Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Микроэкономика
| В. П. Бусыгин, Е. В. Желободько, С. Г. Коковин, А. А. Цыплаков. Микроэкономический анализ несовершенных рынков, 1999 | |
Существование равновесия Штакельберга |
|
|
Докажем теперь теорему существования равновесия в модели Штакельберга. I Теорема 28. j Предположим, что в модели Штакельберга выполнены j следующие условия: j 1) функции издержек Cj(y) дифференцируемы, j 2) обратная функция спроса р(у) непрерывна и убывает, j 3) существуют у3 > 0 j =1,2 такие, что р(у3) < с'3(у3) при у3 | У г \ Тогда равновесие Штакельберга (г/i, у2) существует, j ? j причем 0 < г/ ж. Доказательство. Доказательство этой теоремы во многом повторяет доказа-тельство существования равновесия при монополии. 1) Докажем, что при любых ожиданиях относительно выпуска лидера ведомому не выгодно выбирать объем производства, превышающий объем у2, в том смысле, что П2(уъ у2) < П2{уъ у2) \/ух при у2 > у2. Рассмотрим разность прибылей: П2(г/1, у2)-П2(уъ У2)=р(У1 + У2)У2-р(У1 + У2)У2-(с2(у2)-с2(у2)). Эту разность можно преобразовать следующим образом: П2(г/1, 2/г) -ЩУи 2/г) = У2 У2 = р(У\ + 2/г) 2/2 - р(У1 + 2/г) 2/г - \р(У\ + t)dt + Jb(2/i + t) -c'2(t)]dt. У2 У2 Поскольку p(y) убывает, то р(у1 + у2) < р(у1 + t) при t< у2 и р(у1 + t)< p(t) при у1 > 0, поэтому П2(2/ь 2/г) -П2(г/Ь у2) < У2 < РЫ + 2/г) 2/г - + 2/г) У2 - Р{У\ + 2/г)(2/г - л/2) + IЬ(^) - c'2(t)\dt = У2 У2 = (р(уг + 2/2) - р(г/1 + ш)) ш + J[P(*) - < 0. У2 Таким образом, прибыль ведомого при у2 = у2 выше, чем при выпуске любого большего количества. Тем самым, исходная задача выбора ведомого (при любом наперед заданном у1 > 0) эквивалентна задаче выбора на отрезке [0, у2]. Другими словами, отображение отклика исходной задачи совпадает с отображением отклика в задаче максимизации прибыли ведомого на отрезке [0, у2]. Обозначим множество решений модифицированной задачи при данном у1 через R^y^. Тем самым определено отображение отклика R2: Ж+ IЧ> [0, у2]. Мы доказали, что -R2(2/i) = -^2(2/1) Уу\- По Теореме 30 из Приложения (стр. 112) для любого у множество решений R2(y) непусто и компактно, и, кроме того, отображение Д2( ) полунепрерывно сверху. (Читателю предоставляется проверить самостоятельно, что эта теорема применима в данном случае.) В силу совпадения Л2( ) и Л2( ) теми же свойствами будет обладать и Д2( ). 2) Рассмотрим теперь следующую задачу: П(2/1, 2/г) = У\Р(У\ + 2/г) 2/i - Ci{Vi) max vuyil0. (Х) У2 e ^2(2/1)- Докажем, что решение этой задачи существует. Пользуясь теми же рассуждениями, что и для функции прибыли ведомого, можно показать, что при любом наперед заданном у2 > 0 прибыль лидера в точке у1 = у1 больше, чем во всех точках у1 > у 1. Таким образом, множество решений задачи (Х) не изменится, если в нее дополнительно включить ограничение у1 < у1. Таким образом, нам требуется, чтобы существовало решение задачи максимизации прибыли лидера по ух и у2 на множестве К={{уъ у2) 12/1 е [0,2/i], 2/2 е ЩУг) <= [0, у2] \. Из доказанных свойств отображения R2(-) следует, что множество 1Z непусто, замкнуто и ограничено. Существование решения такой задачи следует из теоремы Вейерштрасса. 3) Пусть (г/i, г/г) - некоторое решение задачи (Х). Теперь выбрав любую функцию гг(г/)), график которой проходит через точку (г/i, г/г), и такую что ''гЫеЯгЫ v2/i, s увидим, что выпуск г/i является решением задачи лидера П1 = У1Р(У1+Г2(у1))у1-С1(у1)maxтг0. Действительно, этот выпуск максимизирует цели лидера на всем допустимом множестве задачи (Х), а значит - и на множестве, суженном дополнительным ограничением у2 е rliy^). Тем самым пара у\, г2(-) удовлетворяет определению равновесия Штакельберга. ж |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "Существование равновесия Штакельберга" |
|
|