Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Микроэкономика
| Бусыгин В.П, Желободько Е.В, Цыплаков А.А.. Микроэкономика. Третий уровень, 2005 | |
3.1.4 Задачи |
|
|
^ 90. Пусть допустимое потребительское множество X = { x е R+ XiХ2 + xi ^ 1 } потребитель имеет фиксированный доход R > 0, цены на товары задаются вектором p ? R++. Изобразите графически бюджетное множество потребителя при разных значениях (p, R). Является ли оно выпуклым? Замкнутым? Ограниченным? При каких значениях (p, R) бюджетное множество пусто? ^ 91. Пусть допустимое потребительское множество X = { x ? R+ XiX2 Z 2 } , потребитель имеет начальный запас ш = (1,1), цены на товары задаются вектором p ? R++. Изобразите графически бюджетное множество потребителя при разных значениях p . Является ли оно выпуклым? Замкнутым? Ограниченным? При каких значениях p бюджетное множество непусто? ^ 92. Пусть допустимое потребительское множество xi ,x2 - целые X = { x ? R+ потребитель имеет фиксированный доход R > 0, цены на товары задаются вектором p ? R++. Изобразите графически бюджетное множество потребителя. ^ 93. Пусть допустимое потребительское множество X = R+, потребитель имеет начальный запас ш = (1,1), цены на товары задаются вектором p ? R++. Изобразите графически бюджетное множество потребителя, в случае если в экономике ввели налог с продаж, взимаемый как процент от цены. Является ли бюджетное множество выпуклым? ^ 94. Пусть в экономике присутствует один потребительский товар, продаваемый по цене p. Доход потребителя складывается из фиксированной части R > 0 и заработной платы wh, где h - время, которое потребитель посвящает работе, а w - почасовая ставка оплаты труда. Потребитель не может работать больше 24 часов в сутки. Запишите бюджетное множество для этой задачи. Постройте его эскиз. Является ли оно выпуклым? Что произойдет, если в модель ввести налог с заработной платы? Дохода? Предложите схему налогообложения, когда бюджетное множество невыпукло. ^ 95. Предположим, что потребитель живет бесконечное число периодов времени (время дискретно). В каждый период t он, используя имеющийся у него капитал kt, исходя из вогнутой производственной функцией f (kt) производит некоторый товар, который может либо потребить ct, либо направить на увеличение своего капитала (инвестировать) . Капитал предполагается убывающим от периода к периоду, с постоянной нормой выбытия 1 > 5 > 0. Начальный запас капитала в нулевой момент времени равен ko. Предположим также, что значения ct, kt могут принимать только неотрицательные значения. Запишите бюджетное множество для этой задачи. Покажите, что оно выпукло. ^ 96. Для случая двух товаров изобразите эскиз бюджетного множества, если цена первого товара зависит от объема, а цена второго постоянна, причем цена первого товара убывает при росте объема. Доход потребителя предполагаем фиксированным. Является ли данное бюджетное множество выпуклым? ^ 97. Докажите Теорему 22. ^ 98. При каких условиях в пунктах (vi) и (vii) Теоремы 22 нестрогие знаки (в том числе включения) могут быть заменены строгими? Покажите, что без дополнительных предположений этот факт, вообще говоря, неверен. ^ 99. Для каждой из нижеприведенных функций найдите маршаллианскую функцию спроса, непрямую функцию полезности, хиксианскую функцию спроса, функцию расходов. Проиллюстрируйте соотношения двойственности между маршаллианской и хиксианской функциями спроса, а также между непрямой функцией полезности и функцией расходов. (a) u(x) = xi + Ж2; (b) u(x) = ^XY + (c) u(x) = ^XT + X2; (d) u(x) = xiX2; (e) u(x) = ln(xi) + Xf; (f) u(x) = ; (g) u(x) = x2 + x2; (h) u(x) = min{xi,X2}; (i) u(x) = max{xi,X2}; (j) u(x) = min{2xi - x2, 2x2 - Xt}; (k) u(x) = 28Xt + 28X2 - 2xf - 3XtX2 - 2x2; (l) u(x) = xi + x2 + 4Xt + 4X2 + 2XtX2 + 6. Основываясь на полученных результатах, проверьте теоретические свойства маршаллианской функции спроса, непрямой функции полезности, хиксианской функции спроса, функции расходов. ^ 100. Приведите пример функции полезности, для которой... средства, расходуемые потребителем на приобретение каждого блага, составляют постоянную (и положительную) долю совокупных расходов потребителя; спрос потребителя на любое благо зависит лишь от относительной цены данного блага и совокупных потребительских расходов; спрос потребителя на первые l - 1 благ зависит лишь от относительной цены этих благ; спрос потребителя на первые l - 1 благо зависит лишь от цены данного блага; структура спроса потребителя постоянна (отношение величины покупок j блага к величине 1 блага, j = 1,..., l); множество оптимальных потребительских наборов при некоторых значениях цен и доходов не является выпуклым множеством. ^ 101. Покажите, что если функция полезности является квазилинейной, то непрямая функция полезности v(p, R) имеет вид v(p, R) = a(p) + b(p)R для тех значений p и R, при которых оптимальный потребительский набор содержит все блага (в положительных количествах). ^ 102. Покажите, что если функция полезности потребителя однородна, то отношение функций спроса на любые два товара не зависит от уровня дохода. ^ 103. Пусть полезность потребителя зависит от двух благ, и первое благо является дискретным (доступные уровни его потребления - целые числа), а потребитель имеет квазилинейные предпочтения. При каких ценах на благо 1 потребитель предъявляет спрос на него на уровне 1, 2,...? ^ 104. Покажите, что если функция полезности квазилинейна, то непрямая функция полезности - выпуклая функция цен. ^ 105. Покажите, что если функция полезности квазилинейна, причем l-ое благо входит линейно, то хиксианский спрос на первые l - 1 благо не зависит от выбора кривой безразличия. Каков вид функции расходов в этом случае? При каких предположениях это справедливо? ^ 106. Докажите Теорему 25. ^ 107. Рассмотрите функцию полезности u = AЧX2 (A > 0), где xi ^ 0, 0 ^ x2 < A. Является ли эта функция полезности вогнутой? Является ли она квазивогнутой? Изобразите на графике кривые безразличия. Найдите функцию спроса. Какими свойствами она обладает? ^ 108. [ABB] Рассмотрите функцию полезности вида u(x, y, z) = \fx + ^/y + y + z/(1 + z). Покажите, что функция полезности строго монотонна, строго вогнута и непрерывна. Покажите, что если (x, y, z) е R+ и z > 0, то (x, y + z, 0) У (x, y, z). Пусть p > 0 и p2 = Рз. Покажите, что для вектора спроса выполнено равенство z(p, R) = 0. Рассмотрите последовательность цен pn = (1,1/n, 1/n). Чему равны пределы z(pn, R) и y(p^ R) ? ^ 109. В случае, когда в экономике наличествуют всего 2 товара, найдите, если это возможно (или докажите, что это невозможно), маршаллианский, хиксианский спросы, непрямую функцию полезности и функцию расходов для потребителя с лексикографическими предпочтениями.? ^ 110. Сформулируйте и докажите аналоги Теорем 23-27 для случая, когда доход потребителя формируется за счет продажи начальных запасов w. ^ 111. Сформулируйте и докажите аналоги Теорем 23-27 для случая, когда доход потребителя формируется за счет заработной платы. Почасовая ставка заработной платы равна w, потребитель располагает 24 часами времени в сутки. Время отдыха является одним из благ, количество потребления которого выбирает потребитель. ^ 112. [MWG] Рассмотрите функцию расходов следующего вида: e(p,x) = expi ^ afcln(pfc) + ( ^ pffcJu(x) L чек Чек ' ' При каких ограничениях на параметры , вк данная функция является функцией расходов? С учетом ответа на первый вопрос найдите отвечающую ей непрямую функцию полезности. ^ 113. Пусть непрямая функция полезности имеет вид a(p) + b(p)R. Какими свойствами должны обладать функции a(p) и b(p) для того, чтобы данная функция была непрямой функцией полезности рационального потребителя. ^ 114. Функция полезности называется псевдовогнутой, если из условия Vu(x)(y - x) ^ 0, следует, что u(y) ^ u(x). Покажите, что если функция полезности является псевдовогнутой, то условия КунаЧ Таккера являются достаточными условиями для нахождения решения задачи потребителя. Покажите, что любая вогнутая функция является псевдовогнутой, а любая псевдовогнутая функция является квазивогнутой. ^ 115. Пусть функция полезности равна u(x) = (xi + X2 - 2) . Цена на первый товар равна 1, а на второй - 2. Доход потребителя равен 3. Проверьте, что целевая функция квазивогнута и локально ненасыщаема. Покажите, что точка (1,1) удовлетворяет условиям КунаЧ Таккера, но не является оптимальной. ^ 116. Пусть функция спроса некоторого потребителя равна x(p, R) = , , а непря мая функция полезности равна v(p, R) = a Ч . Найдите функцию расходов и хикси- p?P2 ; анский спрос. ^ 117. Покажите, что функция v(p, R) = R + R удовлетворяет всем свойствам непрямой функции полезности и вычислите на ее основе функцию расходов и функции спроса (маршал- лианского и хиксианского). ^ 118. Проверьте выполнение соотношений двойственности (взаимности) в случае, если поведение потребителя описывается функцией полезности: u(x) = [xix2], где [ж] - оператор взятия целой части. ^ 119. Пусть функция полезности потребителя аддитивно-сепарабельна, то есть имеет вид u(x) = Y^i=i Ui(xi). Запишите достаточные условия оптимальности для задачи потребителя в предположении, что потребитель имеет выпуклые, локально ненасыщаемы предпочтения. Покажите, что если ui(xi) ^ при Xj ^ 0, то потребитель покупает все блага в положительных количествах. ^ 120. Пусть обобщенная функция полезности, представляющая некоторые нетранзитивные предпочтения, имеет вид A(x, y) = y- i/2x^/2 + 1п(хз) - X- i/2y2/2 - 1п(уз). Найдите маршаллианский спрос данного потребителя. (Для пояснения обозначений см. Теорему 21 на с. 59.) |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "3.1.4 Задачи" |
|
|