| Бусыгин В.П, Желободько Е.В, Цыплаков А.А.. Микроэкономика. Третий уровень, 2005 |
5.4.2 Дифференциальная характеристика границы Парето |
Переформулируя определение, (x, y) является Парето-оптимумом, если полезность ни одного из потребителей нельзя увеличить, не уменьшая полезность остальных потребителей (при том ограничении, что рассматриваются только допустимые состояния). Такая формулировка подсказывает следующую характеристику Парето-оптимальных состояний: для того, чтобы состояние (x, y) было Парето-оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы оно являлось решением следующих оптимизационных задач для всех io ? {1,..., m}:
Ui0 (xi0) ^ max (x,y)
Ui(xi)^u = Ui(xi), Vi ? I, i = io,
xi ? Xi, Vi ? I, (Pi0)
gj (yj)^0, Vj ? J,
E(xifc - Wife) = E j, Vk ? K.
iei jeJ
Рассмотрим одну из таких задач для произвольного потребителя io ив предположении, что состояние экономики (x, y) внутреннее в том смысле, что xi G int Xi Vi G I, применим к ней теорему КунаЧ Таккера (см. Приложение), предполагая, что функции полезности и производственные функции дифференцируемы. Соответствующий лагранжиан имеет вид (с точностью до постоянных слагаемых)
L = J2 Aiui(xi) + X Pjgjfrj) + X Gkyjfc - X(xik - Wifc)).
ie/ jeJ keK jeJ ie/
По теореме Джона найдутся множители Лагранжа Ai Z 0 (i G I), Pj Z 0 (j G J) и Gk (k G K), такие что в точке (x, y) производные функции Лагранжа по всем Xik и yjk равны нулю:
dL dui(xi)
= Ai Ч Gk = 0, Vi, k,
dxik dxik
dL dgj (y,)
= Pj^Ч + gk = 0, Vj, k.
dyjk j dyjk
Предположим, что в рассматриваемом состоянии (x, y) градиенты всех функций полезности и производственных функций не равны нулю. Другими словами мы предполагаем, что для каждого потребителя i найдется благо k, такое что dui(xi)/dxik = 0, и что для каждого производителя j найдется благо k, такое что dgj (yj)/dyjk = 0. Это предположение гарантирует выполнение условий регулярности теоремы Куна - Таккера.
Для проверки выполнения условий регулярности нужно убедиться, что градиенты всех активных ограничений (т. е. выполняющихся в рассматриваемом Парето-оптимальном состоянии как равенства) линейно независимы. Для этого достаточно доказать, что градиенты всех, а не только активных, ограничений линейно независимы. Это проводится проверкой ранга матрицы градиентов ограничений: записав структуру матрицы, следует убедиться что если линейная комбинация ее строк равна нулю, то все коэффициенты линейной комбинации нулевые. Мы здесь опускаем эту проверку.
Теорема КунаЧ Таккера утверждает, что можно выбрать множитель Лагранжа Ai0 равным 1 .
Из Ai0 = 1, и из того, что существует благо ko, такое что dui0 (xi0)/dXi0k0 = 0, следует что Gk0 > 0. Следовательно, как несложно проверить, из условий первого порядка следует, что все Ai > 0 (i G I) и pj > 0 (j G J).
Отсюда, исключая коэффициенты Ai и pj, получим дифференциальную характеристику внутренних (xi G int Xi Vi G I) Парето-оптимальных состояний:
dui(x i)/dxik = dui(xi )/dXik0 Gk0'
dgj(y j )/dyjk = dgj(yj)/dyjk0 Gk0.
Она означает совпадение предельных норм замещения (трансформации) любых двух товаров k, ko (Gk0 > 0) для всех экономических субъектов. Так на Рис. 5.3 кривые безразличия двух потребителей касаются друг друга.
|
| << Предыдушая |
Следующая >> |
| = К содержанию = |
Похожие документы: "5.4.2 Дифференциальная характеристика границы Парето" |
- 8.3 Свойства равновесий Эрроу - Дебре и Парето-оптимальных состояний в экономике с риском с функциями полезности Неймана - Моргенштерна
дифференциальная характеристика имеет вид: dUi/dxiR = 0,25xig = PR dUi/dxis 0,75XIR ps, dU2/dx2R = 0,25x2,s = PR dU2/dx2s 0,75X2R ps. Равновесие удовлетворяет соотношениям для Парето-оптимальных состояний, то есть, как и предсказывает Теорема 95, равновесие лежит на границе Парето. Таким образом, в равновесии xis = XIR . Учитывая это соотношение, получим из дифференциальной характеристики
- Сговор
дифференциальная характеристика означает, что кривые равной прибыли касаются друг друга (см. Рис. 63). Дифференциальную характеристику можно переписать в виде: p'(Y)ixtyt + Хк [р(У) - с^,)] = 0 Vfc. !=1 Поскольку Xj= 1, то из убывания функции спроса следует, что первое слагаемое не равно нулю, и что все множители Лагранжа положительны. Пользуясь этими соотношениями, докажем, что сговор
- 5.5 Связь равновесия и Парето-оптимума. Теоремы благосостояния
дифференциальные характеристики оптимума Парето и равновесия, можно обнаружить, что они совпадают. Совпадение дифференциальных характеристик позволяет заключить, что при определенных условиях совпадают и сами эти состояния. Характеристика этих условий составляет содержание так называемых теорем благосостояния10 (или, как их еще называют, фундаментальные теоремы экономики благосостояния). Первая
- 5.5.1 Задачи
дифференциальных характеристик Парето- оптимальных и равновесных состояний. Какие дополнительные предположения о свойствах функций полезности (помимо дифференцируемости) необходимо сделать? ^ 303. Первая теорема благосостояния (о Парето-оптимальности равновесий) доказывается от противного: предполагаем, что существует альтернативное к равновесному состояние (x, y), более желательный для
- 10.9 Слияние и торг
дифференциальную характеристику решения задачи максимизации суммарной прибыли: Pi 1 d/2/dyi P2 1 d/i/dy2 - = Ч и - = Ч . РЗ d/i/да! д//да2 рз д/2/да2 д/1/да1 Учитывая дифференциальную характеристику решения задачи потребителя, du/dx1 р1 du/dx2 р2 du/dx3 р3 du/dx3 р3' убеждаемся, что характеристика равновесия при слиянии фирм совпадает с характеристикой Парето-оптимальных состояний. Д У нас есть
- 14.3.2 Сговор
дифференциальная характеристика означает, что кривые равной прибыли касаются друг друга (см. Рис. 14.8). Дифференциальную характеристику можно переписать в виде: n p'(F) ж ? АгУг + Afc[p(F) - ck(yfc)] = 0 Vfc. i=1 Поскольку Aj = 1, то из убывания функции спроса следует, что первое слагаемое не равно нулю, и что все множители Лагранжа положительны. Пользуясь этими соотношениями, докажем, что
- Экзамен по микроэкономике для студентов 5 курса
дифференциальные уравнения, порождаемые тождеством Роя, не позволяют однозначно восстановить непрямую функцию полезности: если эти уравнения имеют хотя бы одно решение, то решений бесконечно много. Чтобы решение было единственным, необходимо наложить дополнительные ограничения на непрямую функцию полезности. В простом случае, когда известно, что восстанавливаемые предпочтения могут быть
- ГЛОССАРИЙ
дифференциальная - фиксированная избыточная прибыль, возникающая в результате применения более высокой естественной производительной силы, а не капитала. монопольная - дополнительный доход, который возникает при продаже товаров по монопольным ценам. экономическая - разница между платой за услуги ресурса по сравнению с альтернативной стоимостью предложения ресурса, предложение которого
- СЛОВАРЬ-СПРАВОЧНИК
границы фирмы и отрасли совпадают). Дискриминирующая м. - монополия, продающая товар различным покупателям по различным ценам, в зависимости от их эластичности спроса, или одному и тому же покупателю по различной цене, в зависимости от объема покупки, причем разница в цене как в первом, так и во втором случае не связана с разницей в издержках. К ценовой дискриминации также относится ситуация,
- глоссарий
характеристик неоднородного блага, на каждую единицу которого установлена единая цена. Издержки агентских отношений (agency costs) - издержки, которые складываются из издержек контроля со стороны принципала, издержек агента, связанных с добровольным принятием им более жестких условий, например, издержек по внесению залога, а также остаточных потерь, т.е. потерь принципала от решений агента,
|
Экономика