Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Микроэкономика
| Бусыгин В.П, Желободько Е.В, Цыплаков А.А.. Микроэкономика. Третий уровень, 2005 | |
2.5.1 Задачи |
|
|
^ 44. A) л...выберем X1 ~ x2. Точка X1 представляет набор, содержащий 'экстремально большую' долю блага xi по сравнению с набором x2. Набор x2, наоборот, содержит экстремально большую долю другого блага, x2, по сравнению с набором x1. Хотя каждый из наборов содержит относительно высокую долю одного из благ по сравнению с другим набором, для потребителя эти наборы равнозначны. При этом любая выпуклая комбинация x1 and x2, такая как x*, будет являться набором, содержащим более 'сбалансированное' сочетание xi и x2, чем каждый из 'экстремальных' наборов x1 или x2 . Б) Условие выпуклости... чрезвычайно важно и более ограничительно. Оно означает, что если каждый из двух векторов x', x'' предпочитается третьему вектору x, то любая их 'смесь' ax' + (1 - a)x'', 0 ^ a ^ 1 также считается лучше x. Вполне вероятно, что вы любите виноградный и томатный соки больше яблочного, но это вовсе не означает, что вы предпочтете выпить вместо стакана яблочного стакан смеси из виноградного и томатного соков. Однако в теоретических рассуждениях обычно рассматривают потребление за более длительный промежуток времени, например за год. Тогда выпуклость предпочтений в приведенном выше примере означает, что если вы предпочитаете виноградный и томатный соки яблочному, то вы готовы также пить часть года первый из них, а оставшуюся часть - второй вместо яблочного круглый год. Такое допущение вполне правдоподобно, хотя возможны и возражения. Одно из них состоит в том, что предпочтение зависит от способа чередования напитков в течении года. Другое, быть может, более существенное, относится к самому методу описания поведения: мои предпочтения могут меняться в зависимости от многих причин, например от самочувствия, так что говорить о предпочтении одного потребительского набора другому не имеет смысла . Прокомментируйте эти цитаты. Согласны ли вы с ними? Если нет, то почему? ^ 45. Покажите, что строго монотонные предпочтения локально ненасыщаемы. Приведите пример монотонных предпочтений, не обладающих свойством локальной ненасыщаемости. ^ 46. Приведите пример выпуклых локально ненасыщаемых предпочтений, которые не обладают свойством монотонности. ^ 47. Покажите, что строго выпуклые монотонные предпочтения локально ненасыщаемы. ^ 48. Покажите, что если непрерывные предпочтения заданы на компактном множестве X, то они не могут обладать свойством локальной ненасыщаемости. ^ 49. ??Будем говорить, что предпочтения являются сильно монотонными, если они монотонны и существует по крайней мере одно благо, большее количество которого всегда предпо-читается меньшему. Запишите формально это определение. Как это свойство соотносится со строгой монотонностью? Покажите, что из свойства сильной монотонности следует свойство локальной ненасыщаемости. ^ 50. Покажите, что предпочтения потребителя выпуклы тогда и только тогда, когда выпукло любое верхнее лебеговское множество L+(x) = { y ? X | y ^ x }. ^ 51. Приведите пример непрерывной квазивогнутой функции полезности, не являющейся монотонной. ^ 52. Покажите, что если функция полезности строго вогнута, то представляемые ею предпочтения строго выпуклы. ^ 53. Покажите, что функция полезности строго квазивогнута тогда и только тогда, когда представляемые ею предпочтения строго выпуклы. ^ 54. Покажите, что если дважды непрерывно дифференцируемая функция полезности строго вогнута, то для этой функции выполняется закон Госсена об убывании предельной полезности. Верно ли утверждение о том, что из закона Госсена не следует выпуклость предпочтений? ^ 55. Докажите Теорему 11. ^ 56. Покажите, что предпочтения, задаваемые положительно однородной (первой степени) функцией полезности, являются гомотетичными. ^ 57. Покажите, что предпочтения, задаваемые квазилинейной функцией полезности, являются квазилинейными. ^ 58. Покажите, что предпочтения, задаваемые аддитивно-сепарабельной функцией полезности, являются сепарабельными. ^ 59. Покажите, что непрерывные гомотетичные предпочтения представимы однородной функцией полезности. ^ 60. Известно, что непрерывные и гомотетичные предпочтения на R+ представимы адди- тивно-сепарабельной функцией полезности (т.е. u(x) = Ui(xi)). Покажите, что функция вида u(x) = aiXp Ч единственная (с точностью до монотонно возрастающего преобразования) функция, удовлетво-ряющая этим требованиям. Каковы ограничения на параметры а^ и р в случае, если, кроме того, предпочтения обладают свойством строгой монотонности? Докажите, что следующая функция полезности (CES-функция) u*(x) = 1/Р , (a) где J2 ai = 1, ai ^ 0, соответствует тем же предпочтениям, что и u(x) =J2 flixf . ^ 61. Покажите, что функция полезности u(x) = ^ aix01/Р (предельный случай CES-функции) представляет те же предпочтения, что и функция Кобба - Дугласа. ^ 62. Покажите, что функция полезности u(x) = lim (У^ aixf) ^ (предельный случай CES-функции) представляет те же предпочтения, что и функция min{xi, x2,..., xn}. ^ 63. Используя полученные в предыдущих задачах результаты, найдите в явной форме функции, представляющие те же предпочтения, что и функции u(x) = lim (^(aixi)p) /Р , u(x) = lim (VVaixi)p) ^. ^ 64. Пусть предпочтения представимы дифференцируемой функцией u(x). Покажите, что предельная норма замены инвариантна относительно возрастающего преобразования функции полезности. Как связаны MRSj(x) и MRSji(x) ? ^ 65. В случае двух товаров покажите, что дважды непрерывно дифференцируемая функция полезности аддитивно-сепарабельна (имеет вид u(x) = ui(xi) + U2(x2)) тогда и только тогда, когда MRSl2(x) . d2MRSi2(x) = dMRSi2(x) ^ dMRSi2(x) dx1dx2 dx1 dx2 ^ 66. Функция полезности аддитивно-сепарабельна: u(x) =YI Ui(xi), причем каждая из элементарных функций Ui(-) вогнута. Покажите, что соответствующие предпочтения являются выпуклыми. ^ 67. ??непонятно как решать.. Пусть некоторые выпуклые неоклассические предпочтения, заданные на R+, представляются непрерывной аддитивно-сепарабельной функцией вида u(x) = v(xi) + v(x2). Покажите, что функция v(x) вогнута. (Подсказка: покажите, что для любых m и n справедливо v ^Щx + (1 Ч ^ fnv(x) + - ^п) v(y) и воспользуйтесь непрерывно стью.) ^ 68. Какими свойствами (монотонность, строгая монотонность, локальная ненасыщаемость, выпуклость, строгая выпуклость, гомотетичность, квазилинейность, сепарабельность) обладают предпочтения на R+, представимые следующими функциями полезности? u(x) = x1 + x2; u(x) = ^xr + Vx2; u(x) = ^xr + x2; u(x) = xrx2; u(x) = ln(xi) + ^;? Ж1Ж2 (f) u(x) = Ж1+Ж2 ' u(x) = xf + ; u(x) = min{x1,x2}; u(x) = max{x1 , x2}; (j) u(x) = min{2x1 - x2, 2x2 - x1}; (k) u(x) = 28ж1 + 28x2 - 2xf - 3x1 X2 - 2xf; (l) u(x) = ln(x1 - 1) - 2 ln(2 - xf). Какие из этих функций являются вогнутыми? Какие квазивогнутыми? Для каждой из этих функций постройте эскизы кривых безразличия. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "2.5.1 Задачи" |
|
|