Нелинейная свободная система второго порядка
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА К КУРСОВОЙ РАБОТЕ
По дисциплине
Математические основы теории систем
Подготовила: студентка Заочного факультета
Гр. СУА-09з
Шифр 95243
Гассиева Н.С.
Проверил: проф. Ткаченко В.Н.
Донецк 2012
Задание на курсовую работу:
Задана нелинейная свободная система второго порядка, описываемая следующим обыкновенным дифференциальным уравнением
.
.Представить исходную систему в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка (в пространстве состояний).
. Определить положение равновесия системы.
. Выполнить численный расчет исходного нелинейного уравнения и получить график y(t) для начальных условий .
. Провести линеаризацию системы.
.Получить аналитическое решение линеаризованной системы и построить его график y(t) для тех же начальных условий .
. Выполнить численный расчет линеаризованной системы уравнений и получить график y(t) для тех же начальных условий.
. Построить фазовый портрет системы.
. Исследовать асимптотическую устойчивость состояния равновесия системы в соответствии с первым методом Ляпунова и сделать выводы по работе.
Исходные данные:
№ вар.a1a2a3b1b210,50,1111
РЕФЕРАТ
Курсовая работа: 44 страницы, 6 рисунков, 5 таблиц, 9 источников.
Объект исследования: Нелинейная свободная система второго порядка, описываемая обыкновенным дифференциальным уравнением.
Цель работы: С помощью математических средств, провести анализ и синтез заданной системы по нескольким параметрам.
Выполнено: Исходная система представлена в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка (в пространстве состояний). Определено положение равновесия системы. Выполнен численный расчет исходного нелинейного уравнения и получен график y(t) для заданных начальных условий. Проведена линеаризация системы. Получено аналитическое решение линеаризованной системы и построен его график y(t) для тех же начальных условий.
Выполнен численный расчет линеаризованной системы уравнений и получен график y(t) для тех же начальных условий. Построен фазовый портрет системы. Исследована асимптотическая устойчивость состояния равновесия системы в соответствии с первым методом Ляпунова.
СИСТЕМА, УРАВНЕНИЕ, ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ, ПОЛОЖЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ, ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ, ЛИНЕАРИЗАЦИЯ, ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ, УСТОЙЧИВОСТЬ
СОДЕРЖАНИЕ
1. ВВЕДЕНИЕ
. ОТЧЕТ О ВЫПОЛНЕНИИ ЗАДАНИЯ
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5
Задание 6
Задание 7
Задание 8
. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Введение
Математическая теория систем, которой посвящена данная работа, занимается выяснением свойств формального описания (моделей) реальности, которые позволяют ставить задачи и решать их. К числу таких важнейших свойств относятся понятия наблюдаемости, управляемости, реализуемости и минимальности.
При изучении математической теории систем саму теорию систем рассматривают как теорию динамических взаимосвязей. Здесь система, а точнее, динамическая система - это строгое математическое понятие. Поэтому теория систем в основном, хотя и не полностью, является областью математики. Вместе с тем изучение математической теории систем позволяет получить важнейшие результаты, относящиеся к задаче регулирования классической теории управления.
Теория автоматического управления и регулирования - наука, которая изучает процессы управления, методы их исследования и основы проектирования автоматических систем, работающих по замкнутому циклу, в любой области техники. Особую роль для специалиста в данной области играет даже не создание и проектирование технических средств, а задача построения законов управления, которая и является основной проблемой общей теории автоматического управления. Причина такого особого внимания заключается не только в важности задачи, но и в существовании общего пути её решения. Этот путь заключается в использовании математического описания, математической модели как самого объекта, так и функциональных блоков схемы управления, позволяющих прогнозировать поведение объекта и возможность достижения поставленных целей при различных внешних условиях.
2. Отчёт о выполнении задания
. Представить исходную систему в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка (в пространстве состояний)
Рассмотрим заданную нелинейную свободную систему второго порядка, описываемую следующим обыкновенным дифференциальным уравнением:
?(t) + 0,5?(t) + 0,1[ ?(t) ]2 + y(t) = 0)
Данное уравнение представляет собой нелинейное уравнение второго порядка. Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, разрешенного относительно старшей производной:
y??xx = f (x, y, y?x)
Если уравнения системы разрешены относительно старшей производной, то их всегда можно преобразовать к системе уравнений 1-го порядка. Например, пусть система описывается уравнением
= F(x, ?, t)
Его можно преобразовать к виду
?1 = x2
?2 = x3<