По теореме о неявной функции (см. Приложение ??) функция спроса x(p, R) и множитель Лагранжа как функция цен и дохода A = A(p, R) будут непрерывно дифференцируемыми, если матрица
является невырожденной. Невырожденность этой матрицы при ценах p и доходе R эквивалентна невырожденности матрицыVu(x)
H(x) Vu(x)1"
7u(x) 0
при x = x(p, R) (см. задачу 177).
Покажем, что при сделанных нами предположениях матрица H является невырожденной. Предположим противное. Тогда существует такой вектор y и число z, что Hy + zVu(x) = 0 и Vu(x)y = 0, где (y, z) = 0. Случай y = 0 и z = 0 невозможен, поскольку Vu(x) = 0. Если же y = 0, то y т Hy + y т Vu(x)т z = y т Hy = 0, что противоречит тому, что матрица H отрицательно определенная.
Таким образом, доказано, что функция маршаллианского спроса и множитель Лагранжа A являются непрерывно дифференцируемыми по ценам и доходу. Поскольку непрямая функция полезности определяется как v(p, R) = u(x(p, R)), а функция полезности и функция спроса непрерывно дифференцируемы, то непрямая функция полезности непрерывно дифференцируема по ценам и доходу. В силу свойств взаимности v(p,e(p, x)) = u(x). С учетом монотонности непрямой функции полезности по доходу и непрерывной дифференцируемости непрямой функции полезности имеем непрерывную дифференцируемость функции расходов по ценам. Наконец, в силу соотношения x(p, e(p, x)) = h(p, x), непрерывной дифференцируе- мости функции спроса по доходу и непрерывной дифференцируемости функции расходов по ценам имеем непрерывную дифференцируемость хиксианского спроса по ценам.
В задаче 178 читателю предлагается доказать непрерывную дифференцируемость функции расходов и хиксианского спроса по x. ж
Отрицательная определенность матрицы Гессе функции полезности (и, являющаяся следствием строгая вогнутость функции полезности) в этой теореме является слишком ограничительным условием, не имеющим содержательной экономической интерпретации. Это условие несложно заменить на более слабое, некоторый вариант квазивогнутости функции полезности (см. задачу 180).
|
- Существование равновесия Штакельберга
дифференцируемы, j 2) обратная функция спроса р(у) непрерывна и убывает, j 3) существуют у3 > 0 j =1,2 такие, что р(у3) < с'3(у3) при у3 | У г \ Тогда равновесие Штакельберга (г/i, у2) существует, j ? j причем 0 < г/ ж. Доказательство. Доказательство этой теоремы во многом повторяет доказа-тельство существования равновесия при монополии. 1) Докажем, что при любых ожиданиях относительно
- Приложение
дифференцируемости функции отклика могут быть получены на основе следующей теоремы. j Теорема 31. | Рассмотрим задачу (Р) с постоянным отображением j Р(ж) = р. Предположим, что существует пара (ж, у), та- j кая что у е г(х) и у е int(fi). Предположим, кроме того, | что функция /(ж, у) дважды непрерывно дифференци- j руема и строго вогнута по у в некоторой окрестности j точки (ж, у), и /(ж, у)| Ф
- 2.4 Представление предпочтений функцией полезности
приложениях теории. Например, с помощью нее удобно изучать вопросы сравнительной статики - как изменяется потребительский выбор при изменении параметров модели. Определение 7: Будем говорить, что функция u(-): X м R является функцией полезности, соответству-ющей предпочтениям (У, Ч) (другими словами, представляющей эти предпочтения), если для всякой пары потребительских наборов x, y ? X
- 2.5 Свойства предпочтений и функции полезности
приложениях экономической теории очень часто рассматриваются также дополнительные свойства предпочтений, которые налагают более сильные требования на функцию полезности. Так, например, в макроэкономике при рассмотрении поведения агрегированного потребителя часто предполагается выполнение свойства гомотетичности. Определение 13: Предпочтения называются гомотетичными, если для каждого
- 3.2 Дифференциальные свойства задачи потребителя
приложении ??). При выполнении условия дифференцируемости непрямой функции полезности, функции расходов и функций маршаллианского и хиксианского спросов выполняются три важных свойства теории потребителя: лемма Шепарда, тождество Роя и уравнение Слуцкого. Связь между функциями расходов и (хиксианского) спроса описывается леммой Шепарда. Теорема 29 (Лемма Шепараа ): Пусть решение взаимной
- 14.2.1 Существование равновесия Штакельберга
дифференцируемы, обратная функция спроса p(y) непрерывна и убывает, существуют yj > 0j = 1, 2 такие, что p(yj) < cj (yj) при yj Z yj. J Тогда равновесие Штакельберга (yS, y|) существует, причем 0 ^ yS < yj. Доказательство: Доказательство этой теоремы во многом повторяет доказательство существования равновесия при монополии. 1) Докажем, что при любых ожиданиях относительно выпуска лидера
- 1.3. Представление предпочтений функцией полезности
приложениях теории) иметь дело с ситуациями, когда предпочтения потребителя описываются функцией полезности. Мы всюду будем предполагать, что область значения функции полезности - это действительная прямая, т.е. данная функция является вещественнозначной. Определение 12. Будем называть и(.): Х^К функцией ПОЛеЗНОСТИ потребителя, соответствующей нестрогому отношению предпочтения если для всякой
- Тесты и задачи для самостоятельного решения
приложение) докажите, что Эе(р, и) >i(p !) = др . Используя теорему об огибающей докажите, что др ) - значение множителя Лагранжа задачи потребителя. Пусть А - матрица коэффициентов замены с элементами д%(р, Ч) , Э%.(р, Ч) % = эр. + эЧ Ч). Докажите, что = 0. 38. Пусть выполнен закон Вальраса и функция спроса однородна нулевой степени. Пусть, кроме того, в экономике обращается только два товара.
- 1.1. Развитие отечественного предпринимательства
функции предпринимателя. Во-первых, производительный труд сводился марксистами к преобразованию предметов труда и управлению этим процессом; предпринимательский же доход рассматривался как часть прибавочной стоимости, а деятельность, направленная на получение предпринимательского дохода, - как форма эксплуатации рабочего класса. Во-вторых, обобществление производства трактовалось, в основном, как
- 1.3. Предпринимательство как особая форма экономической активности
приложение научно- технических знаний, внедрение нового производственного метода или применение новой формы организации бизнеса, обеспечивающих рыночный успех, запуск в производство нового продукта. Под новшеством понимается новая система управления производством и качеством, внедрение новых методов организации производства или новых технологий; это тоже инновационные моменты. В
|
Экономика