Нелинейная свободная система второго порядка
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
?нию, каждое звено которой с началом в точке (xi, yi) имеет угловой коэффициент, равный f(xi, yi).
Итак, выполним численный расчет исходного нелинейного уравнения
?(t) + 0,5?(t) + 0,1[ ?(t) ]2 + y(t) = 0
и построим график y(t) для начальных условий y(0)=1, ?(0)=1.
Приведем исходное уравнение к уравнению первого порядка, для удобства заменив
y(t) = z
y?(t) = u
y??(t) = u?
Получаем уравнение первого порядка:
u? = ? 0,5u ? 0,1u2 - z
Зададим шаг интегрирования - расстояние h между узлами интегрирования - равным 0,01.
Согласно условию задания, z0 = y(0) = 1, u0 = ?(0) = 1.
Последовательные значения ui и zi , согласно методу Эйлера, будем вычислять по формулам
= ui-1•h + zi-1
ui = ui-1 + h•(? 0,5 ui-1 ? 0,1 ui-12 ? zi-1)
Находим:
z1= u0 h+ z0 = 1•0,01 + 1 = 1,01
u1 = u0+ h•(? 0,5 u0? 0,1 u02 - z0) = 1+0,01(-0,5•1-0,1•12-1) = 0,984
Аналогично проводим расчёты u2, u3, …, u100 и z2, z3, …, z100. Результаты расчётов, выполненных с помощью программы Microsoft Excel, приведены в таблице 3.1.
Для оценки погрешности используем правило Рунге: произведём вычисления с шагом h/2=0,005. Результаты расчётов приведены в таблице 3.2. Погрешность вычисляем по формуле
maxi | zi(h) - z2i(h/2)| = | z50(h) - z100(h/2)| = |1,308-1,3067| = 0,0013
Таблица 3.1. Результаты численного расчёта исходного нелинейного уравнения методом Эйлера с шагом интегрирования 0,01.
uiziyihi1110,0100,98400000001,0100,9900,0110,96801174401,0200,9800,0120,95203623851,0300,9700,0130,93607448321,0390,9600,0140,92012747051,0480,9500,0150,90419618641,0580,9400,0160,88828160971,0670,9300,0170,87238471281,0760,9200,0180,85650646141,0840,9100,0190,84064781451,0930,9000,01100,82480972481,1010,8900,01110,80899313841,1090,8800,01120,79319899521,1180,8700,01130,77742822861,1250,8600,01140,76168176601,1330,8500,01150,74596052831,1410,8400,01160,73026543071,1480,8300,01170,71459738211,1560,8200,01180,69895728531,1630,8100,01190,68334603741,1700,8000,01200,66776452951,1770,7900,01210,65221364681,1830,7800,01220,63669426901,1900,7700,01230,62120726971,1960,7600,01240,60575351711,2020,7500,01250,59033387371,2080,7400,01260,57494919641,2140,7300,01270,55960033661,2200,7200,01280,54428814021,2260,7100,01290,52901344781,2310,7000,01300,51377709431,2360,6900,01310,49857990961,2420,6800,01320,48342271811,2470,6700,01330,46830633891,2510,6600,01340,45323158611,2560,6500,01350,43819926831,2610,6400,01360,42321018921,2650,6300,01370,40826514741,2690,6200,01380,39336493621,2730,6100,01390,37851034391,2770,6000,01400,36370215411,2810,5900,01410,34894114501,2850,5800,01420,33422809001,2880,5700,01430,31956375771,2910,5600,01440,30494891171,2950,5500,01450,29038431071,2980,5400,01460,27587070861,3010,5300,01470,26140885441,3030,5200,01480,24699949261,3060,5100,01490,23264336251,3080,5000,01500,21834119891,3110,4900,01510,20409373181,3130,4800,01520,18990168661,3150,4700,01530,17576578391,3170,4600,01540,16168673951,3190,4500,01550,14766526481,3200,4400,01560,13370206631,3220,4300,01570,11979784611,3230,4200,01580,10595330151,3240,4100,01590,09216912531,3250,4000,01600,07844600561,3260,3900,01610,06478462601,3270,3800,01620,05118566531,3280,3700,01630,03764979811,3280,3600,01640,02417769411,3290,3500,01650,01077001861,3290,3400,0166-0,00257256771,3290,3300,0167-0,01584940871,3290,3200,0168-0,02905985281,3290,3100,0169-0,04220325311,3280,3000,0170-0,05527896701,3280,2900,0171-0,06828635661,3280,2800,0172-0,08122478871,3270,2700,0173-0,09409363441,3260,2600,0174-0,10689226961,3250,2500,0175-0,11962007451,3240,2400,0176-0,13227643431,3230,2300,0177-0,14486073831,3210,2200,0178-0,15737238071,3200,2100,0179-0,16981076021,3180,2000,0180-0,18217528031,3170,1900,0181-0,19446534881,3150,1800,0182-0,20668037841,3130,1700,0183-0,21881978631,3110,1600,0184-0,23088299441,3090,1500,0185-0,24286942941,3060,1400,0186-0,25477852261,3040,1300,0187-0,26660970981,3010,1200,0188-0,27836243191,2990,1100,0189-0,29003613431,2960,1000,0190-0,30163026731,2930,0900,0191-0,31314428591,2900,0800,0192-0,32457764981,2870,0700,0193-0,33592982391,2840,0600,0194-0,34720027751,2800,0500,0195-0,35838848501,2770,0400,0196-0,36949392571,2730,0300,0197-0,38051608391,2700,0200,0198-0,39145444851,2660,0100,0199-0,40230851391,2620,0000,01100
Таблица 3.2. Результаты численного расчёта исходного нелинейного уравнения методом Эйлера с шагом интегрирования 0,005.
uiziyihi1110,00500,99200000001,00500,9950,00510,98400296801,01000,9900,00520,97600902971,01490,9850,00530,96801831021,01980,9800,00540,96003093441,02460,9750,00550,95204702661,02940,9700,00560,94406671071,03420,9650,00570,93609011031,03890,9600,00580,92811734831,04360,9550,00590,92014854741,04820,9500,005100,91218382981,05280,9450,005110,90422331731,05740,9400,005120,89626713121,06190,9350,005130,88831539251,06640,9300,005140,88036822181,07080,9250,005150,87242573911,07520,9200,005160,86448806421,07960,9150,005170,85655531641,08390,9100,005180,84862761451,08820,9050,005190,84070507711,09240,9000,005200,83278782231,09660,8950,005210,82487596771,10080,8900,005220,81696963061,10490,8850,005230,80906892801,10900,8800,005240,80117397631,11300,8750,005250,79328489171,11700,8700,005260,78540178981,12100,8650,005270,77752478601,12490,8600,005280,76965399531,12880,8550,005290,76178953221,13270,8500,005300,75393151101,13650,8450,005310,74608004531,14030,8400,005320,73823524861,14400,8350,005330,73039723401,14770,8300,005340,72256611411,15130,8250,005350,71474200131,15490,8200,005360,70692500741,15850,8150,005370,69911524411,16210,8100,005380,69131282241,16550,8050,005390,68351785331,16900,8000,005400,67573044711,17240,7950,005410,66795071411,17580,7900,005420,66017876381,17910,7850,005430,65241470581,18240,7800,005440,64465864891,18570,7750,005450,63691070191,18890,7700,005460,62917097311,19210,7650,005470,62143957041,19530,7600,005480,61371660141,19840,7550,005490,60600217331,20140,7500,005500,59829639321,20450,7450,005510,59059936741,20750,7400,005520,58291120231,21040,7350,005530,57523200381,21330,7300,005540,56756187721,21620,7250,005550,55990092781,21900,7200,005560,55224926051,22180,7150,005570,54460697971,22460,7100,005580,53697418961,22730,7050,005590,52935099411,23000,7000,005600,52173749661,23260,6950,005610,51413380031,23530,6900,005620,50654000811,23780,6850,005630,49895622231,24040,6800,005640,49138254531,24290,6750,005650,48381907881,24530,6700,005660,47626592441,24770,6650,005670,46872318321,25010,6600,005680,46119095611,25250,6550,005690,45366934371,25480,6500,005700,44615844611,25700,6450,005710,43865836331,25930,6400,005720,43116919481,26150,6350,005730,42369104001,26360,6300,005740,41622399771,26570,6250,005750,40876816661,26780,6200,005760,40132364491,26990,6150,005770,39389053071,27190,6100,005780,38646892171,27380,6050,005790,37905891521,27580,6000,005800,37166060831,27770,5950,005810,36427409771,27950,5900,005820,35689947981,28130,5850,005830,34953685081,28310,5800,005840,34218630661,28490,5750,005850,33484794251,28660,5700,005860,32752185391,28830,5650,005870,32020813551,28990,5600,005880,31290688211,29150,5550,005890,30561818791,29310,5500,005900,29834214681,29460,5450,005910,29107885261,29610,5400,005920,28382839871,29750,5350,005930,27659087811,29900,5300,005940,26936638361,30030,5250,005950,26215500781,30170,5200,005960,25495684271,30300,5150,005970,24777198021,30430,5100,005980,24060051201,30550,5050,005990,23344252941,30670,5000,005100
График y(t) строим тоже в инструментах программы Microsoft Excel. Он представлен на рисунке 3.1.
Рисунок 3.1. Кривые Эйлера для исходного нелинейного дифференциального уравнения.
4. Провести линеаризацию системы
Во многих случаях нелинейные дифференциальные уравнения, описывающие большинство систем управления, можно линеаризовать, т.е. заменить исходные нелинейные уравнения линейными. Процесс преобразования нелинейных уравнений в линейные называют линеаризацией.
Назначение систем управления - это поддержание некоторого заданного режима. При этом режиме входные и выходные переменные звеньев системы изменяются по определенному закону. В частности, в системах стабилизации они принимают определенные постоянные значения. ?/p>