Теорема 184 ((теорема Минковского)):
Пусть имеются непустое замкнутое выпуклое множество C _ Rn и точка x 2 Rn , не принад-
лежащая C. Тогда найдется вектор a 2 Rn , a 6= 0, и два числа b1, b2 2 R, b1 > b2 , такие что
выполнены неравенства:
Xn
i=1
aixi > b1
и
Xn
i=1
aiyi 6 b2 8y 2 C. Теорема 185:
Пусть имеются два непустых выпуклых множества C1,C2 _ Rn не имеющие общих точек.
Тогда найдется вектор a 2 Rn , a 6= 0, и число b 2 R, такие что выполнены неравенства:
Xn
i=1
aixi > b 8x 2 C1.
и
Xn
i=1
aiyi 6 b 8y 2 C2.
|
- 13.3. ЧЕЛОВЕЧЕСКИЙ КАПИТАЛ
теоремой отделимости, потому что он показывает, как существование рынков позволяет человеку отделить решения о производстве от решений о потреблении. Кроме того, вспомним, что пересечение бюджетной прямой, проходящей через точку, характеризующую фонд доходов, с горизонтальной осью показывает сегодняшнюю ценность доходов в модели жизненного цикла индивида. Следовательно, процесс нахождения самой
- 4.3 Восстановление технологического множества
теореме отделимости для непустого выпуклого замкнутого множества Y и точки y, не принадлежащей этому множеству, существует вектор коэффициентов p, не равный нулю, и число q, такие что Р У > q ^ Р У Vy e Y. Покажем, что p может быть вектором цен. Для этого нужно, чтобы он не имел нулевых или отрицательных компонент. Предположим, что pi < 0. Рассмотрим некоторую точку y' e Y и луч у' - Лei при Л ^
- 5.4.1 Характеризация границы Парето через задачу максимизации взвешенной суммы полезностей
теореме отделимости существует разделяющая эти два множества гиперплоскость, т. е. существуют вектор a ? RN, a = 0 и число b, такие что av ^ b при v ? U- и av ^ b при v ? u(x) + R++. Покажем, что a ^ 0. Предположим, что существует потребитель i, для которого ai < 0. Тогда если v ? u(x) + R++, то v + tei ? u(x) + R++, где t - положительное число, ei - i-й орт. Мы всегда можем подобрать
- 5.5 Связь равновесия и Парето-оптимума. Теоремы благосостояния
теорем благосостояния10 (или, как их еще называют, фундаментальные теоремы экономики благосостояния). Первая теорема благосостояния утверждает, что равновесие Парето-оптимально. Вторая теорема благосостояния утверждает, что на основе Парето-оптимума можно построить равновесие. Для доказательства первой теоремы благосостояния нам потребуется определение локальной ненасыщаемости предпочтений .
- 1.2.Основные положения экономики благосостояния
теорема благосостояния) Вальрасовское равновесие (У, у, р) всегда принадлежит слабой границе Парето (х, у) eWP. Вальрасовское равновесие (У, у, р) при условии локальной ненасыщаемости предпочтений всегда принадлежит сильной границе Парето: (У, у) е V. Доказательство: Эта часть теоремы доказывается по аналогии со 2-й частью и оставляется в качестве упражнения. Предположим, что (У, у) Й V. Тогда
- 1.1.Свойства однородных функций
теорема Минковского) Теорема Юнга Пусть имеются непустое замкнутое выпуклое множество Сс! и точка же I" не принадлежащая С. Тогда найдется вектор а е I", а Ф 0, и два различных числа b i, b2 е I, b1 > b2, такие что выполнены неравенства: " bi i= 1 и Eat yi < b2 Vy е С. i=i Теорема 7. Пусть имеются два непустых выпуклых множества С1, С2 с I не имеющие об щих точек. Тогда найдется вектор
- 1.2.2 Теорема направленности
теорема направленности обеспечивает существование такого (нестандартного) Ь, который представляет собой "предел" точек qA как только A "приближается" к dom( r) . С целью иллюстрации практической полезности теоремы направленности, мы докажем ниже нестандартную теорему отделимости, которая утверждает, что любые два выпуклых дизьюнктных подмноже-ства некоторого векторного пространства могут быть
- 2.1.2 Нестандартная характеристика оптимальности по Парето
теоремы 2.1.1, прежде всего отметим возможность получения, как следствия, характеризации оптимальных по Парето состояний экономики в терминах стандартных линейных функционалов. Последнее возможно при дополнительных модельных предположениях. Действительно, с целью перейти к стандартным векторам индивидуальных цен будем считать, что норма вектора п = (ni,..., пп) равна 1 (при необходимости всегда
- 3.C.5 Задачи
теорему отделимости (см. доказательство утверждения о восстановлении технологического множества по функции прибыли в Теореме 54 на с. 149). Множество L++(x) = { y | y У x } можно отделить от точки x. Поскольку предпочтения строго монотонны, то нормаль p к отделяющей гиперплоскости - вектор с положительными коэффициентами. Тогда p - решение задачи (9). ^ 171. Пусть u(x) - функция полезности.
- НЕЙРОННО-СЕТЕВАЯ МОДЕЛЬ
теорему о существовании отображения. Эта теорема утверждает, что любая непрерывная функция может быть реализована трехслойной нейронной сетью, имеющей во входном слое т (в нашем случае 13) элементов, промасштабированных на [0,1], (2т -И) элементов-процессоров в единственном скрытом слое и м элементов в выходном слое. Таким образом, гарантируется, что иерархическая многослойная нейронная сеть
|
Экономика