Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Микроэкономика
| Бусыгин В.П, Желободько Е.В, Цыплаков А.А.. Микроэкономика. Третий уровень, 2005 | |
14.2.1 Существование равновесия Штакельберга |
|
|
Докажем теперь теорему существования равновесия в модели Штакельберга. Теорема 139: Предположим, что в модели Штакельберга выполнены следующие условия: функции издержек Cj (y) дифференцируемы, обратная функция спроса p(y) непрерывна и убывает, существуют yj > 0j = 1, 2 такие, что p(yj) < cj (yj) при yj Z yj. J Тогда равновесие Штакельберга (yS, y|) существует, причем 0 ^ yS < yj. Доказательство: Доказательство этой теоремы во многом повторяет доказательство существования равновесия при монополии. 1) Докажем, что при любых ожиданиях относительно выпуска лидера ведомому не выгодно выбирать объем производства, превышающий объем y2, в том смысле, что n2(yi,y2) < П2(yi, y/2) Vyi при y2 > y2. Рассмотрим разность прибылей: n2(yi,y2) - n2(yi,y2) = p(yi + y2)y2 - p(yi + y2)y2 - (С2Ы - C^jfe)). Эту разность можно преобразовать следующим образом: n2(yi,y2) - n2(yi,y2) = Г У2 Г У2 = p(yi + y2)y2 - p(yi + y2)y2 - p(yi + t)dt + [p(yi + t) - c2(t)]dt. У.2 У.2 Поскольку p(y) убывает, то p(yi + y2) < p(yi + t) при t < y2 и p(yi + t) ^ p(t) при yi Z 0, поэтому n2(yi,y2) - n2(yi,y2) < Г У2 < p(yi + y2)y2 - p(yi + y2)y2 - p(yi + y2)(y2 - y2) + / [p(t) - 4(t)]dt = Jy 2 Г У2 = (p(yi + y2) - p(yi + y2))y2 + / [p(t) - c2(t)]dt < 0. j У 2. Таким образом, прибыль ведомого при y2 = y2 выше, чем при выпуске любого большего количества. Тем самым, исходная задача выбора ведомого (при любом наперед заданном yi Z 0) эквивалентна задаче выбора на отрезке [0, У2]. Другими словами, отображение отклика исходной задачи совпадает с отображением отклика в задаче максимизации прибыли ведомого на отрезке [0, У2]. Обозначим множество решений модифицированной задачи при данном yi через R?2(Уi). Тем самым определено отображение отклика R2 : R+ ^ [0, У/2]. Мы доказали, что R2(yi) = R2(yi) Vyi. По Теореме ?? из Приложения (с. ??) для любого y множество решений R2(y) непусто и компактно, и, кроме того, отображение R2O полунепрерывно сверху. (Читателю предоставляется проверить самостоятельно, что эта теорема применима в данном случае.) В силу совпадения R2O и R2O) теми же свойствами будет обладать и R2O). Рассмотрим теперь следующую задачу: П1 (yi, У2) = yip(yi + y2)yi - ci(yi) ^ max (Х) У2 е R2(yi). Докажем, что решение этой задачи существует. Пользуясь теми же рассуждениями, что и для функции прибыли ведомого, можно показать, что при любом наперед заданном У2 ^ 0 прибыль лидера в точке yi = yi больше, чем во всех точках yi > yi. Таким образом, множество решений задачи (Х) не изменится, если в нее дополнительно включить ограничение yi ^ yi. Таким образом, нам требуется, чтобы существовало решение задачи максимизации прибыли лидера по yi и y2 на множестве R = {(yi, У2) I yi е [0, yi], У2 е R2(yi) с [0, У2] }. Из доказанных свойств отображения R2O следует, что множество R непусто, замкнуто и ограничено. Существование решения такой задачи следует из теоремы Вейерштрасса. Пусть (yS, y2) - некоторое решение задачи (Х). Теперь выбрав любую функцию (yi), график которой проходит через точку (yS, y2), и такую что r2(yi) е R2(yi) Vyi, увидим, что выпуск yS является решением задачи лидера П1 = yip(yi + r2(yi))yi - ci(yi) ^ max. Действительно, этот выпуск максимизирует цели лидера на всем допустимом множестве задачи (Х), а значит - и на множестве, суженном дополнительным ограничением У2 е rS(yi). Тем самым пара yS, r2(ж) удовлетворяет определению равновесия Штакельберга. ж |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "14.2.1 Существование равновесия Штакельберга" |
|
|