формулы a=aM(1). Что же касается формулы Шредера, то к ней правило это неприменимо.

И так в случае, когда требуется определить на основании равенства 1=M(a.b.c.d…) какой-нибудь класс a сполна через все данные классы, кроме таких-то, перед нами открываются два пути. 1) Можно исключить все лишние классы (заменою их и отрицаний единицами) из равенства 1=M и из результата определить a сполна всеми классами, входящими в этот результат. 2) Можно также сполна определить a из равенства 1=M двумя формулами a=aM(1), a₁=a₁M(0) и из них уж исключить (тою же заменою) все лишние классы. Имея же полное определение a через все классы, кроме таких-то, можно построить и соответственное точное. Таким образом, при определении одних классов в связи с исключением других, для возможности пользоваться сокращенным правилом исключения, обязательно употребление пары формул полного определения; точное же определение должно быть получаемо не иначе, как из полного.

Для примера, пусть дана задача, полная логическая единица которой есть:

1=M(a.b.c.d)=abc₁d+a₁b₁cd₁.

и требуется определить c через одно a. Применить сначала первый прием.

Результат исключения лишних классов b и d из этого равенства будет:

1=ac₁+a₁c=M’(a.c),

Откуда для полного определения c одною формулою получим:

C=cM’(1)+c₁M’₁(0)=ca₁+c₁a₁,

т.е. c и содержится в a₁ и содержит его в себе, или с тождественно с a₁.

Следуя второму пути, мы начинаем с полного определения с двумя формулами из данного равенства; получаем:

c=cM(1)=c(a₁b₁d₁)

c₁=c₁M(0)=c₁(abd).

Затем, исключая отсюда лишние классы b и d, находим:

c=ca₁, c₁=c₁a, и след. c=c+a₁,

откуда, по соединении двух определений c, получим окончательно: c=ca₁+c₁a₁=a₁, т.е. тоже, что и выше.

Но если бы мы пожелали следовать правилу Буля для исключения классов, то дело было бы много сложнее. Для этого мы должны были бы обратиться к полному логическому нулю задачи, который в данном примере есть: 0=N(a.b.c.d)=a(b₁+c+ +d₁)+a₁(b+c₁+d), и вывели из него формулу: 0=N(a.1.c.1)N(a.1.c.0)N(a.0.c.1)N(a.0.c.0). вычисляя эти 4 множителя на деле, мы получим: N(a.1.c.1)=ac+a₁=c+a₁, N(a.0.c.1)=1, N(a.1.c.0)=1, N(a.0.c.0)=a+a₁c₁=a+c₁. Результат исключения b и d принимает вид: 0=(c+a₁)(a+c₁)=ac+a₁c₁, вполне согласный с полученным нами: 1=ac₁+a₁c.

Можно предложить особые символы для обозначения результатов исключения классов. Пусть основное равенство, выражающее все условия задачи, есть: 1=M(a.b.c.d…). Всевозможные результаты исключения различных классов из этого равенства мы будем выражать тем же символом M, но под знаком этого символа внутри скобок все исключаемые классы будем подчеркивать (а в письме удобнее перечеркивать их). Так, равенство: 1=M(a.b.c.d.e…) есть результат исключения классов b и d из равенства 1=M(a.b.c.d.e…). Точно также пара равенств: a=aM(1.b.c.d.e…) и a₁=a₁M(0.b.c.d.e…) есть полное определение a всеми классами, кроме b и d.

Считаем нужным прибавить, что правило наше об исключении a из равенства 1=M посредством замещения a и a₁ единицами, обязательно требует предварительного выполнения перемножений в случае, если функция M имеет вид: M=m.m’.m’’…., где всякое малое m есть функция вида pa+pa₁+r, или, что тоже, вида pa+sa₁. Пусть, для простоты, имеем только 2 множителя, т.е. дано равенство:

1=M=(pa+qa₁)(p’a+q’a₁).

Выполнив здесь перемножения, мы получим: 1=M=pp’a+qq=a, откуда для результата исключения a найдем: 1=pp’+qq’. А если бы мы упустили из виду необходимость предварительного выполнения перемножений, и применяли тоже правила, то получили бы: 1=(p+q)(p’+q’), т.е. равенство, вовсе не равнозначное с предыдущим. Таким образом, применение нашего правила требует некоторой предосторожности, а именно: чтобы функция M была развернута в отношении исключаемого класса, т.е. не состояла из множителей, зависящих от этого класса.

В заключение вопроса об исключении классов заметим, что если какой-нибудь из результатов исключения сводится на тождество 1=1, то это надо понимать не в том смысле, будто между данными классами, кроме исключенных, нет никакого отношения. Совсем наоборот, это укажет только на отсутствие определенного отношения, т.е. какого-либо ограничения всевозможных отношений, а след. при этом все альтернативы составленные из помянутых классов, равно возможны. Пусть, напр., имеем равенство: 1=M(a.b.c.)=b(a+c₁)+b₁(a₁+c). Исключая a, получаем тождество: 1=M(a.b.c)=b(1+c₁)+b₁(1+c)=b.1+b₁.1=b+ +b₁=1. Это значит, что, независимо от a, класс b содержится частью в классе c, частью же в классе c₁, и обратно часть c встречается в классе b, другая часть в классе b₁.

§ 13. Определение из посылок, каких угодно функций по приёму Шредера и нашему приём. Всевозможные формы каждого отдельного равенства

Доселе мы занимались определением простых классов (и их отрицаний) из равенства 1=M. Переходим к определению функций из того же равенства, или из отвечающего ему равенства 0=N.

Шредер решает этот вопрос след. образом. Пусть из равенства 0=N(a.b.c.d…) надо определить какую-нибудь данную функцию напр. F(b.d) через a и c. Все прочие классы c,f,g,h… он прежде всего исключает. Получается отношение 0=π(a.b.c.d). Потом функцию F он называет одной буквой u и равенство u=F, приведенное к нулевой форме, складывает с равенством 0=π. Получается равенство: 0=φ(u.a.b.c.d). Из этого равенства, откуда надо определить u через a и c, Шредер исключат лишние классы b и d. Получает равенство: 0=θ(u.a.c), и отсюда по своей формуле для функции u находит: u=θ(1)[u+θ₁(0)].

В этом способе, помимо го сложностей, есть следующий очень сомнительный пункт. А именно, где ручательство, что исключая из равенства 0=φ(u.a.b.c.d) классы b и d, функциею которых служит класс u, мы не исключим сведений, существенных для определений u? Мы знаем только правило полного исключения классов. Здесь же Шредер пользуется им для неполного исключения b и d, потому что при этом он не исключает u, служащего функцией этих классов. В виду недоразумения, возбуждающего таким приемом, я должен был искать другого приема, свободного от помянутого недостатка, и пришел к построение следующего способа определения функцией, представляющего (как и быть должно) обобщение способа, найденного мною для определения простых классов.

В основание этого способа я кладу следующую теорему, которую удалось мне построить. Имея две какие угодно функции u и v, мы всегда может выразить одну из них посредством другой и ее отрицания. Желая, напр., выразить u через v и v₁, составляем тождество

u=uv+uv₁=v(uv)+v₁(uv₁)=Av+Bv₁.

Это и есть искомая формула. В ней коэффициенты A и B суть произведения развертываемой функции u на ту функцию v₁ в отношении которой делается разложение, и на ее отрицание V₁. Обратно, для разложения v в отношении u, мы имели бы: v=Cu+Du₁=(vu)u+(vu₁)u₁.

Найденная формула и есть (как это мы увидим ниже) обобщение известной формулы Буля для разложения какой угодно функции F(a.b.c…) в отношении простого класса a, т.е. формулы: F(a.b.c…)=aF(1.b.c…)+a₁F(0.b.c…).

Для примера разложить функцию u=ab+cd в отношении функции v=ac+bd, и обратно. В данном случае v₁=(a₁+c₁)(b₁+d₁)= =a₁b₁+a₁d₁+b₁c₁+c₁d₁. Следовательно, uv=(ab+cd)(ac+bd)=abc+ +abd+acd+bcd; uv₁=(ab+cd)(a₁b₁+a₁d₁+b₁c₁+c₁d₁)=a₁b₁cd+abc₁d₁. Разложение функции u будет: u=ab+cd=v[abc+abd+acd+bcd]+ +v₁[a₁b₁cd+abc₁d₁]. Для обратного разложения мы получим: u₁=a₁c₁+a₁d₁+b₁c₁+b₁d₁, uc=abc+acd+abd+bcd, vu₁=ab₁cd₁+a₁bc₁d и след. v=ac+bd=u[abc+acd+abd+bcd]+u₁[ab₁cd₁+a₁bc₁d]. Что эти разложения верны, легко убедиться, развернув скобки, после чего получились бы простые тождества u=u и v=v.

При употреблении формулы u=Av+Bv₁ может случится, что A (вычисленное чрез умножение u на v) имеет вид A’v. В таком случае Av=A’v, и предыдущая формула принимает более простой вид: u=A’v+Bv₁. Точно также, может случиться, что B (т.е. произведение uv₁) имеет вид B’v₁. Тогда вместо нашей формулы мы имели бы: u=Av+B’v₁. Наконец, если бы одновременно выполнялись условия: A=gv, B=hv₁, то мы имели бы формулу: u=dv+hv₁. В этом последнем виде мы и будем употреблять нашу формулу, т.е. для вычисления g и h мы должны составить произведения uv и uv₁ и опустить из первого произведения множитель v, а из второго множитель v₁, в случае если бы оказалось, что первое произведение, будучи выполнено на самом деле, принимает вид gv, а второе вид hv₁.

Что указанные случаи возможны, в этом нас убедят следующие 3 примера.

Пусть надо разложить функцию u=ab+cd в отношении функции v=ad. В данном случае: v₁=a₁+d₁; A=uv=(ab+cd)ad=abd+ +acd=ad(b+c)=v(b+c); g=b+c; B=(ab+cd)(a₁+d₁=a₁cd+abd₁; h=B, и след. U=ab+cd=v(b+c)+v₁(a₁cd+abd₁). В этом примере A имеет вид gv. 2) Пусть теперь u=ab+cd, v=b₁+c₁. В этом случае: A=uv=abc₁+ +b₁cd; g=A; B=uv₁=abc+bcd=bc(a+d)=v₁(a+d); h=a+d, и разложение будет: u=v[abc₁+b₁cd]+v₁(a+d). В этом примере B имеет вид hv₁. 3) Пусть наконец u=ab+cd, v=c. В этом случае: A=uv=abc+cd=v(ab+d); g=ab+d; B=abc₁=v₁(ab); h=ab, и разложение будет: u=ab+cd=v(ab+d)+v₁(ab). В этом случае A имеет вид gv и B имеет вид hv₁. Интересно, что в этом же случае v есть простой класс c и формула Буля доставляет нам: ab+cd=c(ab+d)+c₁(ab), т.е. совершенно тоже, что и у нас, потому что v=c^³².

Возвращаясь к общему случаю, можем сказать, что в нашей формуле u=dv+hv₁ коэффициент g есть или самое произведение uv, или отличается от него отброшенным множителем v; точно также коэффициент h таков, что или само h=uv₁, или же hv₁=uv₁.

Желая воспользоваться этой формулой для определения функции v из равенства 1=M, заменяющего все посылки задачи, мы положим в ней u=M, и получим:

1=M=dv+hv₁,

где g или равно Mv, или отличается от него множителем v, и h или равно Mv₁, или отличается от него множитель v₁. А затем утверждаем, что полное определение функции v заключается как в паре формул:

v=gv, v₁=hv₁,

так и в одной формуле

v=gv+h₁v₁.

В самом деле, в единичной форме упомянутая пара формул будет такова: 1=v₁+g, 1=v+h. След. одно равенство, тождественное с этой парой, есть: 1=(v₁+g)(v+h)=gv+hv₁+gh=gv+ +hv₁+ghv+ghv₁=gv+hv₁=M. Точно также единичная форма формулы v=gv+h₁v₁ есть 1=v(gv+h₁v₁)+v₁(g₁v+hv₁)=gv+hv₁=M. Предложение доказано сполна. Как видим, получается указание на две функции: на функцию g, в которой содержится данная функция v, и на функцию h₁, которую она сама в себе содержит. Кроме того, воспроизводятся все сведения задачи. А потому действительно определение v двумя формулами: v=gv, v=v+h₁, или одной формулой: v=gv+h₁v₁ должно быть признано полным. Имея же полное определение, можно перейти от него к точному: v=g(v+h₁), а также к определению, аналогичному с определением простых классов у Джевонса v=gv.

Надо еще заметить следующее. Бывают случаи, когда B=uv₁=Mv₁ не имеет непосредственно вида B=hv₁, но отрицание этой функции, т.е. B₁ имеет вид h₁+v. В таких случаях вместо h₁+v должно быть взято h₁ в формулах: v=gv, v=v+h₁, v=gv+h₁v₁, т.е. за функцию, содержащуюся в v, должно быть принимаемо не v+h₁, но только h₁.

Так определяется каждая данная функция v из равенства 1=M посредством всех данных классов, входящих в функцию M. А если бы некоторые из классов надо было исключить, то можно поступить двояко: 1) или исключить эти классы, замещая их и их отрицания единицами, из равенства 1=M, и из результата такого исключения выводить определение v совершенно также, как прежде мы его выводили из первоначального равенства 1=M, и из результата такого исключения выводит определение v совершенно также, как и прежде мы его выводили из первоначального равенства 1=M; или 2) сначала определить сполна v всеми классами посредством пары формул: v=gv, v₁=v₁h, и потом уже отсюда исключить все лишние классы, замещая эти классы и их отрицания единицами.

Понятно, что в формуле полного (схематического) определения: v=gv+h₁v₁ второй член есть логический нуль (потому что логически v не может выражаться через v₁), т.е. эта формула (что мы уже и без того знаем) тождественна с парой формул: v=gv, h₁v₁=0 и след. v=v+h₁. но и в этой паре формул есть логический нуль, именно: h₁ должно логически содержаться в g, т.е. h₁g₁ есть логический нуль, и подлинно значение h₁ есть h₁g₁. После устранения этого логического нуля мы получаем пару формул точного определения: v=gv, v=v+h₁g. Легко убедиться, что эта пара вполне тождественна с одной формулой: v=g(v+h₁), аналогичный известной формуле Шредера для определения простых классов. Наконец, и в точном определении v есть логический нуль; именно h₁g, содержась в v, не может содержаться в v₁, след. h₁gv₁=0, и подлинное значение члена h₁gесть h₁gv. Исключая этот логический нуль из точного определения, мы получаем формулу: v=gv+gvh₁=gv, аналогичную с определением простых классов по Джевонсу.

Формула v=gv+h₁v₁, будучи тождественной с формулой 1=M=gv+hv₁, представляет только одну из форм этой последней. Прежде мы видели, что каждая система посылок об n классах: a,b,c,d…, может быть тождественно заменена одним равенством в каждой из следующих 2n+2 форм: 1) единичная и нулевая формы, 2) n форм полного (схематического) определения каждого из классов a,b,c,d… и 3) n форм полного определения отрицаний a₁,b₁,c₁,d₁,… мы не прибавляем p формул определения отрицаний помянутых функций, потому что отрицания функций суть тоже функции и уже содержатся в числе p всех возможных функций.

Надо заметить, что число различных логических функций, какие только могут быть составлены из данных n классов, т.е. упомянутое выше число p, далеко не бесконечно велико, а напротив всегда ограничено. Так, из одного класса a нельзя составить ни одной функции, кроме его антипода a₁, и это по той простой причине, что a+a=a и a.a=a. От двух классов a и b всевозможные двухклассные функции суть: a+b, a+b, a₁+b, a₁+b₁, ab, ab₁, a₁b и a₁b₁, т.е. только 8 функций. И т.д.

Несколько выше доказано, что формула: v=gv+h₁v₁ есть только обобщении нашей же формулы : a=aM(1)+a₁M₁(0), служащей для определения простых классов. Если так, то, действительно, изложенный здесь способ определения функции представляет только обобщение нашего способа определения простых классов.

Добавим, что указанное нами мнемоническое правило для перехода от формулы 1=M=aM(1)+a₁M(0) к формуле a=aM(1)+ +a₁M₁(0) (и обратно) сохраняется в полной силе и для перехода от формулы 1=M=gv+hv₁ к формуле v=gv+h₁v₁ (и обратно).

Понятно, что и при определении функции должен иметь место вариант общего метода, основанный на определении их из каждой посылки порознь и на соединении ряда полученных определений в одно определение по приему, вполне аналогичному с тем, который был указан нами в § 11.

Обратимся к примеру. Пусть дано равенство:

1=M(a.b.c.d)=ab+cd

и требуется определить из него функцию v=ad. В этом случае: A=vM=(ab+cd)ad=abd+acd=ad(b+c); g=b+c; B=c₁M=(a₁+d₁)(ab+cd)= =abd₁+a₁cd; B₁=(a₁+b₁+d)(a+c₁+d₁)=ad+(ab₁+a₁c₁+b₁c₁+c₁d+a₁d₁+ +b₁d₁); h₁=ab₁+a₁c₁+b₁c₁+c₁d+a₁d₁+b₁d₁. Для полного определения ad будем иметь пару формул: v=ad=v(b+c); v=ad=v+(ab₁+a₁c₁+ +b₁c₁+c₁d+a₁d₁+b₁d₁), или одну формулу:

v=ad=v(b+c)+v₁(ab₁+a₁c₁+b₁c₁+c₁d+a₁d₁+b₁d₁).

Функция, содержащая v, есть b+c; функция, содержащаяся в v, есть: ab₁+a₁c₁+b₁c₁+c₁d+a₁d₁+b₁d₁. Описание функции v этими признаками вполне воспроизводить все сведения задачи. Однако, логическая многие члены функции h₁ суть нули, потому что они не могут тождественно содержаться в функции v, а логически должны в ней содержаться. Для устранения этих нулей (остаются еще другие нули), мы должны вместо h₁ взять gh₁. В данном случае: gh₁=(b+c)(ab₁+a₁c₁+b₁c₁+c₁d+a₁d₁+b₁d₁)= =a₁bc₁+bc₁d+a₁bd₁+ab₁c+a₁cd₁+b₁cd₁. Точное определение функции ad, доставляемое формулою: v=g(v+h₁)=gh₁+vg, будем:

V=ad=[a₁bc₁+bc₁d+a₁bd₁+ab₁c+a₁cd₁+b₁cd₁]+v(b+c).

А именно, к функции v=ad относятся: 1) все, что в пределах задачи входит в состав функции, заключенной в последней формуле в прямые скобки, и 2) часть суммы (и+с). Вот то определение, которое в данном случае должен был бы получить Шредер. (Подобное же определение он получал бы и во всех прочих случаях, если бы он поставил правильнее вопрос об исключении классов при определении функций. Впрочем, мы здесь не имеем в виду оценивать степень точности получаемого Шредером определения функций помощью предложного им способа).

Но и в последней формуле есть также логические нули, потому что только та часть функции gh, отлична от нуля, которая может тождественно входить в функцию v=ad. След. для освобождения от этих нулей (последних) надо заменить gh₁ через gh₁ad. Будем иметь: vgh₁=ad[a₁bc₁+bc₁d+a₁bd₁+ab₁c+a₁cd₁+ +b₁cd₁]=abc₁d+ab₁cd=ad(bc₁+b₁c). таким образом, функция, содержащаяся в ad, освобожденной от всяких логических нулей, будет:

V=ad=v(b+c)+v₁(bc₁+b₁c)v=v(b+c).

Вот определение, которое мог бы получить Джевонс, если бы он когда-нибудь надумал определять функции и сумел бы последовательно развить свои взгляды до такой степени, чтобы получить средство для решения такого, сравнительно сложно, вопроса.

Blog

Два сообщения, читанные 27 февраля и 23 марта 1882г