Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Микроэкономика
| Бусыгин В.П, Желободько Е.В, Цыплаков А.А.. Микроэкономика. Третий уровень, 2005 | |
8.3 Свойства равновесий Эрроу - Дебре и Парето-оптимальных состояний в экономике с риском с функциями полезности Неймана - Моргенштерна |
|
|
Мы рассмотрим в данном параграфе, какие черты специфический вид функции полезности НейманаЧ Моргенштерна (линейность по вероятностям и постоянство элементарных функций полезности по состояниям мира) накладывают на равновесия и Парето- оптимальные состояния. Пример 37: Рассмотрим экономику, в которой есть одно благо (деньги), два потребителя, и два состояния мира: R (дождь), и S (солнечная погода). Потребители обладают начальными запасами ^i = (1, 3), ^2 = (3,1) контингентных благ. Т. е., первый потребитель, если обмен не происходит, может рассчитывать на 1 при дожде и на 3 при солнце, а второй - наоборот. Пусть оба считают, что вероятности состояний R и S равны рд = 0,25 и ps = 0,75 соответственно, и имеют одинаковые элементарные функции полезности Uj(x) = ln(x). Тогда функции полезности потребителей имеют вид: Ui = 0,25 ln(xiR) + 0,75 ln(xiS), i = 1, 2. Описанная экономика представляет собой типичный пример лящика Эджворта, только интерпретация переменных специфическая. Здесь речь идет не об обмене обычными (лфизическими) благами, а об обмене рисками. Дифференциальная характеристика Парето-оптимума имеет вид dUi/dxiR 0,25xiS dU2/dx2R 0,25x2s dUi/dxiS 0,75xiR dU2/dx2s 0,75x2R' откуда В Парето-оптимуме также должны выполняться балансы: xiR + XiS = 4, X2R + X2S = 4. Отсюда получаем следующее уравнение границы Парето в координатах (xiR, Xis): XIS(4 - XIR) = XIR(4 - XIS) или XIS = XIR. Следовательно, граница Парето совпадает с диагональю ящика Эджворта. Найдем теперь равновесие. Его дифференциальная характеристика имеет вид: dUi/dxiR = 0,25xig = PR dUi/dxis 0,75XIR ps, dU2/dx2R = 0,25x2,s = PR dU2/dx2s 0,75X2R ps. Равновесие удовлетворяет соотношениям для Парето-оптимальных состояний, то есть, как и предсказывает Теорема 95, равновесие лежит на границе Парето. Таким образом, в равновесии xis = XIR . Учитывая это соотношение, получим из дифференциальной характеристики равновесия, что отношение цен в двух состояниях мира равно PR = 0,25 = 1 Ps 0,75 3. Таким образом, можно выбрать рд = 1, ps = 3. Поскольку предпочтения потребителей монотонны, то бюджетные ограничения в равновесии выходят на равенство. Для 1-го потребителя PRXIR + psxis = PR + ps ж 3, т. е. x1R + 3x1S = 1 + 3 ж 3 = 10. Д Поскольку x1s = x1R, то x1s = x1R = 2,5. Учитывая балансы, = = 1,5. А X1S X2R X2S H Рис. 8.1. Иллюстрация к Примеру 37 В приведенном примере в любом Парето-оптимальном состоянии (а значит, и в равновесии) потребление обоих потребителей не зависит от состояния мира. Другая его примечательная особенность состоит в том, что отношение цен для двух состояний мира оказалось пропорциональным отношению вероятностей этих состояний. Оказывается, эти закономерности верны и в более общих случаях, когда, как и в данном примере, суммарные запасы не зависят от состояний мира. Покажем это. Определение 63: Будем говорить, что в экономике ЭрроуЧ Дебре отсутствует системный риск, если Теорема 96: Пусть в экономике ЭрроуЧ Дебре системный риск отсутствует, предпочтения потребителей характеризуются функциями полезности НейманаЧ Моргенштерна с одинаковыми оценками вероятностей состояний мира и строго вогнутыми элементарными функциями полезности, заданными на выпуклых множествах допустимых наборов Xj. Тогда в любом Парето- оптимальном состоянии экономики X потребление каждого потребителя не зависит от состояния мира (т. е. отсутствует индивидуальный риск): J = Xikt, Vi ? /, Vk ? K, Vs, t ? S. Доказательство: Пусть в равновесии для какого-либо потребителя j данное свойство не выполнено, например, = oj-fct. Тогда допустимое состояние экономики x*, такое что является Парето-улучшением для состояния X, что противоречит Парето-оптимальности X. Проверим, что состояние x* является допустимым. x*ks = Ptxkt = P^ xikt = P^ = iei iei tes tes iei tes iei iei где в последнем равенстве мы воспользовались тем, что ^^ Wifct не зависит от состояния мира и сумма вероятностей состояний мира равна 1. Проверим теперь, что x* является Парето-улучшением. Заметим, что для любого потребителя x* является безрисковым набором, поэтому Ui(x**) = J2 Psui(x*s) = ^ ? Ps = ui(x*s) ses ses Для произвольного потребителя i по определению x*fcs и неравенству Йенсена Ui(x*) = Ui(x*s) = Ui I ? Ptxit I Z ? PsUi(xis) = Ui(xi). tes ses Для потребителя j неравенство здесь строгое. ж Теорема 97: Пусть в экономике ЭрроуЧ Дебре системный риск отсутствует, и предпочтения потребителей характеризуются функциями полезности НейманаЧ Моргенштерна с одинаковыми оценками вероятностей состояний мира и возрастающими строго вогнутыми элементарными функциями полезности. Тогда в равновесии ЭрроуЧ Дебре (p, x) выполнено. (i) Потребление каждого потребителя не зависит от состояния мира: xiks = xikt, Vi ? I, Vk ? K, Vs, t ? . (ii) Если, дополнительно, в равновесии потребительский набор хотя бы одного потребителя является внутренним , элементарные функции полезности дифференцируемы, то отношение цен на одно и то же лфизическое благо в двух разных состояниях мира равно отношению вероятностей этих состояний: = Ps, Vk ? K, Vs, t ? S. , Pkt Pt -I Доказательство: (i) Отсутствие индивидуального риска (xis = xit, Vs,t ? S) следует из первой теоремы благосостояния и Теоремы 96. (ii) Для потребителя i, набор которого является внутренним, выполнена дифференциальная характеристика (xis) = , Vk ? K, Vs, t ? S, Ptuik (xit) Pkt Как только что доказано, в равновесии xis = xit, откуда и следует требуемое соотношение. ж Если в экономике есть системный риск, то приведенные свойства не выполняются. Однако, равновесия и в этом случае обладают некоторыми общими свойствами. В частности, если благо одно, состояний мира два и потребителя два, то граница Парето проходит в промежутке между двумя биссектрисами соответствующего ящика Эджворта (который в этом случае будет неквадратным), т. е. потребление в относительно лскудном состоянии мира должно быть относительно низким. То же самое верно и для равновесия, которое по первой теореме благосостояния должно лежать на границе Парето. Кроме того, цена для более лскудного состояния относительно выше. Действительно, в равновесии выполняется РдЦ (Хгд) _ рд _ 1 2 Ps Ц (XiS) PS ' ' ' Если приравнять друг к другу предельные нормы замещения двух потребителей, учитывая балансы, то вероятности сократятся: u'i(xifi) _ Ц^ад - Ж1д) ui(Xis) U2(WeS - Xis) ' Пусть WeR < WeS . Докажем, что XiR < Xis. Если бы было выполнено XiR ^ Xis, то U'i(XiR) ^ ui(Xis), поскольку предельная полезность для рискофоба - убывающая функция. Отсюда следует, что U2)(WER - XIR) ^ Ц,(WES - Xis)' и что WeR - XiR ^ WeS - Xis. Получили противоречие. Таким образом, XiR < Xis. Аналогично доказывается, что ж2д < X2S . Доказанное верно и для границы Парето, поскольку дифференциальные характеристики равновесий и Парето-оптимальных состояний совпадают. Кроме того, из XiR < Xis и дифференциальной характеристики решения задачи потребителя следует, что Рд < PRui(XiR) _ рд PS PS ui(XiS) PS' Рис. 8.2. Парето-граница и равновесие в условиях системного риска Рассмотрим теперь на примере свойства равновесия в случае, когда один из потребителей нейтрален к риску. Пример 38: Пусть функции полезности потребителей имеют вид: Ui(xi) _ PRXiR + Psxis' U2(x2) _ Рд 1п(Ж2д) + Ps ln(x2s). Первый из потребителей здесь нейтрален к риску, а второй - рискофоб. Дифференциальная характеристика границы Парето имеет следующий вид: PR = PRx2s Ps Psx2R , откуда x2s = x2R . Это соотношение выполнено только на внутренней части границы Парето. Оно означает, что соответствующая часть границы является биссектрисой положительного ортанта системы координат 2-го потребителя. Это же свойство должно выполняться и для любого внутреннего равновесия. Содержательно это означает, что нейтральный к риску 1-й потребитель полностью застрахует 2-го потребителя-рискофоба. В предположении о допустимости неотрицательных (для второго потребителя - положительных) количеств благ, граница Парето лзагибается в месте пересечения с одной из осей координат 1-го потребителя. Д Рис. 8.3. Парето-граница в случае, когда первый потребитель нейтрален к риску Гипотезы Pis разных участников i торговли о вероятностях состояний мира s ? S не обязаны совпадать. Это не мешает торговле, а иногда и создает условия для нее. Пример этого получим, изменив параметры экономики, рассмотренной в Примере 37. Пример 39 ((Пари)): Пусть функции полезности потребителей имеют вид: Ui(xi) = 0,25 ln(xiR) + 0,75 ln(xis), U2 (x2) = 0,75ln(x2R) +0,25ln(x2s). Первый потребитель считает второе событие в три раза вероятнее первого; второй - наоборот. Начальные запасы одинаковые для обоих: ^ = (2, 2). Равновесие в этой модели единственно, равновесные цены, соответствующие разным состояниям природы, совпадают между собой: PR = Ps. Равновесные распределения: XIR = x2s = 1; xis = X2R = 3. Данный пример можно интерпретировать в том смысле, что потребители, имея разные представления о вероятностях состояний мира, заключают между собой пари. Несмотря на то, что отсутствует риск с точки зрения начальных запасов, обмен будет происходить (равновесие не совпадает с точкой начальных запасов), в результате чего в равновесии потребители сталкиваются с индивидуальным риском. Отношение цен блага в двух состояниях мира будет лежать в промежутке между отноше-ниями вероятностей: 0,25 1 0,75 0,75 < 1 < 0,25, т. е. PiR < Рд < P2R Pis PS P2S' Уравнение субъективной границы Парето здесь будет иметь вид 9XiR xiS = . 1 +2XIR Таким образом, субъективная Парето-граница (ее внутренняя часть) проходит выше диагонали-биссектрисы. В этой модели условием (субъективно) взаимовыгодной торговой сделки является различие в оценках вероятностей реализации различных состояний мира. В то же время, поскольку первоначальное состояние вне зависимости от истинных вероятностей состояний мира (объективно) Парето-оптимально (так как нет системного риска, и начальные запасы лежат на диагонали ящика Эджворта), этот обмен ведет к ухудшению реального благосостояния по крайней мере одного потребителя. Таким образом, на этом примере очевидно различие между лсубъективным и лобъективным определениями границы Парето. Д |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "8.3 Свойства равновесий Эрроу - Дебре и Парето-оптимальных состояний в экономике с риском с функциями полезности Неймана - Моргенштерна" |
|
|