Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная Экономика Микроэкономика
Бусыгин В.П, Желободько Е.В, Цыплаков А.А.. Микроэкономика. Третий уровень, 2005

2.5 Свойства предпочтений и функции полезности


В предыдущем параграфе мы уже дали определение ряда важных свойств предпочтений, а именно, непрерывности, монотонности и строгой монотонности . При анализе конкретных микроэкономических задач часто возникает необходимость делать дополнительные предположения о предпочтениях или о функциях полезности. В данном параграфе мы обсудим наиболее часто используемые предположения о свойствах предпочтений и покажем их связь с соответствующими свойствами функции полезности, которая представляет эти предпочтения.
Иногда, в ситуациях, когда предположение о строгой монотонности предпочтений выглядит ограничительным, предполагается выполнение более слабого свойства - локальной ненасыщаемости. Выполнение этого свойства во многих случаях оказывается достаточным для
доказательства тех свойств выбора, которые следуют из строгой монотонности предпочтений.
Определение 11:
Предпочтения называются локально ненасыщаемыми, если для любого допустимого набора x ? X в любой его окрестности найдется другой допустимый набор x ? X, такой что x У x.
Отметим, что выполнение свойства локальной ненасыщаемости запрещает два типа предпочтений:
Х предпочтений c точкой насыщения, т. е. с потребительским набором, который является наилучшим выбором потребителя среди всех ближайших наборов (см. Рис. 2.5);

Рис. 2.5. Предпочтения с точкой (глобального) насыщения
Х предпочтений с лтолстой кривой безразличия, когда существует окрестность некоторого набора, в которой все наборы эквивалентны для потребителя (см. Рис. 2.6).

Рис. 2.6. Толстая кривая безразличия
Связь между понятиями строгой монотонности и локальной ненасыщаемости, в принципе, очевидна. Если предпочтения являются строго монотонными, то они локально ненасыщаемы. Обратное, вообще говоря, неверно.
Рис. 2.7 показывает разницу между понятиями строгой монотонности и локальной ненасыщаемости. Для заданной окрестности набора x заштрихованная область на первой части рисунка показывает ту зону, в которой могут находиться лучшие наборы при выполнении свойства локальной ненасыщаемости. Аналогично, заштрихованная область на второй части 2.5. Свойства предпочтений и функции полезности А Х2 А Х2

xi
Xi Для локальной ненасыщаемости Для строгой монотонности
Рис. 2.7. Сравнение строгой монотонности и локальной ненасыщаемости
рисунка показывает зону, где находятся лучшие наборы для предпочтений, обладающих свойством строгой монотонности.
Следующая группа свойств предпочтений, которую мы рассмотрим, важна для демонстрации лхороших свойств функции выбора/спроса и доказательства существования равновесия. Здесь и далее мы будем предполагать, что множество X выпукло.
Определение 12:
Предпочтения называются выпуклыми, если Vx, y ? X: x y и 0 ^ a ^ 1 выполнено ax + (1 - a)y ^ y.
Предпочтения называются строго выпуклыми, если Vx, y ? X: x ^ y, x = y и 0
Рис. 2.8. Выпуклые предпочтения
Как несложно понять, выпуклость предпочтений эквивалентна выпуклости верхнего лебе- говского множества L+(x) любого набора x. На Рис. 2.8 как x', так и x'' лежат в L+(x). Из выпуклости предпочтений следует, что весь отрезок между x' и x'' лежит в L+(x).
Остановимся теперь на различии понятий строгой выпуклости от лпросто выпуклости. Ясно, что строго выпуклые предпочтения являются выпуклыми. Грубо говоря, различие между этими понятиями состоит в том, что при выполнении свойства строгой выпуклости запрещена ситуация, когда граница верхнего лебеговского множества (или, что тоже самое, кривая безразличия) имеет ллинейные части. На Рис. 2.9 изображен пример выпуклых, но не строго выпуклых предпочтений.
С понятием выпуклости предпочтений в случае, когда они представимы функцией полезности, тесно связаны свойства вогнутости и квазивогнутости функции полезности. Оказывается, что для квазивогнутой функции полезности справедлив следующий результат.

Рис. 2.9. Пример выпуклых, но не строго выпуклых предпочтений
Теорема 11:
Функция полезности квазивогнута тогда и только тогда, когда представляемые ею предпочтения выпуклы. J
Доказательство: Доказательство этого факта несложно и оставляется читателю в качестве упражнения. ж
Любая вогнутая функция является квазивогнутой. Таким образом, если функция полезности вогнута, то представляемые ею предпочтения выпуклы. Обратное, вообще говоря, не всегда верно.
Вогнутые (и выпуклые) функции играют особую роль в микроэкономике, поскольку вогнутость во многих ситуациях обеспечивает выполнение важных соотношений . Поэтому бывает важно знать не только то, что функция квазивогнута, но и что она вогнута.
Рассмотрим вопрос о том, как по конкретной функции полезности определить, является ли она квазивогнутой (а соответствующие предпочтения выпуклыми), и является ли она вогнутой. Заметим, что проверять вогнутость функции, как правило, проще, чем квазивогнутость. При этом можно использовать следующие свойства вогнутых и квазивогнутых функций (см. Приложение ??):
Сумма вогнутых функций вогнута.
Минимум вогнутых функций - вогнутая функция.
Суперпозиция вогнутой функции и вогнутой неубывающей функции - вогнутая функ-ция.
Суперпозиция квазивогнутой функции и неубывающей функции - квазивогнутая функция. В частности, суперпозиция вогнутой функции и возрастающей функции - квазивогнутая функция.
Дважды непрерывно?? дифференцируемая функция u(-) вогнута тогда и только тогда, когда ее матрица вторых производных (матрица Гессе) H(x) отрицательно полуопределена на внутренности ее области определения, т. е. z т H(x)z ^ 0 Vz.
Отметим также, что дважды непрерывно дифференцируемая функция u : X ^ R квазивогнута тогда и только тогда, когда ее матрица H(x) вторых производных отрицательно полуопределена на Vu(x)z = 0, где x принадлежит внутренности области определения X. Другими словами, для каждого z, такого что Vu(x)z = 0 выполнено zт H(x)(x)z ^ 0, где x принадлежит внутренности X.
Стоит отметить, что, вообще говоря, в отличие от свойства квазивогнутости, свойство вогнутости не сохраняется при монотонно возрастающем преобразовании. (Требуется, чтобы преобразующая функция была вогнута.) Например, функция ^/X вогнута, но после применения к ней монотонного преобразования y4 (при y ^ 0) получается функция x2, которая уже не является вогнутой, хотя и является квазивогнутой (при x ^ 0).
Достаточно типична ситуация, когда из квазивогнутой функции можно сделать вогнутую (например, x2 преобразованием ^у превращается в л/X). Если прорешать достаточно много типовых задач, то может сложиться впечатление, что каждая квазивогнутая функция переводится монотонно возрастающим преобразованием в вогнутую функцию и, в этом смысле, два эти класса функций эквивалентны. Однако, это не так. Например, функция f (xi,x2) = (xi - 1) + \/(1 - xi)2 + 4(xi + x2) квазивогнута. Ее линии уровня - непараллельные прямые линии. Можно показать, что эта функция не может быть трансформирована в вогнутую функцию возрастающим преобразованием. Следует оговориться, что большинство подобных примеров достаточно причудливы и их построение требует достаточной изобретательности. Поэтому для того чтобы убедиться, что функция квазивогнута, рекомендуется попытаться преобразовать ее в вогнутую функцию.
Приведем пример, иллюстрирующий технику проверки вогнутости и квазивогнутости функций.
Пример 6:
Рассмотрим функцию u(x) = xix2, заданную на неотрицательном ортанте R+. Покажем, что эта функция квазивогнута, но не является вогнутой.
Способ 1 (По определению)
Возьмем два произвольных вектора x, y ? R+. Тогда для любого 0 ^ a ^ 1 имеем (axi + (1 - a)yi)(ax2 + (1 - a)y2) =
= a2xi x2 + (1 - a)2yiy2 + a(1 - a)xiy2 + a(1 - a)x2yi
Без потери общности будем считать, что yiy2 ^ xix2. Если компоненты вектора x не равны 0, то X1 + Ц ^ 2^JX1^ 2, или xiy2 + x2yi ^ 2xix2. Справедливость этого неравенства, если хотя бы одна из компонент вектора x равна 0, очевидна. Таким образом, для любых x, y ? R+ таких, что yiy2 ^ xix2, имеем xiy2 + x2yi ^ 2xix2. С учетом изложенного, получаем
a2xix2 + (1 - a)2yiy2 + a(1 - a)xiy2 + a(1 - a)x2yi ^
^ (a2 + (1 - a)2 + 2a(1 - a))xix2 = xix2 = min{xix2, yiy2}.
Таким образом, квазивогнутость функции xix2 доказана.
Покажем теперь, что эта функция не является вогнутой. Возьмем два вектора x = (1,1), y = (2, 2) и a = 2 .Но тогда u(ax + (1 - a)y) = | и au(x) + (1 - a)u(y) = з. Поскольку | > 4, то функция не является вогнутой.
Способ 2 (С использованием матрицы Гессе)
Несложно проверить, что матрица H(x) вторых частных производных функции u(x) = xix2 имеет вид
H(x)=(0 ^
Однако данная матрица не является отрицательно полуопределенной. Например, для вектора zт = (1,1) имеем zт Hz = 2 > 0. Таким образом, функция не является вогнутой.
Покажем, что она квазивогнута. Несложно увидеть, что zтHz = 2ziz2. Рассмотрим знак этой квадратичной формы при всех z таких, что Vu(x)z = 0, т. е. при всех z таких, что x2Zi + xiZ2 = 0. Умножив это равенство на zi, получим x2(zi)2 + xiZiZ2 = 0. На внутренности положительного ортанта имеем zтHz = 2ziz2 = Ч2 - (zi)2 ^ 0. Таким образом, доказали квазивогнутость функции u(x) = xix2 .
Еще один способ проверки того, что функция u(x) = xix2 является квазивогнутой, состоит в том, чтобы найти преобразование, которое бы сделало ее вогнутой. Как несложно заметить, возрастающее преобразование ln(-) переводит ее в вогнутую функцию. Действительно, получившаяся функция ln(xi) + ln(x2) является вогнутой, поскольку ее матрица Гессе будет отрицательно определенной:
H(x) = (Ч02 Ч02) Х
Однако преобразование ln(-) нельзя применить к значениям функции u(x) в точках, где xi =0 или x2 = 0 .В качестве упражнения читатель может проверить, что yf- является подходящим преобразованием, дающим вогнутую функцию. Д
Рассмотренные выше свойства выпуклости и строгой выпуклости предпочтений тесно связаны с понятием предельной нормы замены . Напомним, что под предельной нормой замены i-ым благом j-ого понимается величина
MRSij (x) = - Х j uj (x)
Покажем, что из выпуклости предпочтений следует закон неубывания предельной нормы замены. При этом будем предполагать, что предпочтения потребителя представимы непрерывно дифференцируемой квазивогнутой функцией полезности u : R+ ^ R.
Содержательно, норма замены указывает на то количество блага j, на которое необходимо сократить потребление этого товара в обмен на увеличение потребления блага i с тем, чтобы уровень полезности потребителя и количество всех остальных товаров оставались неизменными. Таким образом, в случае если количество блага i изменяется на дифференциально малую величину dxi, то для того, чтобы потребитель остался на той же самой кривой безразличия u(x) = u, количество блага j при условии что количество остальных благ остается неизменным должно измениться на величину dxj такую что
uj(x)dxi + uj (x)dxj = 0.
Возьмем некоторую кривую безразличия и зафиксируем количества всех благ, кроме i-го и j-го. Уравнение u(xi,..., xj,..., xj,..., x^) = u задает для данного уровня полезности u зависимость xj от xj как неявную функцию xj(xj). Предельная норма замены равна наклону функции xi(xj-):
dxj (xi) uj(x)
= MRSjj (x).
dxi uj (x)
Проверим, что закон неубывания предельной нормы замены выполняется, если функция полезности квазивогнута, или, что тоже самое, предпочтения выпуклы. Для этого докажем, что функция xj(xj) выпукла.
Пусть xi и xi' - некоторые количества i-го блага, и пусть x' и x'' - наборы, в которых xi = xi, xj = xj (xi) и xi = xi', xj = xj (xi') соответственно. Рассмотрим набор xa, являющийся выпуклой комбинацией наборов x' и x'' (a ? [0,1]):
xa = ax' + (1 - a)x'',
а также набор x*, в котором xi = xо = axi + (1 - a)xi' и xj = xj(xf). По определению функции xi(xj) наборы x', x'' и x* эквивалентны. С другой стороны, из выпуклости предпочтений следует, что xa ^ x' ~ x''. Таким образом, xa x* .В наборах xa и x* все блага, кроме j-го, содержатся в одинаковых количествах. Если предположить, что функция полезности возрастает по j -му благу, то должно быть, x" ^ xj(xf) где x" = axj (xi) + (1 - a)xj(xi'). Этим мы доказали выпуклость функции xj (xi).
Производная выпуклой функции не убывает (см. Рис. 2.10). Таким образом, в случае выпуклости предпочтений имеем выполнение закона неубывания предельной нормы замены (лубывания предельной полезности).

Рис. 2.10. Неубывание предельной нормы замены для выпуклых предпочтений
Отметим, что в некотором смысле верно и обратное, т. е. выпуклость предпочтений эквивалентна неубыванию предельной нормы замены .
В приложениях экономической теории очень часто рассматриваются также дополнительные свойства предпочтений, которые налагают более сильные требования на функцию полезности. Так, например, в макроэкономике при рассмотрении поведения агрегированного потребителя часто предполагается выполнение свойства гомотетичности.
Определение 13:
Предпочтения называются гомотетичными, если
для каждого положительного t tx ? X тогда и только тогда, когда x ? X.
для каждого положительного t соотношение tx ~ ty выполняется тогда и только тогда, когда выполняется соотношение x ~ y.
Гомотетичные предпочтения называют так, поскольку геометрически кривые безразличия гомотетичны относительно начала координат. Рис. 2.11 иллюстрирует понятие гомотетичных предпочтений. Наборы x'' и y'', лежащие на кривой безразличия I'', получаются из наборов x' и y', лежащих на кривой безразличия I', умножением на одно и то же положительное число t (x'' = tx' и y'' = ty').
Х2 М

Рис. 2.1J. Монотонные гомотетичные предпочтения
/
/
Опираясь на схему доказательства существования функции полезности, представляющей строго монотонные предпочтения, приведенного в предшествующем параграфе (см. Теорему 10), легко показать, что для строго монотонных и гомотетичных предпочтений существует положительно однородная функция полезности, представляющая эти предпочтения. Особенностью положительно однородной функции полезности является то, что предельная норма замены для любой пары товаров остается неизменной на луче tx. Это полезное свойство эквивалентно тому, что кривые Энгеля являются лучами, выходящими из начала координат. Кроме того, при выполнении этого свойства, свойств локальной ненасыщаемости, непрерывности и выпуклости, неоклассические предпочтения допускают представление вогнутой функцией
31
полезности .
В теории отраслевых рынков и других областях микроэкономики важную роль играют предпочтения, обладающие свойством квазилинейности.
Определение 14:
Предпочтения называются квазилинейными по l-му благу, если
для каждого положительного t из x ? X следует x + te; ? X;
для каждого положительного t и x, y ? X из x ~ y следует x + te; ~ y + te;.
Х2 М

Рис. 2.12. Квазилинейные предпочтения
Предпочтения, обладающие данным свойством, допускают представление функцией полезности вида u(x) = u(x_i) + ax. Эта функциональная форма задает такую систему функций спроса, что спрос на первые l - 1 благо не зависит от дохода и, тем самым, для этих благ полностью отсутствует эффект дохода. Данное свойство оказывается полезно при обсуждении агрегирования предпочтений и выяснении влияния изменения параметров модели (например, цен и доходов) на благосостояние потребителя.
Наконец в макроэкономике обычно рассматриваются аддитивно-сепарабельные функции полезности, т. е. функции полезности вида u(x) =5^i=i Ui(xi). Если предпочтения потребителя описываются функцией такого вида, то они обладают следующим очевидным свойством: рассмотрим произвольную группу благ N (N С {1,..., 1}), а все остальные блага обозначим через ЧN; при этом ранжировка потребительских наборов x = (Xn, X_n) и x' = (xN, X_n) не зависит от значения X_n . Данное соображение мотивирует следующее определение:
Определение 15:
Предпочтения называются сепарабельными (строго сепарабельными), если
множество допустимых потребительских наборов имеет вид X = Xi х ж ж ж х Xi;
для допустимых наборов (Xn, X_n) и (xN, X_n) выполнено (Xn, X_n) (xN, X_n), то (Xn, x'_n) (xN, x'_n) для всех x'_n ? XieЧn Xi ? где N - произвольное подмножество множества благ.
Известно, что непрерывные предпочтения сепарабельны тогда и только тогда, когда они могут быть представлены непрерывной аддитивно-сепарабельной функцией полезности32. Из свойств сепарабельных предпочтений отметим, во-первых, что для них предельная норма замены зависит только от количества двух рассматриваемых благ, во-вторых, что если все элементарные функции Ui(-) являются вогнутыми, что и в целом функция полезности является вогнутой. Кроме того, данный тип предпочтений позволяет нам гарантировать отсутствие товаров Гиффена и другие полезные свойства функции спроса.
<< Предыдушая Следующая >>
= К содержанию =
Похожие документы: "2.5 Свойства предпочтений и функции полезности"
  1. 16.4. ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА НА ПРЕДПРИЯТИИ
    свойства изделия. Установление цен с ориентацией на полезность изделия можно осуществлять также на основе баллового метода. Суть этого метода заключается в том, что каждому параметру изделия присваивается определенное количество баллов, сумма которых дает оценку технико-экономического уровня изделия. При использовании этого метода вначале рассчитывается цена одного балла по базовому изделию цена
  2. 4.2 Факторы конкурентоспособности
    свойства изде лия, области его применения и функции, которые оно предназна чено выполнять. По ним можно судить о содержании полезного эффекта, достигаемого с помощью применения данного изделия в конкретных условиях потребления. Оценка технического уровня то- чра особенно важна для товаров производственно-технического назначения и товаров длительного пользования. Параметры назна чения в целом
  3. 20.2 Изучение потребителей. Сегментация рынка
    свойств товара, что в широком смысле определяет понятие рыночной сегментации. Под сегментацией рынка понимается разделение рынка на сег менты, различающиеся по своим параметрам или по своей реакции на те или иные виды деятельности на рынке - рекламу, методы сбыта и т.д. С одной стороны, это метод для нахождения частей рынка; он служит для становления объектов, на которые направле на
  4. 1.5. Структура современной экономической теории
    свойств при различных внутренних и внешних изменениях, а также его самотождественность. Структура характеризует расположение частей (элементов), связи между ними и определяет внутреннее устройство рассматриваемого объекта. Таким образом, характеристика структуры теоретического знания подразумевает прежде всего выявление основ связей, по которым будет проводиться структурирование, - принципы его
  5. СЛОВАРЬ-СПРАВОЧНИК
    свойств исследуемого реального объекта в соответствии с целью и задачами исследования. Агент (от лат. agens ^еп^) - действующий) - лицо или организация, действующие по поручению кого-либо; представители организации, учреждения, уполномоченные выполнять служебные, деловые поручения. Агрегирование - метод макроэкономики, основанный на использовании сводных обобщающих показателей, характеризующих
  6. 9.3. Модель Касса-Купманса-Рамсея.
    свойств с течением времени, а кроме того, существованием финансовых рынков и рынков капитала, опосредующих обмен этих товаров. Основы микрообоснования современной макроэкономиче ской теории экономического роста были заложены Фрэнком Рам-сеем в 1928 году с его формулировкой микроэкономического ин тертемпорального решения о сбережениях . Это обоснование было продолжено независимо Д. Кассом и Т.
  7. 4.2.1. Аксиомы порядкового подхода
    свойств кривых безразличия: 1) кривая безразличия, лежащая выше и правее других, представляет собой более предпочтительные наборы товаров; 2) для любой пары доброкачественных благ кривые безразличия выпуклы к началу координат; 3) кривые безразличия имеют отрицательный наклон; 4) кривые безразличия не могут пересекаться; 5) кривые безразличия могут быть проведены через любую точку
  8. 4.10. Модель потребления Ланкастера
    свойством эффек тивной замены. Свойство эффективной замены вызвано ценовыми изменениями, которые меня-ют набор товаров, лежащих на границе характеристик. Например, если цена на говядину возрастет существенно, то точка D перемес- Модель Ланкастера приобретает особую значимость, если границы характе ристик совместить с кривыми безразличия. На рис. 4.32 изображен пример с тремя благами (X, Y и
  9. Контрольные задания
    свойства товара изображаются: а) вертикальной кривой безразличия, Ь) го ризонтальной, с) с положительным наклоном? 4. Почему кривые безразличия не могут пересекаться? 5. В соответствии с законом уменьшающейся предельной полезности, чтобы увели чить предельную полезность товара, надо сократить его потребление. Объясните кажущийся парадокс. 6. В чем смысл законов Госсепа? 7. Почему эффект
  10. 14.2.3. Агрегирование предпочтений
    свойствами. 2. Если каждый член общества предпочитает альтернативу X альтернативе У, то и общество должно признать, что X лучше Y. 3. Предпочтения в отношении X и У должны зависеть только от того, как люди ранжируют X и У, но не от того, как они ранжируют другие альтернативы. 4. Если, по крайней мере, один член общества предпочитает альтернативу X альтернативе Упри безразличии к этим