Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Микроэкономика
| Бусыгин В.П, Желободько Е.В, Цыплаков А.А.. Микроэкономика. Третий уровень, 2005 | |
14.2.2 Равновесие Штакельберга и равновесие Курно |
|
|
Представляется интересным сравнить объемы производства в модели Курно и в модели Штакельберга. Результат сравнения для ведомого однозначен: в модели Штакельберга он производит меньше. Покажем это. Пусть yC и yC - объемы производства в модели Курно. Лидер в модели Штакельберга в предположении однозначности отклика ведомого всегда может обеспечить себе такую же прибыль, как в модели Курно, назначив yi = yC, поэтому p(yC + УС)УС - ci(yf) < p(yS + yS)yi - ci(yS). Поскольку yC максимизирует прибыль лидера при У2 = yC, то p(ys + yC)yS - Ci(yS) < p(yC + yC)yC - Ci(yC). Если yS > 0, то из этих двух неравенств следует, что p(yS + yC) < p(yS + yS). Из убывания спроса имеем, что yC Z y2. Результат сравнения между объемами производства лидера в двух ситуациях зависит от наклона кривой отклика. В случае, если R2(') убывает (на достаточно большом интервале, который должен заведомо включать, как yC так и yS), имеем yC < yS. Если же R2(') возрастает, то, наоборот, yC Z yS. Функция Я2О убывает, например, в случае линейного спроса и постоянных предельных издержек. Пример возрастающей функции отклика построить достаточно трудно. На Рис. 14.5 показана кривая отклика, соответствующая обратной функции спроса p(y) = 1/y2 при постоянных предельных издержках. При малых объемах производства лидера она возрастает, а при больших - убывает. Для более общего случая рассмотрим теорему. Рис. 14.5. Теорема 140: Предположим, что выполнены следующие условия: обратная функция спроса, p(y), и функция издержек, C2(y), дважды дифференцируемы, обратная функция спроса имеет отрицательную производную: p'(y) < 0, Vy Z 0, p'(yi + y2) - С2(У2) < 0 при любых yi и y2, отклик R2(yi) является дифференцируемой функцией . Тогда в тех точках yi, где R2(yi) > 0, наклон функции отклика R2(yi), удовлетворяет условию -1 < R(yi), то есть суммарный выпуск R2(yi) + yi, возрастает. Дополнительное условие p'(yi + У2) + p''(yi + У2)У2 < 0 Vyi, yi является необходимым и достаточным для того, чтобы R(yi) < 0. J Доказательство: При принятых предположениях докажем, что суммарный выпуск дуополии, yi +R2(yi), возрастает по yi. Функция R2(yi) при всех yi таких, что R2(yi) > 0 удовлетворяет условию первого порядка - равенству p(yi + R2(yi)) + p'(yi + R2(yi)) ж R2(yi) = c2(R2(yi)). Дифференцируя это соотношение по y1 , получим p'(yi + Й2Ы) ж (1 + R2(yi)) + p''(yi + R2(yi))R2(yi) ж (1 + R2(yi)) + + p'(yi + R2(yi)) ж R2(yi) = c2'(R2(yi)) ж R2(yi). Отсюда (1 + R2(yi)) ж [2p'(yi + R2(yi)) + p''(yi + R2(yi))R2(yi) - c2'(R2(yi))] = = p'(yi + R2(yi)) - c2'(R2(yi)). По условию второго порядка 2p'(yi + R2(yi)) + p''(yi + R2(yi)) ж R2(yi) - c2'(R2(yi)) < 0. С другой стороны, по предположению p'(yi + R2(yi)) - c2'(R2(yi)) < 0. Это гарантирует, что 2p'(yi + R2(yi)) + p''(yi + R2(yi)) ж R2(yi) - c2'(Я2Ы) = 0 Получаем, что 1 + R' (y ) = p'(yi + R2(yi)) - c2'(R2(yi)) (v) + 2(yi) 2p'(yi + R2(yi))+ p''(yi + R2(yi)) ж R2(yi) - c2'(R2(yi)), ( ) откуда 1 + R2(yi) > 0 или R2 (У1) > -1. Докажем теперь неубывание функции отклика R2(yi). Условие (v) можно переписать в виде R2(yi) = - w p'(yi + R2(yi)) + p''(yi + Я2Ы) ж R2(yi) 2p'(yi + R2(yi)) + p''(yi + R2(yi)) ж R2(yi) - c2'(R2(yi))' В этой дроби знаменатель отрицателен, поэтому условие R2(yi) < 0 эквивалентно отрицательности числителя, что и требовалось. ж Рис. 14.6. Пользуясь полученным ранее результатом, получим, что если R2O) убывает, то yC + yC < yS + yS, а если возрастает, то yC + УС Z yS + yS. В первом случае равновесная цена в равновесии Штакельберга не превышает равновесную цену в равновесии Курно, во втором - наоборот. Иллюстрация полученных соотношений для случая убывающей кривой отклика представлена на Рис. 14.6. Из рисунка видно, что поскольку точка равновесия в модели Штакельберга лежит ниже кривой равной прибыли, проходящей через точка равновесия в модели Курно, то объем yC должен быть выше yS. Из-за убывания функции отклика объем yC оказывается ниже yS. Штрих-пунктирная линия, проходящая под углом 45 показывает расположение точек, в которых суммарный выпуск одинаков. Поскольку кривая отклика более пологая, то yC + y2 оказывается меньше yS + y2. Можно сравнить также прибыли участников в двух ситуациях. Как уже упоминалось ранее, по очевидным причинам прибыль лидера в модели Штакельберга выше. Читателю предлагается доказать самостоятельно простой факт, что прибыль ведомого в модели Штакельберга выше в случае возрастающей функции отклика, и ниже в случае убывающей функции отклика. Пример 74: Пусть обратная функция спроса линейна: p(y) = a - by, а функции издержек дуополистов имеют вид Cj (yj) = cyj (j = 1, 2). Функция отклика второго равна Д , , a - c - byi R2(yi) = . Подставив ее в прибыль лидера, получим a - c b ni = V-yi - 2y2. S a - c yS = "-Г aЧc 4b . 3 a - c y2S = Максимум достигается при Кроме того, в равновесии Суммарный выпуск равен yS + yS = 7 4b Это больше, чем выпуск в модели Курно, но меньше, чем выпуск при совершенной конкуренции, то есть имеется неоптимальность. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "14.2.2 Равновесие Штакельберга и равновесие Курно" |
|
|