Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная Экономика Микроэкономика
Бусыгин В.П, Желободько Е.В, Цыплаков А.А.. Микроэкономика. Третий уровень, 2005

2.5.1 Задачи


^ 44. A) л...выберем X1 ~ x2. Точка X1 представляет набор, содержащий 'экстремально большую' долю блага xi по сравнению с набором x2. Набор x2, наоборот, содержит экстремально большую долю другого блага, x2, по сравнению с набором x1. Хотя каждый из наборов содержит относительно высокую долю одного из благ по сравнению с другим набором, для потребителя эти наборы равнозначны. При этом любая выпуклая комбинация x1 and x2, такая как x*, будет являться набором, содержащим более 'сбалансированное' сочетание xi и x2, чем каждый из 'экстремальных' наборов x1 или x2 .
Б) Условие выпуклости... чрезвычайно важно и более ограничительно. Оно означает, что если каждый из двух векторов x', x'' предпочитается третьему вектору x, то любая их 'смесь' ax' + (1 - a)x'', 0 ^ a ^ 1 также считается лучше x. Вполне вероятно, что вы любите виноградный и томатный соки больше яблочного, но это вовсе не означает, что вы предпочтете выпить вместо стакана яблочного стакан смеси из виноградного и томатного соков. Однако в теоретических рассуждениях обычно рассматривают потребление за более длительный промежуток времени, например за год. Тогда выпуклость предпочтений в приведенном выше примере означает, что если вы предпочитаете виноградный и томатный соки яблочному, то вы готовы также пить часть года первый из них, а оставшуюся часть - второй вместо яблочного круглый год. Такое допущение вполне правдоподобно, хотя возможны и возражения. Одно из них состоит в том, что предпочтение зависит от способа чередования напитков в течении года. Другое, быть может, более существенное, относится к самому методу описания поведения: мои предпочтения могут меняться в зависимости от многих причин, например от самочувствия, так что говорить о предпочтении одного потребительского набора другому не имеет смысла .
Прокомментируйте эти цитаты. Согласны ли вы с ними? Если нет, то почему? ^ 45. Покажите, что строго монотонные предпочтения локально ненасыщаемы. Приведите пример монотонных предпочтений, не обладающих свойством локальной ненасыщаемости. ^ 46. Приведите пример выпуклых локально ненасыщаемых предпочтений, которые не обладают свойством монотонности.
^ 47. Покажите, что строго выпуклые монотонные предпочтения локально ненасыщаемы. ^ 48. Покажите, что если непрерывные предпочтения заданы на компактном множестве X, то они не могут обладать свойством локальной ненасыщаемости.
^ 49. ??Будем говорить, что предпочтения являются сильно монотонными, если они монотонны и существует по крайней мере одно благо, большее количество которого всегда предпо-читается меньшему. Запишите формально это определение. Как это свойство соотносится со строгой монотонностью? Покажите, что из свойства сильной монотонности следует свойство локальной ненасыщаемости.
^ 50. Покажите, что предпочтения потребителя выпуклы тогда и только тогда, когда выпукло любое верхнее лебеговское множество L+(x) = { y ? X | y ^ x }.
^ 51. Приведите пример непрерывной квазивогнутой функции полезности, не являющейся монотонной.
^ 52. Покажите, что если функция полезности строго вогнута, то представляемые ею предпочтения строго выпуклы.
^ 53. Покажите, что функция полезности строго квазивогнута тогда и только тогда, когда представляемые ею предпочтения строго выпуклы.
^ 54. Покажите, что если дважды непрерывно дифференцируемая функция полезности строго вогнута, то для этой функции выполняется закон Госсена об убывании предельной полезности. Верно ли утверждение о том, что из закона Госсена не следует выпуклость предпочтений? ^ 55. Докажите Теорему 11.
^ 56. Покажите, что предпочтения, задаваемые положительно однородной (первой степени) функцией полезности, являются гомотетичными.
^ 57. Покажите, что предпочтения, задаваемые квазилинейной функцией полезности, являются квазилинейными.
^ 58. Покажите, что предпочтения, задаваемые аддитивно-сепарабельной функцией полезности, являются сепарабельными.
^ 59. Покажите, что непрерывные гомотетичные предпочтения представимы однородной функцией полезности.
^ 60. Известно, что непрерывные и гомотетичные предпочтения на R+ представимы адди- тивно-сепарабельной функцией полезности (т.е. u(x) = Ui(xi)). Покажите, что функция вида
u(x) = aiXp Ч
единственная (с точностью до монотонно возрастающего преобразования) функция, удовлетво-ряющая этим требованиям. Каковы ограничения на параметры а^ и р в случае, если, кроме того, предпочтения обладают свойством строгой монотонности? Докажите, что следующая
функция полезности (CES-функция)
u*(x) = 1/Р , (a) где J2 ai = 1, ai ^ 0, соответствует тем же предпочтениям, что и u(x) =J2 flixf . ^ 61. Покажите, что функция полезности
u(x) = ^ aix01/Р
(предельный случай CES-функции) представляет те же предпочтения, что и функция Кобба - Дугласа.
^ 62. Покажите, что функция полезности
u(x) = lim (У^ aixf) ^
(предельный случай CES-функции) представляет те же предпочтения, что и функция min{xi, x2,..., xn}. ^ 63. Используя полученные в предыдущих задачах результаты, найдите в явной форме функции, представляющие те же предпочтения, что и функции
u(x) = lim (^(aixi)p) /Р ,
u(x) = lim (VVaixi)p) ^.
^ 64. Пусть предпочтения представимы дифференцируемой функцией u(x). Покажите, что предельная норма замены инвариантна относительно возрастающего преобразования функции полезности. Как связаны MRSj(x) и MRSji(x) ?
^ 65. В случае двух товаров покажите, что дважды непрерывно дифференцируемая функция полезности аддитивно-сепарабельна (имеет вид u(x) = ui(xi) + U2(x2)) тогда и только тогда, когда
MRSl2(x) . d2MRSi2(x) = dMRSi2(x) ^ dMRSi2(x) dx1dx2 dx1 dx2
^ 66. Функция полезности аддитивно-сепарабельна: u(x) =YI Ui(xi), причем каждая из элементарных функций Ui(-) вогнута. Покажите, что соответствующие предпочтения являются выпуклыми.
^ 67. ??непонятно как решать.. Пусть некоторые выпуклые неоклассические предпочтения, заданные на R+, представляются непрерывной аддитивно-сепарабельной функцией вида u(x) = v(xi) + v(x2). Покажите, что функция v(x) вогнута. (Подсказка: покажите, что для любых m и n справедливо v ^Щx + (1 Ч ^ fnv(x) + - ^п) v(y) и воспользуйтесь непрерывно
стью.)
^ 68. Какими свойствами (монотонность, строгая монотонность, локальная ненасыщаемость, выпуклость, строгая выпуклость, гомотетичность, квазилинейность, сепарабельность) обладают предпочтения на R+, представимые следующими функциями полезности?
u(x) = x1 + x2;
u(x) = ^xr + Vx2;
u(x) = ^xr + x2;
u(x) = xrx2;
u(x) = ln(xi) + ^;? Ж1Ж2
(f) u(x) =
Ж1+Ж2 '
u(x) = xf + ;
u(x) = min{x1,x2};
u(x) = max{x1 , x2};
(j) u(x) = min{2x1 - x2, 2x2 - x1}; (k) u(x) = 28ж1 + 28x2 - 2xf - 3x1 X2 - 2xf; (l) u(x) = ln(x1 - 1) - 2 ln(2 - xf). Какие из этих функций являются вогнутыми? Какие квазивогнутыми? Для каждой из этих функций постройте эскизы кривых безразличия.
<< Предыдушая Следующая >>
= К содержанию =
Похожие документы: "2.5.1 Задачи"
  1. К ТОМУ, КТО ЧИТАЕТ
    задача публицистов. И в этом случае не пострадает ни одна из рассматриваемых сфер, так как каждому становится очевидным, насколько добродетель чисто общественная должна уступать божественной добродетели, не подверженной никаким изменениям. И кто бы, повторяю, ни захотел удостоить меня своей критикой, не должен исходить из предпосылки, что мои принципы губительны для нравственности или религии,
  2. VI СОРАЗМЕРНОСТЬ МЕЖДУ ПРЕСТУПЛЕНИЯМИ И НАКАЗАНИЯМИ
    задача которого заключается в том, чтобы свести на нег разрушительные последствия силк тяжести 84 и направить ее на упрочение несущих конструкции здания. Поскольку доказана необходимость объединения людей и существования общественного договора, неизбежно вытекающего из потребности в умиротворении противоположных частных интересов, то нарушения установленного порядка можно классифицировать и по
  3. VIII КЛАССИФИКАЦИЯ ПРЕСТУПЛЕНИЙ
    задачей любой законно созданной ассоциации, то нарушение неотъемлемого права каждого гражданина на безопасность не может не повлечь за собой одного из самых суровых наказаний, установленных законом. Постулат, согласно которому каждый гражданин должен быть наделен правом совершать любые, не противоречащие закону действия, не опасаясь какихлибо последствий, за исключением тех, что могут быть
  4. ХУ1. 0 ПЫТКЕ
    задача еще более усложняется, когда страдания искажают весь его внешний облик, по которому иногда можно догадаться об истинном положении дел, даже помимо воли человека. Всякое насильственное действие спутывает и заставляет исчезнуть мельчайшие индивидуальные признаки предметов, с помощь которых иной раз правда отличается ото лжи. Эти истины известны еще со времен древнеримских законодателей,
  5. ХХ1. НАКАЗАНИЯ ДЛЯ ДВОРЯН
    задачу которого входит удерживать в границах дозволенного чрезмерные пре143 тензии крайностей, или оно представляет собой просто сословие, которое, будучи рабом самого себя и других, сосредоточивает в своем узком замкнутом кругу влияние, жизненные блага и надежды, подобно цветущему и плодородному оазису в песках Аравийской пустыни. И если верно даже, что неравенство является неизбежным или
  6. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ СЛОВА ПРЕДИСЛОВИЯ ФАУСТЕН-ЭЛИ О ЗНАЧЕНИИ КНИГИ БЕККАРИА
    задачи в законы. А может быть, он не имел бы и той смелости в своих выводах, которую мы в нем замечаем. Светлый его разум и горячая любовь к правде - вот силы, поддержавшие его среди малоизвестного ему пути. И этих сил было достаточно, чтобы побороть древние законодательства, уже склонявшиеся под тяжестью своих злоупотреблений, и показать ученым исследователям уголовного права все их ничтожество.
  7. 1.2. ОСНОВНЫЕ ЦЕЛИ И ФУНКЦИИ ПРЕДПРИЯТИЯ В УСЛОВИЯХ РЫНКА
    задачи, а получение прибыли находится далеко не на первом месте. Руководители многих предприятий считают, что для них основной задачей на этом этапе являются реализация продукции, возможность выплаты заработной платы работникам предприятия и быть лна плаву. Остается надеяться, что этот тяжелый период для российской экономики скоро пройдет, предприятия начнут нормально работать, решать задачи и
  8. Контрольные вопросы
    задачи предприятий, работающих вусловиях плановой экономики и рынка ? Какие факторы влияют на эффективность работы предприятий в условиях рынка
  9. 2.1, НЕОБХОДИМОСТЬ ГОСУДАРСТВЕННОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ СТРАНЫ
    задачи должно сыграть государство. Разработка, принятие и организация выполнения хозяйственного законодательства, т. е. правовой основы предпринимательства, налогообложения, банковской системы и т. д. Для выполнения этих и других функций государство должно использовать все имеющиеся в его распоряжении рычаги и
  10. 2.2. УСЛОВИЯ И ПРЕДПОСЫЛКИ ГОСУДАРСТВЕННОГО ВМЕШАТЕЛЬСТВА
    задача государства заключается в том, чтобы не превысить заранее определенной и допустимой величины этого критерия. Если образовался большой профицит, то это тоже не совсем нормальное явление. Необходимо разобраться, почему он образовался, и не допускать впредь таких