Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Микроэкономика
| Бусыгин В.П, Желободько Е.В, Цыплаков А.А.. Микроэкономика. Третий уровень, 2005 | |
17.1. Вогнутые и квазивогнутые фунвции |
|
|
Определение 97: Будем предполагать, что X - подмножество Rn . Функция f(Х): X 7! R называется вогнутой, если X выпукло и для всех x, y 2 X и _ 2 [0, 1] выполнено f(_x + (1 ? _)y) > _f(x) + (1 ? _)f(y). Функция f(Х) называется выпуклой, если ?f(Х) вогнута. Определение 98: Функция f(Х): X 7! R называется строго вогнутой, если X выпукло и для всех x, y 2 X, таких что x 6= y и _ 2 (0, 1) выполнено f(_x + (1 ? _)y) > _f(x) + (1 ? _)f(y). Функция f(Х) называется строго выпуклой, если ?f(Х) строго вогнута. Заметим, что строго вогнутая функция является вогнутой. Линейная функция p|x является приме- ром вогнутой, но не строго вогнутой функции. Теорема 161: Функция f(Х): X 7! R является вогнутой тогда и только тогда, когда X выпукло и для всех x1, . . . , xk 2 X и _1, . . . , _k > 0, таких что Pk j=1 _j = 1, выполнено f _ Xk j=1 _jxj _ > Xk j=1 _jf(xj). Данное свойство (как и определение вогнутой функции) является частным случаем неравенства Йен- сена: f(E ?x) > E f(?x) (для таких случайных величин, ?x, у которых соответствующие математические ожидания существуют, в частности, для дискретных случайных величин). Определение 99: Верхним лебеговским множеством (superlevel set) функции f(Х): X 7! R, соответствующим уровню t 2 R называется множество _ x 2 X f(x) > t . Теорема 162: Всякое верхнее лебеговское множество вогнутой функции выпукло. Заметим, что это необходимое, но не достаточное условие вогнутости функции. Например, всякое верх- нее лебеговское множество функции x3 выпукло, но сама она не вогнута (при x > 0 она строго выпук- ла, что несовместимо с вогнутостью). Указанное свойство является необходимым и достаточным для квазивогнутых функций, о которых речь ниже. Определение 100: Подграфиком функции f(Х): X 7! R называется множество _ (x, t) x 2 X, t 6 f(x) Теорема 163: Подграфик функции является выпуклым множеством тогда и только тогда, когда функция вогнута. Теорема 164: Пусть fj(Х): X 7! R (j = 1, . . . ,m) - вогнутые функции. Тогда Pm j=1 _jfj(x), где _1, . . . , _k > 0, - вогнутая функция. В частности, сумма вогнутых функций вогнута. Пусть fj(Х): X 7! R (j = 1, . . . ,m) - строго вогнутые функции. Тогда Pm j=1 _jfj(x), где _1, . . . , _k > 0 и _j > 0 хотя бы для одного j , - строго вогнутая функция. В частности, сумма строго вогнутых функций строго вогнута. Теорема 165: Пусть fj(Х): X 7! R (j = 1, . . . ,m) - вогнутые функции. Тогда их поточечный минимум minj=1,...,m fj(x) - вогнутая функция. Аналогичное свойство верно и в общем случае (не обязательно конечного) семейства вогнутых функ- ций. Теорема 166: Пусть f(x, y): X 7! R (j = 1, . . . ,m) - семейство вогнутых по x функций, зависящих от параметра y 2 Y (где Y _ Rm). Тогда их поточечный инфимум g(x) = infy2Y f(x, y) - вогнутая функция с областью определения _ x 2 X infy2Y f(x, y) > ?1 . Теорема 167: Пусть g(Х): X 7! R - вогнутая функция и ее область значений Y является выпуклым множе- ством, и пусть h(Х): Y 7! R - вогнутая неубывающая функция. Тогда суперпозиция этих функций f(x) = h(g(x)) - вогнутая функция. Теорема 168: Пусть множество X является открытым, а функция f(Х): X 7! R дифференцируема (т. е. во всех точках X существует ее градиент rf(Х)). Эта функция является вогнутой тогда и только тогда, когда ее множество определения X выпукло и для всех x, y 2 X выполнено неравенство f(y) 6 f(x) + rf(x)|(y ? x). Т. е. вогнутая функция лежит (не строго) ниже любой своей касательной. Теорема 169: Точка x 2 int(X) является минимумом дифференцируемой вогнутой функции f(Х): X 7! R тогда и только тогда, когда rf(x) = 0. Теорема 170: Пусть множество X является открытым, функция f(Х): X 7! R дважды дифференцируема (т. е. во всех точках X существует ее матрица Гессе r2f(Х)). Эта функция является вогнутой тогда и только тогда, когда ее множество определения X выпукло и для всех x 2 X ее матрица Гессе r2f(x) отрицательно полуопределена. Теорема 171: Пусть множество X является открытым. Если функция f(Х): X 7! R дважды дифференциру- ема и ее матрица Гессе r2f(x) отрицательно определена для всех x 2 X, то f(Х) строго вогнута. Заметим, что обратное, вообще говоря, неверно. Так, функция f(x) = ?x4 является строго вогнутой, но f00(0) = 0. Теорема 172: Выпуклая (вогнутая) функция f(Х): X 7! R непрерывна на внутренности ее множества опре- деления int(X). Определение 101: Функция f(Х): X ! R называется квазивогнутой, если X выпукло и для всех x, y 2 X и _ 2 [0, 1] выполнено f(_x + (1 ? _)y) > min(f(x), f(y)). Определение 102: Функция f(Х): X ! R называется строго квазивогнутой, если для всех x, y 2 X, таких что x 6= y, и _ 2 (0, 1) выполнено f(_x + (1 ? _)y) > min(f(x), f(y)). Определение 103: Функция f(Х) называется квазивыпуклой, если ?f(Х) квазивогнута. Определение 104: Функция f(Х) называется строго квазивыпуклой, если ?f(Х) строго квазивогнута. Теорема 173: Всякое верхнее лебеговское множество квазивогнутой функции выпукло. ??? Теорема 174: Непрерывная функция f(Х): X 7! R, где X _ R, является квазивогнутой тогда и только тогда, когда ее множество определения X выпукло, и выполнено по крайней мере одно из трех условий: Х функция f(Х) является неубывающей; Х функция f(Х) является невозрастающей; Х существует точка x_ 2 X, такая что на множестве X \ (?1, x_] функция f(Х) является неубывающей, а на на множестве X \ [x_,+1) - невозрастающей. Теорема 175: Пусть g(Х): X 7! R - квазивогнутая функция с областью значений Y , и пусть h(Х) : Y 7! R - неубывающая функция. Тогда суперпозиция этих функций f(x) = h(g(x)) - квазивогнутая функция. Теорема 176: Пусть множество X является открытым, и функция f(Х): X 7! R дифференцируема. Эта функ- ция является квазивогнутой тогда и только тогда, когда ее множество определения X выпукло, и для всех x, y 2 X, таких что f(y) > f(x), выполнено неравенство rf(x)|(y ? x) > 0. Заметим, что для квазивогнутой функции (в отличие от вогнутой) из rf(x) = 0 не следует, что точка x является максимумом этой функции. Теорема 177: Пусть множество X является открытым. Если функция f(Х): X 7! R дважды дифферен- цируема и квазивогнута, то для всех x 2 X и p 2 Rn , таких что p|rf(x) = 0, выполнено p|r2f(x)p 6 0. Как следствие, для всех x 2 X, таких что rf(x) 6= 0, матрица Гессе r2f(x) дважды дифферен- цируемой и квазивогнутой функции является отрицательно полуопределенной на гиперплоскости p|rf(x) = 0. Обратное, вообще говоря, неверно, но имеется близкий аналог. Теорема 178: Пусть множество X является открытым. Если функция f(Х): X 7! R дважды дифференциру- ема и для всех x 2 X и p 2 Rn , таких что p 6= 0 и p|rf(x) = 0, выполнено p|r2f(x)p < 0, то функция f(Х) является квазивогнутой. Другими словами, достаточным условием квазивогнутости дважды дифференцируемой функ- ции является то, что ее матрица Гессе r2f(x) является отрицательно определенной на гиперплос- кости p|rf(x) = 0 при всех x 2 X, таких что rf(x) 6= 0, и отрицательно определенной при x 2 X, таких что rf(x) = 0. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "17.1. Вогнутые и квазивогнутые фунвции" |
|
|