Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная Экономика Микроэкономика
Бусыгин В.П, Желободько Е.В, Цыплаков А.А.. Микроэкономика. Третий уровень, 2005

3.3.3 Задачи


^ 137. Выведите формулы (о) и (оо) (см. с. 92).
^ 138. Покажите, что если блага комплементарны ??/не определено/, то эффект замены отсутствует, а если предпочтения квазилинейны (для спроса на благо, уровень полезности которого нелинейно зависит от потребления этого блага) то отсутствует эффект дохода. ^ 139. Покажите, что если функция полезности аддитивно-сепарабельна и строго монотонна, то в экономике не будет взаимодополняемых ??/не определено/ товаров
^ 140. Во вводных курсах микроэкономики обычно вводят следующее определение благ-заменителей и комплементарных благ (в терминах функций спроса Маршалла): Благо 1 называется субститутом блага 2, если д^2 < 0. Благо 1 называется комплементарным для блага 2, если ^p2 > 0.
Покажите, что такое определение ведет к парадоксам. Например, возможна ситуация, когда благо 1 является субститутом блага 2, а обратное неверно.
Покажите также, что, аналогичные определения в терминах функции спроса Хикса (приведите их) свободны от парадоксов такого типа.
^ 141. Покажите, что любой товар Гиффена является малоценным. Справедливо ли обратное?
^ 142. Могут ли все блага быть малоценными, если предпочтения локально ненасыщаемы? ^ 143. Пусть все исходные данные те же, что и в Примере 21. Укажите геометрическое место точек, среди которых может находиться спрос потребителя, обладающего квазилинейными предпочтениями.
^ 144. В экономике присутствует два товара. Потребитель имеет локально ненасыщаемые предпочтения. Функция спроса на первый товар имеет вид X1(p, R) = зР1 . Найдите
компенсирующее изменение дохода по Слуцкому при p = (1,1), p' = (1, 4) и R = 121. ^ 145. Пусть непрямая функция полезности некоторого потребителя имеет вид v(p, R) = min{Ri p2}. Найдите компенсирующее изменение дохода по Хиксу при p = (1,1), p' = (1, 4) и
^ 146. Пусть потребитель имеет однородную первой степени функцию полезности. При ценах p = (1,1) и доходе R = 5 его функция спроса была равна x(p, R) = (2, 3).
Определите геометрическое место точек, которые могут представлять спрос потребителя, если на покупку первого товара ввели налог в размере 20% от цены, а доход потребителя остался неизменным.
Налог на доход потребителя??? изменился с 20 до 40 процентов. Ответьте на тот же вопрос.
^ 147. Пусть функция полезности потребителя аддитивно-сепарабельна, то есть имеет вид u(x) = Y^i=1 Ui(xi). Кроме того, предположим, что каждое слагаемое Ui(xi) положительно однородно степени а^ ^ 0. Покажите, что спрос данного потребителя удовлетворяет закону спроса.
3Ср. с Теоремой 80 в гл. 6 на с. 223.
^ 148. Пусть набор x является внутренним в потребительском множестве, и является спросом потребителя при некоторых ценах и доходе.
Докажите, используя уравнение Эйлера, что если предпочтения потребителя задаются положительно однородной степени a (0 < a < 1) функцией полезности, то левая часть в неравенстве ( ) равна нулю.
Дайте интерпретацию полученных результатов в их связи с законом спроса.
Докажите, пользуясь предыдущими результатами, что если предпочтения потребителя задаются положительно однородной первой степени функцией полезности, принимающей положительные значения, то выполнен закон спроса.
^ 149. Проверьте выполнение упоминавшихся в данном параграфе достаточных условий закона спроса в случае функции полезности вида
u(x) = x т Ax + b т x,
v ' 2
где A - симметричная положительно определенная матрица.
^ 150. Функция полезности Андрея Экономова, u(-), зависит от потребления двух благ. Его доход - Rn д. е., цена первого и второго блага - 1 д. е. Его шефы предлагает ему работу без изменения заработной платы в филиале фирмы в другом городе, где цена первого блага такая же, а цена второго в два раза выше. Экономов еще в университете познакомился с понятием компенсирующей и эквивалентной вариации. Оценив предложение, он ответил, что в принципе он не против, но переезд для него означал бы потерю в доходе в A д. е. Однако, он готов принять предложение, если его зарплата возрастет на B д. е. Чему равны A и B ?
Решите задачу при u(x) = Ш1П{Ж?,Ж2} и R0 = 240.
Решите задачу при u(x) = 4Ж?Ж2 и Rn = 10.
^ 151. Николай Здоровяков потребляет только два блага - кофе и сигареты, причем может потреблять их только так, чтобы на чашку кофе приходилось три сигареты. Цена чашки кофе - 9 д. е., а цена сигареты - 2 д. е. Доход Николая составляет 180 д. е. в день. Правительство ввело 50%-й налог на сигареты. Найдите изменение потребительского излишка, компенсирующую и эквивалентную вариации. Сравните их (по абсолютной величине) с налоговыми доходами правительства, полученными от Николая.
^ 152. На потребление одного из благ (первое) введен налог, так что цена блага для потребителя для потребителя стала равной pi +1, где pi - исходная рыночная цена. Цены остальных благ и доход потребителя остались неизменными. Пусть if - эквивалентная вариация, связанная с соответствующим увеличением цены блага, а T - поступление от налога, xi(pi) - функция спроса.
Объясните, почему величину -if - T можно назвать чистыми потерями от налога.
Запишите формулы для if и T и покажите, что чистые потери неотрицательны.
Предложите аналогичный измеритель чистых потерь, основанный на компенсирующей вариации. Совпадают ли эти два измерителя?
^ 153. не по теме задача?? Предположим, что первое благо доступно лишь в дискретных количествах, а второе благо - деньги (используемые на приобретение других благ), и функция полезности квазилинейна: u(x) = V(X?) + X2. Пусть, далее, ri - резервная цена приобретения i -ой единицы первого блага и определяется соотношением
u(i - 1, x2 - (i - 1)ri) = u(i, x2 - iri).
(а) Покажите, что если потребитель приобретает n единиц первого блага, то цена p1 на него удовлетворяет соотношению: rn Z pi Z rn-i. При каких условиях верно и обратное утверждение?? (b) 3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя
(b) Покажите, что если v(0) = 0, то v(n) =Yi Г, а потребительский излишек
CS = v(n) + R - p1Щ
совпадает с лчистой выгодой от приобретения первого блага
(c) Покажите, что потребительский излишек совпадает с суммой компенсации, при которой потребитель готов полностью отказаться от потребления первого блага (увеличив тем самым потребление второго блага на величину компенсации).
^ 154. Сформулируйте определение компенсирующей, эквивалентной вариаций и потребительского излишка непосредственно в терминах функции спроса и функции полезности ?? и вычислите на этой основе их величины при l = 2, R0 = R1 = 100, p0 = (1,1), p1 = (2,1), когда...
предпочтения представимы квазилинейной функцией полезности;
блага абсолютно заменимы;
блага комплементарны;
предпочтения описываются функцией КоббаЧ Дугласа.
^ 155. Проделайте то же, что и в предыдущей задаче, в случае, когда цена на первое благо падает (R0 = R1 = 100, p0 = (0,5,1), p1 = (1,1)). Сравните результаты.
^ 156. В ситуациях, рассмотренных в двух предыдущих задачах, проиллюстрируйте на графике поведение кривых спроса (на первое благо) Хикса и Маршалла, и укажите соответствующие фигуры, площади которых измеряют компенсирующую, эквивалентную вариацию и потребительский излишек.
^ 157. В экономике есть два блага. Цена второго блага и доход потребителя остаются неизменными.
Для заданной на плоскости (x1,p) системы кривых спроса Хикса на первое благо изобразите возможное положение кривых спроса Маршалла на это благо.
Укажите на графике соответствующие компенсирующую, эквивалентную вариацию и потребительский излишек при (i) падении и (ii) росте цены первого блага.
Каковы соотношения между величинами компенсирующей, эквивалентной вариаций и потребительского излишка в разных ситуациях, различающихся типом благ (нормальное/ малоценное благо) и характером изменения цен (падение/рост)?
^ 158. Пусть в экономике присутствует два товара. В результате некоторого мероприятия экономической политики изменилась цена первого блага. При этом цена второго блага и доход потребителя остались неизменными. Как соотносятся компенсирующая, эквивалентная вариации и потребительский излишек в случае если...
цена первого блага выросла и первый товар нормальный;
цена первого блага выросла и первый товар - товар Гиффена;
цена первого блага упала и первый товар малоценный;
цена первого блага упала и первый товар - товар Гиффена? Докажите соответствующие неравенства.
^ 159. Покажите, что при изменении одной цены ACS обладает свойством аддитивности. ^ 160. [Laffont] Предположим, что цена на все блага, кроме первого, постоянна, доход постоянен и равен R0, а цена первого блага меняется с p до p1. Спрос потребителя таков, что эластичность спроса на первое благо по доходу постоянна и равна п.
(a) Проинтерпретируйте условие постоянства эластичности спроса по доходу как дифференциальное уравнение для спроса (рассматриваемого как функция дохода). Решите это уравнение и покажите, что

Объясните, почему из леммы Шепарда следует следующее дифференциальное уравнение для функции расходов (рассматриваемой как функция цены первого блага):
de
Ч = x(pbe). dp 1
Подставив в это дифференциальное уравнение соотношение из пункта (a), решите его, исходя из того, что п < 1, и покажите, что
e(p0, x)1 -n - e(p 1, x)1 -n = (1 - n)(R0)-n ACS,
p0 0
где ACS = / i1 x(t, R0)dt - изменение потребительского излишка, связанное с рассматрива- pi
емым изменением цены первого блага.
Выразите e(p, x1) и e(p1, x1) через R0 и эквивалентную вариацию, связанную с рассматриваемым изменением. Покажите, что при п < 1 эквивалентная вариация является функций эластичности, дохода и изменения потребительского излишка следующего вида: 1
1-7 - R0.
EV = R0
1 + VACS Получите аналогичную формулу для компенсирующей вариации при п < 1 , выразив для этого e(p, x0) и e(p1, x0) через R0 и компенсирующую вариацию.
Получите формулы для эквивалентной и компенсирующей вариаций при п = 1.
^ 161. [Laffont] Предположим, что цена на все блага, кроме первого, постоянна, доход постоянен и равен R0 , а цена первого блага меняется с p01 до p11 . Непрямая функция полезности потребителя имеет форму Гормана
v(p,R) = a(p) + b(p)R.
(a) Записав определение компенсирующей вариации CV с помощью непрямой функции полезности, покажите, что
v(p1, R0) - v(p 1, R0 - CV) = v(p 1, R0) - v(p0, R0).
Выведите отсюда формулу
fR0 dR = /Pi x1(i,R0)dt,
J R0ЧCV dR Jpi dR
воспользовавшись тождеством Роя.
(b) Приняв во внимание форму непрямой функции полезности, покажите, что
CV = Г1 x(t, R^TT^-rr- dt. ХM b(p 1)
(с) Применяя тождество Роя и меняя порядок дифференцирования (^^^R = гШгр" ), покажите, что для непрямой функции полезности указанного вида выполнено
db(p1) dx1(p1,R)
- -b(p1).
dp1 dR
Решите соответствующее дифференциальное уравнение и выразите ^(рт^ через J^1 dxid(RRR ^ dt.? (d) Покажите, пользуясь предыдущими результатами, что компенсирующая вариация вычисляется по следующей формуле Сида:
гч/ Г? J Г dxi(t, R0)^ 0
Cf = J expj -у dR J xi(pi, Rn)dpi.
(e) Покажите, что если в рассматриваемом случае эластичность спроса на первое благо по доходу постоянна и равна п, то формула Сида примет вид: R
- ^CS
0
1 - e R
Cf = - п Подсказка: Введите обозначение
/(pi) = ACS(pi,pi) = Г' xi(t, R0)dt
-'P
и воспользуйтесь тем, что Xi(pi,R0) = /'(pi).
(f) С использованием формулы, выведенной в предыдущем пункте, продемонстрируйте, что компенсирующая вариация и потребительский излишек должны совпадать в случае ква-зилинейных предпочтений.
<< Предыдушая Следующая >>
= К содержанию =
Похожие документы: "3.3.3 Задачи"
  1. К ТОМУ, КТО ЧИТАЕТ
    задача публицистов. И в этом случае не пострадает ни одна из рассматриваемых сфер, так как каждому становится очевидным, насколько добродетель чисто общественная должна уступать божественной добродетели, не подверженной никаким изменениям. И кто бы, повторяю, ни захотел удостоить меня своей критикой, не должен исходить из предпосылки, что мои принципы губительны для нравственности или религии,
  2. VI СОРАЗМЕРНОСТЬ МЕЖДУ ПРЕСТУПЛЕНИЯМИ И НАКАЗАНИЯМИ
    задача которого заключается в том, чтобы свести на нег разрушительные последствия силк тяжести 84 и направить ее на упрочение несущих конструкции здания. Поскольку доказана необходимость объединения людей и существования общественного договора, неизбежно вытекающего из потребности в умиротворении противоположных частных интересов, то нарушения установленного порядка можно классифицировать и по
  3. VIII КЛАССИФИКАЦИЯ ПРЕСТУПЛЕНИЙ
    задачей любой законно созданной ассоциации, то нарушение неотъемлемого права каждого гражданина на безопасность не может не повлечь за собой одного из самых суровых наказаний, установленных законом. Постулат, согласно которому каждый гражданин должен быть наделен правом совершать любые, не противоречащие закону действия, не опасаясь какихлибо последствий, за исключением тех, что могут быть
  4. ХУ1. 0 ПЫТКЕ
    задача еще более усложняется, когда страдания искажают весь его внешний облик, по которому иногда можно догадаться об истинном положении дел, даже помимо воли человека. Всякое насильственное действие спутывает и заставляет исчезнуть мельчайшие индивидуальные признаки предметов, с помощь которых иной раз правда отличается ото лжи. Эти истины известны еще со времен древнеримских законодателей,
  5. ХХ1. НАКАЗАНИЯ ДЛЯ ДВОРЯН
    задачу которого входит удерживать в границах дозволенного чрезмерные пре143 тензии крайностей, или оно представляет собой просто сословие, которое, будучи рабом самого себя и других, сосредоточивает в своем узком замкнутом кругу влияние, жизненные блага и надежды, подобно цветущему и плодородному оазису в песках Аравийской пустыни. И если верно даже, что неравенство является неизбежным или
  6. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ СЛОВА ПРЕДИСЛОВИЯ ФАУСТЕН-ЭЛИ О ЗНАЧЕНИИ КНИГИ БЕККАРИА
    задачи в законы. А может быть, он не имел бы и той смелости в своих выводах, которую мы в нем замечаем. Светлый его разум и горячая любовь к правде - вот силы, поддержавшие его среди малоизвестного ему пути. И этих сил было достаточно, чтобы побороть древние законодательства, уже склонявшиеся под тяжестью своих злоупотреблений, и показать ученым исследователям уголовного права все их ничтожество.
  7. 1.2. ОСНОВНЫЕ ЦЕЛИ И ФУНКЦИИ ПРЕДПРИЯТИЯ В УСЛОВИЯХ РЫНКА
    задачи, а получение прибыли находится далеко не на первом месте. Руководители многих предприятий считают, что для них основной задачей на этом этапе являются реализация продукции, возможность выплаты заработной платы работникам предприятия и быть лна плаву. Остается надеяться, что этот тяжелый период для российской экономики скоро пройдет, предприятия начнут нормально работать, решать задачи и
  8. Контрольные вопросы
    задачи предприятий, работающих вусловиях плановой экономики и рынка ? Какие факторы влияют на эффективность работы предприятий в условиях рынка
  9. 2.1, НЕОБХОДИМОСТЬ ГОСУДАРСТВЕННОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ СТРАНЫ
    задачи должно сыграть государство. Разработка, принятие и организация выполнения хозяйственного законодательства, т. е. правовой основы предпринимательства, налогообложения, банковской системы и т. д. Для выполнения этих и других функций государство должно использовать все имеющиеся в его распоряжении рычаги и
  10. 2.2. УСЛОВИЯ И ПРЕДПОСЫЛКИ ГОСУДАРСТВЕННОГО ВМЕШАТЕЛЬСТВА
    задача государства заключается в том, чтобы не превысить заранее определенной и допустимой величины этого критерия. Если образовался большой профицит, то это тоже не совсем нормальное явление. Необходимо разобраться, почему он образовался, и не допускать впредь таких