Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Микроэкономика
| В. П. Бусыгин, Е. В. Желободько, С. Г. Коковин, А. А. Цыплаков. Микроэкономический анализ несовершенных рынков, 1999 | |
Равновесие Штакельберга и равновесие Курно |
|
|
Представляется интересным сравнить объемы производства в модели Курно и в модели Штакельберга. Результат сравнения для ведомого однозначен: в модели Штакельберга он производит меньше. Покажем это. Пусть уС\ и г/г - объемы производства в модели Курно. Лидер в модели Штакельберга в предположении однозначности отклика ведомого всегда может обеспечить себе такую же прибыль, как в модели Курно, назначив у1 = уС\, поэтому P(yi + 2/3) у\ - сх(у\) < р(у\ + yl)y\- c1(ysi)m Q С Поскольку г/i максимизирует прибыль лидера при г/2 = г/г, то р(у&1 + г/2) ух - сх(у\) < р(уС1 + г/2) у\ - Сх(у\). Если г/i >0, то из этих двух неравенств следует, что p(yi +yi) С S 2/2 > 2/2 Х Результат сравнения между объемами производства лидера в двух ситуациях зависит от наклона кривой отклика. В случае, если R2(-) убывает (на достаточно большом интервале, который С S должен заведомо включать, как у2 так и 3/2), имеем С S 2/1 < г/1 - Если же R2(-) возрастает, то, наоборот, С S 2/1 > 2/1 Х Функция Л2( ) убывает, например, в случае линейного спроса и постоянных предельных издержек. Пример возрастающей функции отклика построить достаточно трудно. На Рис. 61 показана кривая отклика, соответствующая обратной функции спроса р(у) = 1/у2 при постоянных предельных издержках. При малых объемах производства лидера она возрастает, а при больших - убывает. Для более общего случая рассмотрим теорему. j Теорема 29. j Предположим, что выполнены следующие условия: j 1) обратная функция спроса, р(у), и функция издержек, ! с2(у), дважды дифференцируемы, j 2) обратная функция спроса имеет отрицательную про- ; изводную: р'(у) < 0, У у > О, | 3) р\у1 + у2) - с"{у2) < 0 при любых ух и у2, \ 4) отклик R2(yi) является дифференцируемой функци- | ей. j Тогда в тех точках ух, где R2{yi) > 0, наклон функции j отклика R2(yx), удовлетворяет условию ! -1 < Щу,), j то есть суммарный выпуск Н2(у\) +Уи возрастает, j Дополнительное условие ! Р'(У1 + У2)+Р"(У1 + У2)У2 < 0 V2/i, У\ j является необходимым и достаточным для того, чтобы ! Щу,)<о- Доказательство. При принятых предположениях докажем, что суммарный выпуск дуополии, у1 + i?2(j/j), возрастает по ух. Функция К2{У\) при всех у1 таких, что R2(y\) > 0 удовлетворяет условию первого порядка - равенству p(yl + R2(yl))+p(yl + R2(yl))-R2(yl) = c'2(R2(yl)). Дифференцируя это соотношение по ух, получим Р\У, + ЩУ,) )Х(! + Щу,)) + Р"(У, + R2(y,))R2(yMi + Щу,)) + + p'(y1 + R2(y1))-R'2(y1)=c'^R2(y1))-R'2(y1). Отсюда (1 + R'2(Vl))Х [2p\Vl + R2{y1))+p"(y1 + R2(y1))R2(y1)- c'2(R2(yl))] = = p'(yl + R2(yl))-c%XR2{yl)). По условию второго порядка 2 р'Ы + р2Ш)+ р'\у, + Щу,))-Щу,) - со"ШУ, Ж 0. С другой стороны, по предположению p(y, + R2(y,))-c'i(R2(yi)) <0. Это гарантирует, что 2p'{Vl + R2(Vl)) + p"{Vl + R2(yi))-R2(yi)- c2"(R2{Vl)) Ф 0 Получаем, что i + Щу,) = = р'(ул +ЩУ,))-С"(р2щ) 2p'(yl + R2(yl))+p"(yl + R2(yl))-R2(yl)-c2"(R2(yl)Y откуда 1 + R'2{yi) >0 или R'2{yi) >-1 . Докажем теперь неубывание функции отклика R^y^. Условие (*) можно переписать в виде 2р'(у, + Щу,))+ р'\у, + Ш))-Ш)~ ^"(Щу,))Х В этой дроби знаменатель отрицателен, поэтому условие R'2(yi) <0 эквивалентно отрицательности числителя, что и требовалось. ж Пользуясь полученным ранее результатом, получим, что если Д9( ) убывает, то С . С Д S . S г/i + г/2 ^ г/i + г/2, а если возрастает, то С , С ^ S . S г/i + г/2 > г/i + г/г. В первом случае равновесная цена в равновесии Штакельберга не превышает равновесную цену в равновесии Курно, во втором - наоборот. Иллюстрация полученных соотношений для случая убывающей кривой отклика представлена на Рис. 62. Из рисунка видно, что поскольку точка равновесия в модели Штакельберга лежит ниже кривой равной прибыли, проходящей через точка равновесия в модели Курно, то объем г/2 должен быть выше г/г. Из-за убывания функции отклика объем уС\ оказывается ниже у\. Штрих-пунктирная линия, проходящая под углом 45 показывает расположение точек, в которых суммарный выпуск одинаков. Поскольку кривая отклика более пологая, то уС\ + г/г оказывается S S меньше у\ + г/г. Можно сравнить также прибыли участников в двух ситуациях. Как уже упоминалось ранее, по очевидным причинам прибыль лидера в модели Штакельберга выше. Читателю предлагается доказать самостоятельно простой факт, что прибыль ведомого в модели Штакельберга выше в случае возрастающей функции отклика, и ниже в случае убывающей функции отклика.? Пример 16. Пусть обратная функция спроса линейна: р(у) = а - by, а функции издержек дуополистов имеют вид с ж(?/ж) = cy^j = 1,2). Функция отклика второго равна г, , * а-с-by. Подставив ее в прибыль лидера, получим а-с Ъ , , 1= 9 Максимум достигается при s а-с г/i =ЧХ Кроме того, в равновесии s а-с г/2-Ч Суммарный выпуск равен s , s з а-с г/i +г/2 =j~b~ Это больше, чем выпуск в модели Курно, но меньше, чем выпуск при совершенной конкуренции, то есть имеется неоптимальность. Ф |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "Равновесие Штакельберга и равновесие Курно" |
|
|