Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Микроэкономика
| В. П. Бусыгин, Е. В. Желободько, А. А. Цыплаков. Лекции по микроэкономической теории, 1998 | |
1.1.Свойства однородных функций |
|
|
Напомним, что функция ф (а): К ^ К называется однородной степени а, если для любого положительного числа t выполнено ф (tA-) = ^ф (У). Теорема 1. Дифференцируемая функция ф (.) является однородной степени а тогда и только тогда, когда выполняется тождество (формула Эйлера) Е ^df=аф (у). Теорема 2. Если дифференцируемая функция ф (У) однородна степени а, то ее Эф(А) производная v i однородна степени а - 1. Теоремы о неподвижной точке Теоремы отделимости Теорема 6. (теорема Минковского) Теорема Юнга Пусть имеются непустое замкнутое выпуклое множество Сс! и точка же I" не принадлежащая С. Тогда найдется вектор а е I", а Ф 0, и два различных числа b i, b2 е I, b1 > b2, такие что выполнены неравенства: " bi i= 1 и Eat yi < b2 Vy е С. i=i Теорема 7. Пусть имеются два непустых выпуклых множества С1, С2 с I не имеющие об щих точек. Тогда найдется вектор а е I", а Ф 0, и число b е I, такие что выполнены неравенства: и Ещ xi > b Vx е С1. i=i " Eat yi < b Vy е Съ i= 1 Теоремы Куна-Таккера Пусть имеется задача максимизации с ограничениями ф(х) ^ max V/*) > 0 j = 1, ..., m (*) ж е I" Функцией Лагранжа (лагранжианом) этой задачи называют следующую функцию: L(x, X) = ф(х) < E, X V,(x), где (j = 1, ..., m) - множители Лагранжа. Говорят, что задача (*) удовлетворяет условию Слейтера, если существует точка x е I", такая что V/(x) > 0 j = 1, ..., m. Пусть функции ф(у) и %(А) (j = 1, ..., т) являются вогнутыми и дифференцируемыми и задача (*) удовлетворяет условию Слейтера. Тогда допустимая точка задачи (*) х является оптимальной тогда и только тогда, существует вектор множителей Лагранжа Хе КГ, такой что выполнены следующие условия Куна-Таккера (условия дополняющей нежесткости): dL(A, X) эА-2 ЭА А = dL(A, X) ЭА dL(A, X) эх X = . 4. Теорема об огибающей В микроэкономическом анализе широко используется класс утверждений (называемых теоремами об огибающей) следующего типа: Рассмотрим класс задач, зависящих от параметра а. ф(х1, ..., хД, а) ^ max у/хь ...,хД, а) = , j = 1, ..., т. (**) Теорема 10. Пусть у(а) - решение задачи (**), Х(а) - множители Лагранжа, соответствующие решению, и /(а) = ф(у(а), а). Предположим, что в точке ао выполнены следующие свойства: функции ф(.) и вогнуты и дифференцируемы, решение задачи существует и единственно и функция А(.) дифференцируема, Тогда выполняется соотношение d/ Эф ^ Эу,- 1а(ао) = Эа (А(ао), ао) < Ъ X/ао) ^а (А(ао), ао). Теоремы о непрерывности решений задачи оптимизации Теорема 11. Пусть А (р) - множество решений задачи м(у)^тахж Р А < в(р), А е X, где ре КГ, ХсК, Х-замкнутое, выпуклое и ограниченное множество и 0еХ Функция и(.,.) непрерывна и строго квазивогнута на X. Если функция в(р) непрерывна и положительна при р = /А, , то функция А (р) непрерывно в окрестности точки р. Все эти теоремы являются вариантами известного утверждения Бержа: Теорема 15. (Многозначное) отображение, которое ставит в соответствие параметру X множество точек, которые являются решениями следующей экстремальной задачи: u(x, X)^maxX x е ДХ) является полунепрерывным сверху в точке X, если отображение X(X), и функция u(x, X) непрерывны в окрестности этой точки. Напомним, что непрерывность многозначного отображения является следующим обобщением непрерывности функции: отображение X(X) является полунепрерывным сверху в точке X, для всякого е>0 существует 8>0 такое, что е-окрестность множества X(X) содержит множества X(X) для всех X из 8-окрестности X; отображение X(X) является полунепрерывным снизу в точке X, для всякого е>0 существует 8>0 такое, что для всех X из 8-окрестности X е-окрестность множеств X(X) содержит X(X). Отображение называется непрерывным, если оно непрерывно сверху и снизу одновременно. Заметим, что поскольку постоянное отображение непрерывно, непрерывность (полунепрепрерывность сверху) функции (отображения) предложения гарантируется при существовании решения задачи потребителя (поскольку функция прибыли непрерывна как функция цен). |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "1.1.Свойства однородных функций" |
|
|