Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная Экономика Микроэкономика
В. П. Бусыгин, Е. В. Желободько, А. А. Цыплаков. Лекции по микроэкономической теории, 1998

1.1.Свойства однородных функций


Напомним, что функция ф (а): К ^ К называется однородной степени а, если для любого положительного числа t выполнено
ф (tA-) = ^ф (У).
Теорема 1. Дифференцируемая функция ф (.) является однородной степени а тогда и только тогда, когда выполняется тождество (формула Эйлера)
Е ^df=аф (у).
Теорема 2. Если дифференцируемая функция ф (У) однородна степени а, то ее Эф(А)
производная v i однородна степени а - 1.
Теоремы о неподвижной точке

Теоремы отделимости
Теорема 6. (теорема Минковского)
Теорема Юнга

Пусть имеются непустое замкнутое выпуклое множество Сс! и точка же I" не принадлежащая С. Тогда найдется вектор а е I", а Ф 0, и два различных числа b i, b2
е I, b1 > b2, такие что выполнены неравенства:
"
bi
i= 1
и
Eat yi < b2 Vy е С.
i=i Теорема 7. Пусть имеются два непустых выпуклых множества С1, С2 с I не имеющие об щих точек. Тогда найдется вектор а е I", а Ф 0, и число b е I, такие что выполнены неравенства: и Ещ xi > b Vx е С1.
i=i "
Eat yi < b Vy е Съ
i= 1 Теоремы Куна-Таккера
Пусть имеется задача максимизации с ограничениями ф(х) ^ max
V/*) > 0 j = 1, ..., m (*)
ж е I"
Функцией Лагранжа (лагранжианом) этой задачи называют следующую функцию:
L(x, X) = ф(х) < E, X V,(x), где (j = 1, ..., m) - множители Лагранжа.
Говорят, что задача (*) удовлетворяет условию Слейтера, если существует точка x е I", такая что
V/(x) > 0 j = 1, ..., m.

Пусть функции ф(у) и %(А) (j = 1, ..., т) являются вогнутыми и дифференцируемыми и задача (*) удовлетворяет условию Слейтера. Тогда допустимая точка задачи (*) х является оптимальной тогда и только тогда, существует вектор множителей Лагранжа Хе КГ, такой что выполнены следующие условия Куна-Таккера (условия дополняющей нежесткости):
dL(A, X)
эА-2 ЭА А =
dL(A, X)
ЭА dL(A, X)
эх X = . 4. Теорема об огибающей
В микроэкономическом анализе широко используется класс утверждений (называемых теоремами об огибающей) следующего типа: Рассмотрим класс задач, зависящих от параметра а. ф(х1, ..., хД, а) ^ max
у/хь ...,хД, а) = , j = 1, ..., т. (**)
Теорема 10.
Пусть у(а) - решение задачи (**), Х(а) - множители Лагранжа, соответствующие решению, и /(а) = ф(у(а), а).
Предположим, что в точке ао выполнены следующие свойства:
функции ф(.) и вогнуты и дифференцируемы,
решение задачи существует и единственно и функция А(.) дифференцируема, Тогда выполняется соотношение
d/ Эф ^ Эу,-
1а(ао) = Эа (А(ао), ао) < Ъ X/ао) ^а (А(ао), ао).
Теоремы о непрерывности решений задачи оптимизации
Теорема 11.
Пусть А (р) - множество решений задачи м(у)^тахж
Р А < в(р), А е X,
где ре КГ, ХсК, Х-замкнутое, выпуклое и ограниченное множество и 0еХ Функция и(.,.) непрерывна и строго квазивогнута на X.
Если функция в(р) непрерывна и положительна при р = /А, , то функция А (р) непрерывно в окрестности точки р.

Все эти теоремы являются вариантами известного утверждения Бержа:
Теорема 15.
(Многозначное) отображение, которое ставит в соответствие параметру X множество точек, которые являются решениями следующей экстремальной задачи: u(x, X)^maxX x е ДХ)
является полунепрерывным сверху в точке X, если отображение X(X), и функция u(x, X) непрерывны в окрестности этой точки.
Напомним, что непрерывность многозначного отображения является следующим обобщением непрерывности функции: отображение X(X) является полунепрерывным сверху в точке X, для всякого е>0 существует 8>0 такое, что е-окрестность множества X(X) содержит множества X(X) для всех X из 8-окрестности X; отображение X(X) является полунепрерывным снизу в точке X, для всякого е>0 существует 8>0 такое, что для всех X из 8-окрестности X е-окрестность множеств X(X) содержит X(X). Отображение называется непрерывным, если оно непрерывно сверху и снизу одновременно.
Заметим, что поскольку постоянное отображение непрерывно, непрерывность (полунепрепрерывность сверху) функции (отображения) предложения гарантируется при существовании решения задачи потребителя (поскольку функция прибыли непрерывна как функция цен).
<< Предыдушая Следующая >>
= К содержанию =
Похожие документы: "1.1.Свойства однородных функций"
  1. 11.7. АМОРТИЗАЦИЯ ОСНОВНЫХ ФОНДОВ
    свойства которых с течением времени не изменяются (земельные участки и объекты природопользования). Кроме того, объекты основных средств стоимостью не более 10 тыс. руб. за единицу, а также приобретенные книги, брошюры и т. п. издания разрешается списывать на затраты, на производство (расходы на продажу) по мере отпуска их в производство или эксп-луатацию. Амортизационные отчисления по объектам
  2. 1.4. Предпринимательская среда
    свойства, но в любом случае, это свойства, проявляющиеся в одном направлении - от элемента среды к конкретному субъекту предпринимательской деятельности. Макроокружающая внешняя среда включает широкую совокупность элементов: природных, демографических, экономических, экологических, научно-технологических, законодательных, национальных и т. д. На рис. 1.5 представлена классификация, в основе
  3. 20.2 Изучение потребителей. Сегментация рынка
    свойств товара, что в широком смысле определяет понятие рыночной сегментации. Под сегментацией рынка понимается разделение рынка на сег менты, различающиеся по своим параметрам или по своей реакции на те или иные виды деятельности на рынке - рекламу, методы сбыта и т.д. С одной стороны, это метод для нахождения частей рынка; он служит для становления объектов, на которые направле на
  4. 25.1 Понятие лкачество продукции. Показатели качества
    свойств продукции, обусловли вающих ее пригодность удовлетворять определенные потребности в соответствии с ее назначением. Свойство продукции - это объективная особенность, прояв ляющаяся при ее создании, эксплуатации или потреблении. В зависимости от степени проявления того или иного свойства, составляющего качество продукции, меняется его оценка. Степень проявления каждого свойства продукции
  5. 13.1. СУЩНОСТЬ, СОДЕРЖАНИЕ И ЗНАЧЕНИЕ НОРМИРОВАНИЯ ТРУДА
    свойств, взаимного расположения пред-метов труда при помощи средств труда. Социально-экономическая сторона производства состоит в том, что процесс производства осуществляется персоналом предприятия, имеющим определенную социальную, демографическую, професси-онально-квалификационную структуру, которая влияет на результа ты производства. Процесс производства связан с расходованием материальных и
  6. Сущность денег и их эволюция
    свойство товара, это его способность удовлетворять определенные потребности. Меновая ценность, или просто ценность - это общественное свойство товара. Она определяется степенью полезности товара и объемом затрат, необходимых для его получения. Потребительная ценность и ценность товара - это свойства однородные и одновременно - противоположные. Они образуют единство противоположностей,
  7. 2.1 Мера ценности.
    свойств. Вначале на эту роль выдвигался товар, наиболее часто встречавшийся в обмене, а затем - наиболее ценные товары, обладающие кроме того подходящими физическими свойствами. Со временем на эту роль выдвинулись благородные металлы. Выдающиеся эстетические качества, однородность, стойкость к воздействию внешней среды и неподверженность порче, произвольная делимость, портативность, высокая
  8. 3.1 Кредитные деньги
    свойственную ему денежную систему на более высокую ступень общественного развития. На смену обращению товара в эпоху капитализма приходит кругооборот капитала, который создает целый ряд важных экономических последствий. Во-первых, обращение капитала создает гораздо более прочные экономические связи между членами общества, чем те, которые создавала торговля - всякая экономическая деятельность в
  9. 1.1.4 Виды денег, их эволюция
    свойствами металлических денег являлись: однородность, делимость, портативность, сохраняемость, концентрация большой стоимости в малом объеме. Недостаток использования драгоценных металлов заключался в том, что такие деньги очень тяжелы, их трудно транспортировать. Среди недостатков золотых денег следует отметить следующие: дороговизна использования золотых денег; невозможность обеспечить
  10. 9.2. Функциональное и персональное распределение доходов в трактовке Дж. Стиглица и Л. Пазинетти.
    свойства модели Устойчивого состояния. Stigliz J.E. The Effect of Income, Wealth, and Capital Gains Taxation on Risk-Taking, The Quarterly Journal of Economics, 83, 1969. P. 263-283. В основе модели Стиглица лежат использованные ранее для неоклассической модели роста Солоу допущения о наличии эко номики с идентичными экономическими субъектами. Гипотеза гомогенного индивида и вводится через