Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная Экономика Микроэкономика
В. П. Бусыгин, Е. В. Желободько, С. Г. Коковин, А. А. Цыплаков. Микроэкономический анализ несовершенных рынков, 1999

Существование равновесия Штакельберга


Докажем теперь теорему существования равновесия в модели Штакельберга.
I Теорема 28.
j Предположим, что в модели Штакельберга выполнены
j следующие условия:
j 1) функции издержек Cj(y) дифференцируемы,
j 2) обратная функция спроса р(у) непрерывна и убывает,
j 3) существуют у3 > 0 j =1,2 такие, что р(у3) < с'3(у3) при у3
| У г
\ Тогда равновесие Штакельберга (г/i, у2) существует,
j ?
j причем 0 < г/ ж.
Доказательство.
Доказательство этой теоремы во многом повторяет доказа-тельство существования равновесия при монополии.
1) Докажем, что при любых ожиданиях относительно выпуска лидера ведомому не выгодно выбирать объем производства, превышающий объем у2, в том смысле, что П2(уъ у2) < П2{уъ у2) \/ух при у2 > у2. Рассмотрим разность прибылей:
П2(г/1, у2)-П2(уъ У2)=р(У1 + У2)У2-р(У1 + У2)У2-(с2(у2)-с2(у2)).
Эту разность можно преобразовать следующим образом:
П2(г/1, 2/г) -ЩУи 2/г) =
У2 У2
= р(У\ + 2/г) 2/2 - р(У1 + 2/г) 2/г - \р(У\ + t)dt + Jb(2/i + t) -c'2(t)]dt.
У2 У2
Поскольку p(y) убывает, то р(у1 + у2) < р(у1 + t) при t< у2 и р(у1 + t)< p(t) при у1 > 0, поэтому
П2(2/ь 2/г) -П2(г/Ь у2) <
У2
< РЫ + 2/г) 2/г - + 2/г) У2 - Р{У\ + 2/г)(2/г - л/2) + IЬ(^) - c'2(t)\dt =
У2
У2
= (р(уг + 2/2) - р(г/1 + ш)) ш + J[P(*) - < 0.
У2
Таким образом, прибыль ведомого при у2 = у2 выше, чем при выпуске любого большего количества. Тем самым, исходная задача выбора ведомого (при любом наперед заданном у1 > 0) эквивалентна задаче выбора на отрезке [0, у2]. Другими словами, отображение отклика исходной задачи совпадает с отображением отклика в задаче максимизации прибыли ведомого на отрезке [0, у2]. Обозначим множество решений модифицированной задачи при данном у1 через R^y^. Тем самым определено отображение отклика R2: Ж+ IЧ> [0, у2]. Мы доказали, что -R2(2/i) = -^2(2/1) Уу\-
По Теореме 30 из Приложения (стр. 112) для любого у множество решений R2(y) непусто и компактно, и, кроме того, отображение Д2( ) полунепрерывно сверху. (Читателю предоставляется проверить самостоятельно, что эта теорема применима в данном случае.) В силу совпадения Л2( ) и Л2( ) теми же свойствами будет обладать и Д2( ).
2) Рассмотрим теперь следующую задачу:
П(2/1, 2/г) = У\Р(У\ + 2/г) 2/i - Ci{Vi) max vuyil0. (Х) У2 e ^2(2/1)-
Докажем, что решение этой задачи существует.
Пользуясь теми же рассуждениями, что и для функции прибыли ведомого, можно показать, что при любом наперед заданном у2 > 0 прибыль лидера в точке у1 = у1 больше, чем во всех точках у1 > у 1. Таким образом, множество решений задачи (Х) не изменится, если в нее дополнительно включить ограничение у1 < у1.
Таким образом, нам требуется, чтобы существовало решение задачи максимизации прибыли лидера по ух и у2 на множестве К={{уъ у2) 12/1 е [0,2/i], 2/2 е ЩУг) <= [0, у2] \.
Из доказанных свойств отображения R2(-) следует, что множество 1Z непусто, замкнуто и ограничено. Существование решения такой задачи следует из теоремы Вейерштрасса.
3) Пусть (г/i, г/г) - некоторое решение задачи (Х). Теперь выбрав любую функцию гг(г/)), график которой проходит через точку (г/i, г/г), и такую что
''гЫеЯгЫ v2/i,
s
увидим, что выпуск г/i является решением задачи лидера П1 = У1Р(У1+Г2(у1))у1-С1(у1)maxтг0.
Действительно, этот выпуск максимизирует цели лидера на всем допустимом множестве задачи (Х), а значит - и на множестве, суженном дополнительным ограничением у2 е rliy^). Тем самым пара у\, г2(-) удовлетворяет определению равновесия Штакельберга. ж
<< Предыдушая Следующая >>
= К содержанию =
Похожие документы: "Существование равновесия Штакельберга"
  1. 14.2.1 Существование равновесия Штакельберга
    существования равновесия в модели Штакельберга. Теорема 139: Предположим, что в модели Штакельберга выполнены следующие условия: функции издержек Cj (y) дифференцируемы, обратная функция спроса p(y) непрерывна и убывает, существуют yj > 0j = 1, 2 такие, что p(yj) < cj (yj) при yj Z yj. J Тогда равновесие Штакельберга (yS, y|) существует, причем 0 ^ yS < yj. Доказательство: Доказательство этой
  2. 11.2.2. Теория Штакельберга
    существования четырех комбинаций двух типов поведения (табл. 11.3) Таблица 11.3 Возможные комбинации поведения в модели Штакельберга Дуополист 1 Дуополист 2 Тип взаимодействия 1 Лидер Последователь Стабильный 2 Последователь Лидер Стабильный 3 Последователь Последователь Модель Курно 4 Лидер Лидер Ценовая война В первых двух случаях поведение дуополистов стабильно: одна фирма - ли дер,
  3. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
    равновесия 376 позитивный 40 предельной полезности 132 производства экономический 170 рационального поведения 124 рыночной структуры 225-226 рыночный 13 экономический 18 Анализ поведения 298 Антиблаго 141 Арбитраж 72 Аренда капитального оборудования 361 фактора производства 360 Асимметричность информации 407 Б Барьеры 230 входные 273 Бедность 349, 357 Безработица 333 Безразличие 136, 142
  4. Вопросы для повторения
    существования лидерства в ценах и ценовой дискриминации в условиях олигополии7 Каким образом формируются потребительский излишек и прибыль фирмы в результате процесса ценообразования в условиях олигополии? Каким образом можно оценить эффективность рыночного обмена в условиях олигополистической взаимозависимости? В каких случаях объем производства в отрасли будет выше, в условиях равновесия
  5. Приложение
    существования и дифференцируемости функции отклика могут быть получены на основе следующей теоремы. j Теорема 31. | Рассмотрим задачу (Р) с постоянным отображением j Р(ж) = р. Предположим, что существует пара (ж, у), та- j кая что у е г(х) и у е int(fi). Предположим, кроме того, | что функция /(ж, у) дважды непрерывно дифференци- j руема и строго вогнута по у в некоторой окрестности j точки (ж,
  6. Модель олигополии с ценовым лидерством
    существования равновесия в модели ценового лидерства. (Подсказка: В качестве образца возьмите доказательство существования равновесия в мо-дели Штакельберга.) Пусть в дуопольной отрасли, в которой фирмы конкурируют в соответствии с моделью ценового лидерства, функция издержек лидера и ведомого равны с1(у1) = су1 и с2(у2) = у\ соответственно, а функция спроса равна D(p) = a - bp. Показать, что
  7. 14.5.1 Задачи
    существования равновесия в модели ценового лидерства. (Подсказка: В качестве образца возьмите доказательство существования равновесия в модели Штакельберга.) ^ 608. Пусть в дуопольной отрасли, в которой фирмы конкурируют в соответствии с моделью ценового лидерства, функция издержек лидера и ведомого равны ci(yi) = cyi и
  8. VI СОРАЗМЕРНОСТЬ МЕЖДУ ПРЕСТУПЛЕНИЯМИ И НАКАЗАНИЯМИ
    существования общественного договора, неизбежно вытекающего из потребности в умиротворении противоположных частных интересов, то нарушения установленного порядка можно классифицировать и по степени их важности. На первом месте стоят нарушения наносящие вред непосредственно обществу, а на последнем - самые незначительные нарушения прав частного лица. Между этими двумя экстремами размещаются по
  9. 7.2. Методологические подходы к задачам краткосредне- и долгосрочного прогнозирования мировых товарных рынков
    существовании международных экономических сообществ и организаций, монополисти ческих объединений и транснациональных корпораций постоянно возни кают колебательные процессы с достаточно большой амплитудой и про должительностью как следствие временного нарушения идеального рыночного равновесия. Сегодня рыночный механизм претерпел существенную трансформа цию в силу господства монополистических
  10. 8.1. Стандартная модель международной торговли
    существовании торговли двумя товарами между двумя странами. В рамках стандартной модели рассмат ривается и производство товаров с растущими издержками замещения. Простейший случай обмена товаров. В стандартной модели обмен товаров принято задавать прямой линией, что соответствует идее линей ного (пропорционального) обмена. Рисунок 8.1 иллюстрирует случай, когда некая страна, обладая количеством Ь